第三章复变函数积分ppt课件.ppt

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1、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第一节 复变函数积分的概念第二节 柯西古萨基本定理第三节 基本定理的推广第四节第四节 原函数与不定积分原函数与不定积分第五节第五节 柯西积分公式柯西积分公式第六节第六节 高阶导数高阶导数第七节第七节 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系1第一节第一节 复变函数积分的概念复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质四、小结与思考2篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计

2、时计分系统是一种得分类型的系统一、积分的定义一、积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲线曲线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向(或正向或正向),),那么我们就把那么我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线,称为有向曲线称为有向曲线.如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,3篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正

3、向的定义:简单闭曲线简单闭曲线C的正向是的正向是指当曲线上的点指当曲线上的点P顺此方向顺此方向前进时前进时,邻近邻近P点的曲线的点的曲线的内部始终位于内部始终位于P点的左方点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明:在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点,另一个作为终点另一个作为终点,除特殊声明外除特殊声明外,正正方向总是指从起点到终点的方向方向总是指从起点到终点的方向.4篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2

4、.积分的定义积分的定义:5篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(6篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统关于定义的说明关于定义的说明:7篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二、积分存在的条件及其计算法二、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件存在的条件8篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 9篮球比赛是根据运动队

5、在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,10篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,11篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式12篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.积分的

6、计算法积分的计算法13篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的,曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.14篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例1 解解直线方程为直线方程为15篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关16篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里

7、得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例2 解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x17篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x18篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统y=x(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为19篮球比赛是根据运动队在规定的比赛

8、时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例3 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为20篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例4 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为21篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.22篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系

9、统三、积分的性质三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估估值值不不等等式式23篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统性质性质(4)的证明的证明两端取极限得两端取极限得证毕证毕24篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例5解解根据估值不等式知根据估值不等式知25篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统26篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间

10、里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统四、小结与思考四、小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重本课中重点掌握复积分的一般方法点掌握复积分的一般方法.27篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统思考题思考题28篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得

11、分类型的系统思考题答案思考题答案即为一元实函数的定积分即为一元实函数的定积分.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.29篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第二节第二节 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理一、问题的提出二、基本定理三、典型例题四、小结与思考30篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例1 解解直线方程为直线方程为31篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统这两个积分

12、都与路线这两个积分都与路线C 无关无关32篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式33篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理一定理一由定理一可知由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关终点有关34篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统基本定理基本定理柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理定理中的

13、定理中的 C 可以不是简可以不是简单曲线单曲线.此定理也称为此定理也称为柯西积分定柯西积分定理理.柯西介绍柯西介绍古萨介绍古萨介绍35篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统关于定理的说明关于定理的说明:(1)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,(2)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,定理仍成立定理仍成立.38篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统三、典型例题三、典型例题例例1 1解解根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理,有

14、有39篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例2 2证证由柯西古萨定理由柯西古萨定理,40篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统由柯西古萨定理由柯西古萨定理,由上节例由上节例4可知可知,41篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例3 3解解根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得42篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系

15、统43篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统四、小结与思考四、小结与思考 通过本课学习通过本课学习,重点掌握柯西古萨基本定重点掌握柯西古萨基本定理理:并注意定理成立的条件并注意定理成立的条件.44篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统思考题思考题应用柯西应用柯西古萨定理应注意什么古萨定理应注意什么?45篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统思考题答案思考题答案(1)注意定理的条件注意定理

16、的条件“单连通域单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用注意定理的不能反过来用.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.46篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第三节第三节 基本定理的推广基本定理的推广一、问题的提出二、复合闭路定理三、典型例题复合闭路定理复合闭路定理四、小结与思考47篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统一、问题的提出一、问题的提出根据本章第一节例根据本章第一节例4可知可知,由此希望将基本定理推广到多连域中由此希望将基本定理推广到

17、多连域中.48篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二、复合闭路定理二、复合闭路定理1.闭路变形原理闭路变形原理49篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统50篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统得得51篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在不因闭曲线在区域内

