高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件：9.10棱锥.ppt

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1、第第九九章章直直线线、平平面面、简简单单几几何何体体19.9 棱棱 锥锥考考点点搜搜索索棱锥及其底面、侧面、侧棱、高棱锥及其底面、侧面、侧棱、高等概念，正棱锥的概念等概念，正棱锥的概念棱锥的基本性质及平行于棱锥底棱锥的基本性质及平行于棱锥底面的截面性质面的截面性质多面体的有关概念多面体的有关概念2高高考考猜猜想想1.通过判断命题真假考查棱锥有关概念通过判断命题真假考查棱锥有关概念和性质和性质.2.有关棱锥的棱长、高、面积等几何量有关棱锥的棱长、高、面积等几何量的计算的计算.3.以棱锥为背景，分析线面位置关系，以棱锥为背景，分析线面位置关系，以及空间角和距离的计算以及空间角和距离的计算.3 1.

2、如如果果一一个个多多面面体体的的一一个个面面是是_,其其余余各各面面是是有有一一个个公公共共顶顶点点的的_,那那么么这个多面体叫做棱锥这个多面体叫做棱锥.在棱锥中有在棱锥中有_叫叫做做棱棱锥锥的的侧侧面面，余余下下的的那那个个多多边边形形叫叫做做棱棱锥锥的的_,两两个个相相邻邻侧侧面面的的_ 叫叫做做棱棱锥锥的的侧侧棱棱，各各侧侧面面的的_叫叫做做棱棱锥锥的的顶顶点点，由由顶顶点点到到底底面面所所在在平平面面的的_叫叫做做棱棱锥锥的的高高.底底面面是是_，并并且且顶顶点点在在底面的射影是底面的射影是_的棱锥，叫做正棱锥的棱锥，叫做正棱锥.多边形多边形三角形三角形公共顶点公共顶点的各三角形的各三

3、角形底面底面公共边公共边公共顶点公共顶点垂线段垂线段正多边形正多边形底面中心底面中心4 2.如如果果棱棱锥锥被被平平行行于于底底面面的的平平面面所所截截，那那么么所所得得的的截截面面与与底底面面_，截截面面面面积积与与底底面面面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥的高的积的比等于顶点到截面距离与棱锥的高的 _.3.正正棱棱锥锥各各侧侧棱棱 _，各各侧侧面面都都是是全全等等的的 _，各各等等腰腰三三角角形形底底边边上上的的高高 _(它叫做正棱锥的斜高它叫做正棱锥的斜高).4.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个影组成一个 _,正棱锥的高、侧棱、正棱锥的高、侧

4、棱、侧棱在底面内的射影也组成一个侧棱在底面内的射影也组成一个 _.相似相似平方比平方比相等相等等腰三角形等腰三角形相等相等直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形5 5.设棱锥的底面积为设棱锥的底面积为S，高为，高为h，则其，则其体积体积V=_.6.由若干个由若干个 _围成的空间围成的空间图形叫做多面体，围成多面体的各个多边形图形叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的叫做多面体的 _，两个面的，两个面的 _叫做叫做多面体的棱，棱和棱的多面体的棱，棱和棱的 _叫做多面叫做多面体的顶点，连结体的顶点，连结 _的两个顶的两个顶点的线段叫做多面体的对角线点的线段叫做多面体的对角线.平面多边形平

5、面多边形面面公共边公共边公共点公共点不在同一面上不在同一面上6 8.每个面都是有相同边数的每个面都是有相同边数的 _,每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做体，叫做 _.表面经过连续变形可变为表面经过连续变形可变为 _的多的多面体，叫做简单多面体面体，叫做简单多面体.7.把一个多面体的任一个面伸展成平面，把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的如果其余的面都位于这个平面的 _，这样的多面体叫做凸多面体。这样的多面体叫做凸多面体。同一侧同一侧正多边形正多边形正多面体正多面体球面球面7 盘点指南盘点指南：多边形；多边形；三角形；三角形；公

6、公共顶点的各三角形；共顶点的各三角形；底面；底面；公共边；公共边；公公共顶点；共顶点；垂线段；垂线段；正多边形；正多边形；底面中心；底面中心；相似；相似；平方比；平方比；相等；相等；等腰三角形；等腰三角形；相等；相等；直角三角形；直角三角形；直角三角形；直角三角形；Sh;平面多边形；平面多边形；面面;公共边；公共边；公共点；公共点；不在不在同一面上；同一面上；同一侧；同一侧；正多边形；正多边形；正多面体；正多面体；球面球面8 正六棱锥正六棱锥P-ABCDEF中，中，G为为PB的中点，的中点，则三棱锥则三棱锥D-GAC与三棱锥与三棱锥P-GAC体积之比为体积之比为()A.1 1 B.1 2 C.

