同济高数第4章课件第四节.ppt

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1、第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分定义：定义：这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；其中其中m、n 都是非负整数；都是非负整数；都是实数，并且都是实数，并且几种简单分式的积分几种简单分式的积分例例2 2 求求解解（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，有理真分式化为部分分式之和的步骤：有理真分式化为部分分式之和的步骤：（2）分母中若有）分母中若有 ，则分项后对应于则分项后对应于 1.将分母分解因式，将分母分解因式，其中其中 都是常数都是常数 2.按下列规律分项按下列规律分项则分

2、项后对应于则分项后对应于例例3 3 求求解解例例4 4 求求解解代入特殊来确定系数代入特殊来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入整理得整理得解解例例5 5 求积分求积分练习练习 求积分求积分 几种简单分式的积分几种简单分式的积分令令以上四类积分均可积出以上四类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论:有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.由三角函数和常数由三角函数和常数,二、三角函数有理式的积分 经过有限次四则运算经过有限次四则运算构成的函数记为构成的函数记为令令（万能置换公式）（万能置换公式）例例6 6 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式例例7 7 求积分求积分解（一）解（一）解（二）解（二）结论结论 万能置换不一定是最佳方法万能置换不一定是最佳方法,在三角有在三角有理式的积分计算中，应在其它手段与用理式的积分计算中，应在其它手段与用万能置换中择优选用万能置换中择优选用.讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例8 8 求积分求积分解解 令令 三、简单无理函数的积分例例9 9 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.