18、作连续变形而改变它的值区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理闭路变形原理说明说明:在变形过程中曲线不经在变形过程中曲线不经过函数过函数 f(z)的不解析的点的不解析的点.52篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.复合闭路定理复合闭路定理那末那末53篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统54篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统三、典型例题三、典型例题例例1 1解解依题意知依题意知

19、,55篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统根据复合闭路定理根据复合闭路定理,56篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例2 2 解解圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,57篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例3 3解解58篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型

20、的系统由复合闭路定理由复合闭路定理,此结论非常重要此结论非常重要,用起来很方用起来很方便便,因为因为 不必是圆不必是圆,a也不必也不必是圆的圆心是圆的圆心,只要只要a在简单闭曲在简单闭曲线线 内即可内即可.59篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统四、小结与思考四、小结与思考 本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它掌握并能灵活应用它是本章的难点是本章的难点.常用结论常用结论:60篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决

21、定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统思考题思考题 复合闭路定理在积分计算中有什么用复合闭路定理在积分计算中有什么用?要要注意什么问题注意什么问题?61篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统思考题答案思考题答案 利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法最主要方法.使用复合闭路定理时使用复合闭路定理时,要注意曲线的方向要注意曲线的方向.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.62篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计

22、分系统是一种得分类型的系统第四节 原函数与不定积分一、主要定理和定义二、典型例题三、小结与思考63篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统一、主要定理和定义一、主要定理和定义定理一定理一由定理一可知由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关终点有关,(如下页图如下页图)1.两个主要定理两个主要定理:64篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统65篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此

23、，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统由于积分与路线无关由于积分与路线无关,67篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统68篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统由积分的估值性质由积分的估值性质,69篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似定理完全类似.证毕证毕70篮球比赛是根据运动队在规定的比赛

24、时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统3.不定积分的定义不定积分的定义:定理三定理三(类似于牛顿类似于牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)73篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二、典型例题二、典型例题例例1 1解解由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,75篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例2 2解解(使用了微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)76篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多

25、少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例3 3解解由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,77篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例3 3另解另解此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”78篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例4 4解解利用分部积分法可得利用分部积分法可得课堂练习课堂练习答案答案79篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种

26、得分类型的系统三、小结与思考三、小结与思考 本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式.在学习中应注意与高等数学中相关内容在学习中应注意与高等数学中相关内容相结合相结合,更好的理解本课内容更好的理解本课内容.82篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统思考题思考题 解析函数在单连通域内积分的牛顿解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼兹莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有何异莱布尼兹公式有何异同同?83篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时

27、间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统思考题答案思考题答案两者的提法和结果是类似的两者的提法和结果是类似的.两者对函数的要求差异很大两者对函数的要求差异很大.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.84篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第五节 柯西积分公式 一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考85篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统一、问题的提出一、问题的提出根据闭路变形原理知根据闭路变形

28、原理知,该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变的变化而改变,求这个值求这个值.86篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统87篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二、柯西积分公式二、柯西积分公式定理定理证证88篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统89篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统上不等式表明上

29、不等式表明,只要只要 R 足够小足够小,左端积分的模左端积分的模就可以任意小就可以任意小,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,左端积分的值与左端积分的值与 R 无关无关,所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.证毕证毕柯西积分公式柯西积分公式柯西介绍柯西介绍90篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上内部任一点的值用它在边界上的值表示的值表示.(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特

30、征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个而且给出了解析函数的一个积分表达式积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值上的平均值.91篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统三、典型例题三、典型例题例例1 1解解92篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统

31、由柯西积分公式由柯西积分公式93篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例2 2解解由柯西积分公式由柯西积分公式94篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例3 3解解由柯西积分公式由柯西积分公式95篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例5 5解解97篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例5 5解解98篮球比赛

32、是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统由闭路复合定理由闭路复合定理,得得例例5 5解解99篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统课堂练习课堂练习答案答案102篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统四、小结与思考四、小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西它的证明基于柯西古萨基本定理古萨基本定理,它的重要性它的重要性在于在于:一个解析函