7、2 1 D.3 2 解：解：由于由于G是是PB的中点的中点,故故P-GAC的体积等于的体积等于B-GAC的体积的体积.如图，在底面正六边形如图，在底面正六边形ABCDEF中，中，BH=ABtan30=AB,而而BD=AB,故故DH=2BH,于是于是VD-GAC=2VB-GAC=2VP-GAC.C9 若正三棱锥底面边长为若正三棱锥底面边长为4，体积为，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小为则侧面和底面所成二面角的大小为()A.arctan B.arctan2 C.arctan3 D.arctan 解：解：如图，取如图，取BC的中点的中点D，连结，连结SD、AD，则，则SDBC，ADBC.所以所

8、以SDA为侧面与底面所成二面角的平为侧面与底面所成二面角的平面角，设为面角，设为.A10 在平面在平面SAD中，作中，作SOAD,与与AD交于交于O，则，则SO为棱锥的高为棱锥的高h.又又AO=2DO，所以，所以 .由由VS-ABC=ABBCsin60h=1，得，得h=,所以所以tan=所以所以=arctan 11 过棱锥高的三等分点作两个平行于底面过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比积的比(自上而下自上而下)为为 .解：解：由锥体平行于底面的截面性质知，由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比为自

9、上而下三锥体的侧面积之比为S侧侧1 S侧侧2 S侧侧3=1 4 9，所以锥体被分成三部分的侧面积之，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为比为1 3 5.1 3 512 1.正三棱锥正三棱锥P-ABC的底面边长为的底面边长为a，D为侧棱为侧棱PA上一点，且上一点，且AD=2PD.若若PA平面平面BCD，求这个三棱锥的高，求这个三棱锥的高.解：解：设设PD=x，则则AD=2x，PA=PB=PC=3x.因为因为PA平面平面BCD，所以所以PABD.所以所以AB2-AD2=PB2-PD2，题型题型1 棱锥中有关量的计算棱锥中有关量的计算13 即即a2-4x2=9x2-x2，得得 作作PO底面底面ABC，

10、垂足为垂足为O，则，则O为为ABC的中心，连结的中心，连结OC，则则 在在RtPOC中，中，故三棱锥故三棱锥P-ABC的高为的高为 .14 点评：点评：与棱锥有关量的计算问题，一与棱锥有关量的计算问题，一般先作出棱锥的高，根据需要可设所求量般先作出棱锥的高，根据需要可设所求量的大小为参数，然后利用方程思想，找到的大小为参数，然后利用方程思想，找到参数的方程，再求解方程以得出所求参数的方程，再求解方程以得出所求.这是这是方程思想在解题中的具体应用方程思想在解题中的具体应用.15 已知已知E、F分别是棱长为分别是棱长为a的正的正方体方体ABCD-A1B1C1D1的棱的棱A1A、CC1的中点，的中点

11、，求四棱锥求四棱锥C1-B1EDF的体积的体积.解法解法1：连结连结A1C1、B1D1交于交于O1，过，过O1作作O1HB1D于于H.因为因为EFA1C1，所以所以A1C1平面平面B1EDF.所以所以C1到平面到平面B1EDF的距离的距离就是就是A1C1到平面到平面B1EDF的距离的距离.16因为平面因为平面B1D1D平面平面B1EDF，所以所以O1H平面平面B1EDF，即，即O1H为棱锥的高为棱锥的高.因为因为B1O1HB1DD1，所以所以17 解法解法2：连结连结EF，设，设B1到平面到平面C1EF的距离为的距离为h1，D到平面到平面C1EF的距离为的距离为h2，则则 ，所以所以 解法解法

12、3：18 2.设正三棱锥设正三棱锥P-ABC的底边长为的底边长为a，侧，侧棱长为棱长为2a，E、F分别为分别为PB、PC上的动点，求上的动点，求AEF的周的周长的最小值长的最小值.解：解：将三棱锥侧面沿将三棱锥侧面沿PA展开到同一平面展开到同一平面上，如图上，如图.则则AE+EF+FAAA.取取BC的中点的中点D，连结，连结PD，题型题型2 棱锥表面展开图的应用棱锥表面展开图的应用19 则则PDBC.设设CPD=，则则sin=.设设PD交交AA于于H，则则H为为AA的中点，且的中点，且PHAA.所以所以AH=PAsin3=，所以，所以AA=.故故AEF的周长的最小值为的周长的最小值为 .点评：

13、点评：求与多面体有关的表面距离的求与多面体有关的表面距离的最小值问题，常常将其展开成平面图，然最小值问题，常常将其展开成平面图，然后在其平面展开图上求其最值后在其平面展开图上求其最值.20 如图，课桌上放着一个正三棱如图，课桌上放着一个正三棱锥锥S-ABC，SA=1，ASB=30，蚂蚁从点，蚂蚁从点A沿三棱锥的侧面爬行沿三棱锥的侧面爬行(必须经过三棱锥的三必须经过三棱锥的三个侧面个侧面)再回到再回到A，它按怎样的路线爬行，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短才使其行迹最短.21 解：解：沿沿SA剪开得展开图如右剪开得展开图如右.在在SAE中，中，则则 ，所以所以 .利用尺规作图利用尺规作图可以找

