[考研数学]北京航天航空大学线性代数 1-4.ppt

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1、第四节第四节 克莱坶定理克莱坶定理定理定理4.1克莱姆克莱姆(carmer)定理定理 若线性方程组若线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有唯一的解，且解有唯一的解，且解可以用行列式表示为可以用行列式表示为证明证明在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,于是于是当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解由于方程组由于方程组

2、与方程组与方程组 等价等价,故故也是方程组的也是方程组的 解解.证毕证毕推论推论1若齐次方程组若齐次方程组（i=1,2,n)的系数行列式的系数行列式D不等于不等于0，则它，则它(当且仅当当且仅当)只有唯只有唯一的零解。一的零解。证明证明因为因为D不等于不等于0，所以方程组有唯一解。又因为，所以方程组有唯一解。又因为常数项均为常数项均为0，那么，那么Dj=0,(j=1,2,n)。于是于是（j=1,2,n)推论推论2若齐次方程组若齐次方程组（i=1,2,n)有非零解，则它的有非零解，则它的(当且仅当当且仅当)系数行列系数行列式必为零。式必为零。推论推论2为推论为推论1的逆否命题，故显然成立。的逆否命题，故显然成立。例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组解解例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组解解例例2 k为何值时，方程组为何值时，方程组只有零解？解：由推论1，方程组只有零解时，系数行列式D不为零.因为要使D0，即k 1,k4.所以，k 1,k4时，方程组只有零解.例例2 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.