33、数在区域内部的值可以用它在一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函所以它是研究解析函数的重要工具数的重要工具.柯西积分公式柯西积分公式:103篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统思考题思考题 柯西积分公式是对有界区域而言的柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推能否推广到无界区域中广到无界区域中?104篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统思考题答案思考题答案可以可以.其中积分方向应是顺时针方向其

34、中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.105篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第六节 高阶导数一、问题的提出二、主要定理三、典型例题四、小结与思考107篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统一、问题的提出一、问题的提出问题问题:(1)解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数若有高阶导数,其定义和求法是否与实变其定义和求法是否与实变函数相同函数相同?回答回答:(1)解析函数有各高阶导数解析函数有各

35、高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示过积分来表示,这与实变函数完全不同这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么解析函数高阶导数的定义是什么?108篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二、主要定理二、主要定理定理定理证证109篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统根据导数的定义根据导数的定义,从柯西积分公式得从柯西积分公式得110篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜

36、负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统111篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统112篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统再利用以上方法求极限再利用以上方法求极限113篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数析函数.依次类推依次类推,利用数学归纳法可证利用数学归纳法可证证毕证毕高阶导数

37、公式的作用高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而在于通过求导而在于通过求导来求积分来求积分.114篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统三、典型例题三、典型例题例例1 1解解115篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统116篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统根据复合闭路定理根据复合闭路定理117篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此

38、，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统118篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例2 2解解119篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统120篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例3 3解解由柯西古萨基本定理得由柯西古萨基本定理得由柯西积分公式得由柯西积分公式得121篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统

39、122篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统课堂练习课堂练习答案答案123篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例4 4解解124篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导数公式,125篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统126篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里

40、得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例5 5(Morera定理定理)证证依题意可知依题意可知127篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统参照本章第四节定理二参照本章第四节定理二,可证明可证明因为解析函数的导数仍为解析函数因为解析函数的导数仍为解析函数,128篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统四、小结与思考四、小结与思考 高阶导数公式是复积分的重要公式高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明它表明了了解析函数的导数仍然是

41、解析函数解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重这一异常重要的结论要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本同时表明了解析函数与实变函数的本质区别质区别.高阶导数公式高阶导数公式129篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第七节 解析函数与调和函数的关系 一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考130篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统一、调和函数的定义一、调和函数的定义定义定义 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和

42、电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.拉普拉斯拉普拉斯131篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系1.两者的关系两者的关系定理定理 任何在区域任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部它的实部和虚部都是和虚部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证证132篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统根据解析函数高阶导数定理根据解析函数高阶导数定理,证毕证毕133篮球比赛是根据运动队

43、在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数和函数.134篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统3.偏积分法偏积分法 如果已知一个调和函数如果已知一个调和函数 u,那末就可以利用那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v,从而从而构成一个解析函数构成一个解析函数u+vi.这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.解解例例1

44、 135篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统136篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统得一个解析函数得一个解析函数这个函数可以化为这个函数可以化为答案答案课堂练习课堂练习137篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统4.不定积分法不定积分法不定积分法的实施过程不定积分法的实施过程:138篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类

45、型的系统将上两式积分将上两式积分,得得139篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例3 3解解根据调和函数的定义可得根据调和函数的定义可得140篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统所求解析函数为所求解析函数为141篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例6 解解两边同时求导数两边同时求导数所以上面两式分别相加减可得所以上面两式分别相加减可得142篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间

46、里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统143篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统三、小结与思考三、小结与思考 本节我们学习了调和函数的概念、解析函数本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应应注意注意的是的是:1.任意两个调和函数任意两个调和函数u与与v所构成的所构成的函数函数u+iv不一定是解析函数不一定是解析函数.2.满足柯西满足柯西黎曼方程黎曼方程ux=vy,vx=uy,的的v称为称为u的共轭调和函数的共轭调和函数,u与与v注意的是地位不能颠倒注意的是地位不能颠倒.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.144