14、到可以找到E和和F，从而确定蚂蚁的最佳行迹，从而确定蚂蚁的最佳行迹AEFA.22题型题型3 多面体背景中的线面关系问题多面体背景中的线面关系问题3.(2011全国卷)如图，四棱锥S-ABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形AB=BC=2，CD=SD=1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的大小解：(1)证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2.23连结SE，则SEAB，SE=.又SD=1，故ED2=SE2+SD2，所以DSE为直角由ABDE，ABSE，DESE=E，得AB平面SDE，所以ABSD.SD与两条相交直线AB、SE都垂

15、直所以SD平面SAB.242526点评：点评：本小题主要考查线面垂直、直线与平面所成的角的定义与求法在具体处理过程中，可围绕线面垂直的判定定理考虑，从而将问题转化为线线垂直的证明问题；在求解线面所成角的过程中，可考虑利用线面角的定义，先明确相应斜线在平面上的射影，从而求得相关的线面角27 右图是一个直三棱柱右图是一个直三棱柱(以以A1B1C1为底为底面面)被一平面所截得到的几何体，截面为被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知已知A1B1=B1C1=1，A1B1C1=90，AA1=4，BB1=2，CC1=3.(1)设点设点O是是AB的中点，的中点，证明：证明：OC平面平面A1B1C1；(2

16、)求二面角求二面角BACA1的大小；的大小；(3)求此几何体的体积求此几何体的体积.28 解：解：(1)证明：作证明：作ODAA1交交A1B1于于D，连结连结C1D.则则ODBB1CC1.因为因为O是是AB的中点，的中点，所以所以 则四边形则四边形ODC1C是平行四边形，因此有是平行四边形，因此有OCC1D.又又C1D平面平面C1B1A1且且OC平面平面C1B1A1，所以，所以OC平面平面A1B1C1 (2)如图，过如图，过B作截面作截面BA2C2平面平面A1 B1 C1，分别交，分别交AA1、CC1于于A2、C2.作作BHA2C2于于H，连结，连结CH.29 因为因为CC1平面平面BA2C2

17、，所以，所以CC1 B H，则，则BH平面平面A1C1CA.又因为又因为A B=，BC=，AC=，所以，所以AB2=BC2+AC2，所，所以以BCAC.根据三垂线定理知，根据三垂线定理知，CHAC，所以所以BCH就是所求二面角就是所求二面角B-AC-A1的平面的平面角角.因为因为BH=，所以，所以 ，故故BCH=30.所以所求二面角所以所求二面角B-AC-A1的的大小为大小为30.30 (3)因为因为BH=，所以所以 故所求几何体的体积为故所求几何体的体积为31 1.对对于于三三棱棱锥锥，它它的的每每一一个个面面都都可可作作为为棱棱锥锥的的底底面面，每每一一个个顶顶点点都都可可作作棱棱锥锥的的

18、顶顶点点，而而体体积积总总保保持持不不变变.因因此此，计计算算三三棱棱锥锥的的体体积积时时，要要注注意意顶顶点点和和底底面面的的选选择择.根根据据三三棱棱锥锥的的体体积积不不变变性性，可可得得到到处处理理问问题的一种重要方法题的一种重要方法等体积法等体积法.32 2.棱棱锥锥的的侧侧棱棱均均相相等等，则则顶顶点点在在底底面面上上的的射射影影为为底底面面多多边边形形的的外外心心；棱棱锥锥的的各各侧侧面面与与底底面面所所成成的的二二面面角角均均相相等等，则则顶顶点点在在底底面面上上的的射射影影为为底底面面多多边边形形的的内内心心；如如果果三三棱棱锥锥的的三三条条侧侧棱棱两两两两垂垂直直，则则顶顶点

19、点在在底面上的射影为底面三角形的垂心底面上的射影为底面三角形的垂心.33 3.正正棱棱锥锥的的侧侧面面和和底底面面所所成成的的二二面面角角相相等等，侧侧棱棱与与底底面面所所成成的的角角都都相相等等，相相邻邻的的两两侧侧面面所所成成的的二二面面角角也也都都相相等等.记记正正棱棱锥锥的的侧侧面面积积为为S侧侧，底底面面积积为为S底底，侧侧面面与与底底面面所所成的角记为成的角记为，则，则cos=.34 4.若若正正四四面面体体的的棱棱长长为为a，则则正正四四面面体体的的高高为为 ，外外接接球球的的半半径径为为 ，内内切切球球的的半半径径为为 ，相相邻邻两两个个面面所所成成的的角角的的余余弦弦值值为为 ，任任一一条条侧侧棱棱和和底底面面所所成成的的角角的的余余弦弦值值为为 .35 5.求求经经过过多多面面体体某某些些面面的的折折线线长长的的最最小小值值，一一般般将将这这些些面面展展开开到到同同一一平平面面，再再转转化化为为求求两两点点间间的的距距离离，这这是一类最值问题的几何解法是一类最值问题的几何解法.36