重积分及其应用.pptx

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1、1.二重积分的概念二重积分的概念2.积分存在的条件与性质积分存在的条件与性质定理定理1 连续必可积连续必可积问题问题1 1 1 1 关于数量值函数积分的统一定义问题关于数量值函数积分的统一定义问题数量值函数积分：数量值函数积分：二重积分；二重积分；三重积分；三重积分；第一型线积分；第一型线积分；第一型面积分。第一型面积分。第1页/共40页在直角坐标系、极坐标系、曲线坐标下二重积分的计算在直角坐标系、极坐标系、曲线坐标下二重积分的计算问题问题2 2 2 2 二重积分的计算问题二重积分的计算问题1.1.在直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下二重积分的计算第2页/共40页2.2.极坐标系下二极坐

2、标系下二重积分的计算重积分的计算第3页/共40页3.3.曲线曲线坐标系下二坐标系下二重积分的计算重积分的计算第4页/共40页解解积分区域如图积分区域如图第5页/共40页 【】2023/4/236例例2解解第6页/共40页如图，正方形如图，正方形被其对角线划分为四个区域被其对角线划分为四个区域则2023/4/237例3解第7页/共40页 例例4 4 解解计算二重积分计算二重积分第8页/共40页 例例5 5 计算积分计算积分 解解 第9页/共40页 例例6 6 设积分域为设积分域为解解计算二重积分计算二重积分 例例7 7 设积分域为设积分域为计算二重积分计算二重积分第10页/共40页 例例8 8

3、设积分域为设积分域为解解计算二重积分计算二重积分 例例9 9 计算定积分计算定积分 解解 第11页/共40页1利用对称性和奇偶性计算 1)1)若积分域若积分域关于关于轴对称轴对称,则则:2)2)若积分域若积分域关于关于轴对称轴对称,则则:2利用变量对称性计算若若关于关于对称对称,则则问题问题3 3 3 3 关于重积分的对称性问题关于重积分的对称性问题第12页/共40页第第3 3 3 3讲讲 多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用3.1 3.1 3.1 3.1 二重积分问题二重积分问题;3.2 3.2 3.2 3.2 三重积分问题三重积分问题;3.3 3.3 3.3 3

4、.3 重积分应用问题；重积分应用问题；3.4 3.4 3.4 3.4 第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分第13页/共40页A A.直角坐标系下三重积分的计算法直角坐标系下三重积分的计算法问题问题4.4.三重积分的计算问题三重积分的计算问题第14页/共40页B.B.柱面坐标系下三重积分的计算柱面坐标系下三重积分的计算C.C.球面坐标系下三重积分的计算球面坐标系下三重积分的计算第15页/共40页16 设设 ，则则 例1第16页/共40页17 设设 ，则则 .例2解第17页/共40页18例3解第18页/共40页第第3 3 3 3讲讲 多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其

5、应用3.1 3.1 3.1 3.1 二重积分问题二重积分问题;3.2 3.2 3.2 3.2 三重积分问题三重积分问题;3.3 3.3 3.3 3.3 重积分应用问题；重积分应用问题；3.4 3.4 3.4 3.4 第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分第19页/共40页 重积分的应用（微元法）重积分的应用（微元法）1、区域函数及其对域、区域函数及其对域 的导数的导数2、微分与积分的关系、微分与积分的关系3.微元法应用举例微元法应用举例第20页/共40页2023/4/23 A.质心与形心质心与形心第21页/共40页非均匀物质薄板的质心非均匀物质薄板的质心第22页/共40页解解例例1第23页/

6、共40页B.B.转动惯量转动惯量第24页/共40页物质薄板的转动惯量物质薄板的转动惯量第25页/共40页 设设 ，则则 的形心的竖坐标的形心的竖坐标 .26例2解第26页/共40页例例3解解积分技巧积分技巧第27页/共40页例4解积分技巧第28页/共40页补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性奇偶性第29页/共40页解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是

7、被积函数是 的的奇函数奇函数,例5第30页/共40页第第3 3 3 3讲讲 多元函数数量值函数积分学及其应用多元函数数量值函数积分学及其应用3.1 3.1 3.1 3.1 二重积分问题二重积分问题;3.2 3.2 3.2 3.2 三重积分问题三重积分问题;3.3 3.3 3.3 3.3 重积分应用问题；重积分应用问题；3.4 3.4 3.4 3.4 第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分第31页/共40页（1 1）第一类线积分概念）第一类线积分概念（2 2）转化为定积分计算）转化为定积分计算 例1 求 的周长。问题问题1.1.在第一型线积分和第一型面积分中在第一型线积分和第一型面积分中第32

8、页/共40页（3 3）第一类曲面积分的概念）第一类曲面积分的概念（4 4）第一型面积分的计算）第一型面积分的计算 例2 求 的表面积。第33页/共40页1）.设光滑曲面 的方程是第34页/共40页35例1解例2解第35页/共40页36例3解第36页/共40页 设设 P 为椭球面为椭球面 上的点，若上的点，若 S 在在点点 P 处的切平面与处的切平面与 xOy 面垂直面垂直，求点求点 P 的轨迹的轨迹 C，并计算并计算曲面积分曲面积分 ，其中其中 是椭球是椭球面面 S 位于曲线位于曲线 C 上方的部分上方的部分.37例4第37页/共40页例5解第38页/共40页Thank you！第39页/共40页感谢您的观看！第40页/共40页