02-分析动力学1-约束理论课件.pptx

《02-分析动力学1-约束理论课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《02-分析动力学1-约束理论课件.pptx（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、王天舒（王天舒（）分析动力学分析动力学之之约束理论约束理论4/24/20231内容内容1：约束、广义坐标：约束、广义坐标内容内容2：约束的几何意义：约束的几何意义内容内容3：约束对运动的影响（位移、速度）。约束对运动的影响（位移、速度）。虚位移是约束被虚位移是约束被“冻结冻结”后此瞬时后此瞬时约束约束允许的无限允许的无限小位移，与时间小位移，与时间t的变化无关的变化无关(t 0)。分析力学的基础概念：分析力学的基础概念：虚位移虚位移虚位移虚位移4/24/202321.1 1.1 位形空间位形空间对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系Oxyz。为。为描述

2、一个质点的运动，需考虑在每一时刻描述一个质点的运动，需考虑在每一时刻t t的向径的向径r(t):对于由对于由N N个质点所构成的系统，则需要个质点所构成的系统，则需要3N3N个数来表示质个数来表示质点系统的位置和形状（点系统的位置和形状（位形位形）：）：引入由这引入由这3N3N个数张成的抽象空间来表示位形个数张成的抽象空间来表示位形c c，令该空，令该空间是由这间是由这3N3N个数构成各维的正交欧氏空间个数构成各维的正交欧氏空间C C，称为位形，称为位形空间。空间。4/24/20233系统每一时刻的位形唯一对应于系统每一时刻的位形唯一对应于C C空间的一个表现点空间的一个表现点c cC C空间

3、的一个点空间的一个点c c对应于系统的一个位形对应于系统的一个位形当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在C C空间中空间中画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的C C轨迹轨迹。C C轨迹轨迹的一般性质：的一般性质：1.1.C C轨迹是连续的；轨迹是连续的；2.2.C C轨迹可以有重点；轨迹可以有重点；3.3.C C轨迹的拐点仅发生在如下情况；轨迹的拐点仅发生在如下情况；a.a.静止点处；静止点处；b.b.在有打击作用的时刻；在有打击作用的时刻；4/24/202341.2 1.2 约束约束约束：约束：非自由质点系

4、在空间中的位置及其在运动中受到的限制非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制约束方程：约束方程：用数学方程表达各质点所受的限制条件用数学方程表达各质点所受的限制条件在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。绝大多数的运动都是约束运动。绝大多数的运动都是约束运动。刚性杆4/24/20235具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束完整约束：A1.3 1.3 完整约束完整约束4/24/20236如约束表达式中不显含如约束表达式中不显含时间时间 t t，则称其为，则称其为定

5、常约束定常约束(scleronomic constraint)(scleronomic constraint)；否则称为否则称为非定常约束非定常约束(rheonomic constraint)(rheonomic constraint)。4/24/20237对于对于定常约束定常约束：一个约束方程构成位形空间上的一个一个约束方程构成位形空间上的一个N-1N-1维维固定固定曲面。曲面。对于对于非非定常约束定常约束？系统运动的系统运动的c c轨迹必须位于该曲面内。轨迹必须位于该曲面内。4/24/202381.4 1.4 广义坐标广义坐标能够能够唯一唯一地确定质点系地确定质点系可能位置可能位置的独立参

6、数称为广义坐标。的独立参数称为广义坐标。选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定广义坐标数为：广义坐标数为：N 质点总数质点总数 r 完整约束的总数；完整约束的总数；4/24/20239取一组新的坐标：取一组新的坐标：两组坐标之间的变换关系：两组坐标之间的变换关系：两组坐标均可以描述质点的位形两组坐标均可以描述质点的位形考虑系统由一个质点构成考虑系统由一个质点构成约束方程为：约束方程为：x-y=0=04/24/202310注意到完整约束关系注意到完整约束关系:则有：则有：即可以用两个坐标表示系统的位形：即可以用两个坐标表示系统的位形：广义

7、坐标广义坐标在广义坐标下系统的完整约束自然满足，约束方程可不予在广义坐标下系统的完整约束自然满足，约束方程可不予考虑。考虑。4/24/202311设由设由N个质点组成的系统包含个质点组成的系统包含独立独立的的r个完整约束个完整约束引入一组新的变量引入一组新的变量q q：令变换关系中的前令变换关系中的前r项为完整约束，其余部分任选，但要求变项为完整约束，其余部分任选，但要求变换式为无关组。换式为无关组。则可以得到从则可以得到从x到到q q的变换：的变换：4/24/202312注意到完整约束关系注意到完整约束关系:则有：则有：即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示当采用广

8、义坐标时，完整约束自动满足。当采用广义坐标时，完整约束自动满足。4/24/202313假设约束曲面是光滑的，有：假设约束曲面是光滑的，有：在约束面上的任一点处的充分小临域内，约束方程要求所在约束面上的任一点处的充分小临域内，约束方程要求所有的可能轨迹必须在其有的可能轨迹必须在其切平面切平面内，而不是内，而不是约束曲面约束曲面内。内。虚位移在约束曲面的切平面内。虚位移在约束曲面的切平面内。4/24/202314在光滑球面上运动的质点，球面方程为：在光滑球面上运动的质点，球面方程为：约束方程：约束方程：无穷小的位移改变应满足：无穷小的位移改变应满足：4/24/202315设在无穷小位移上的约束为：

9、设在无穷小位移上的约束为：其中其中g(z)为为z z的已知函数，求加在有限位移上的约束的已知函数，求加在有限位移上的约束解：解：没有没有加在有限位移上的约束。加在有限位移上的约束。若令加在有限位移上的约束为：若令加在有限位移上的约束为：则有：则有：加在加在无穷小位移无穷小位移上的约束不一定会限制上的约束不一定会限制有限位移有限位移的运动。的运动。速度约束不一定对位速度约束不一定对位移有限制。移有限制。4/24/202316不可化为完整约束形式的约束为不可化为完整约束形式的约束为非完整约束非完整约束。大多数实际遇到的非完整约束问题，其约束方程为质大多数实际遇到的非完整约束问题，其约束方程为质点速

10、度的点速度的一次代数方程一次代数方程：OxyvC1.5 1.5 非完整约束非完整约束4/24/202317上述形式的微分约束称为上述形式的微分约束称为PfaffPfaff约束约束。将速度形式的约束方程写成微分形式：将速度形式的约束方程写成微分形式：对于完整约束：对于完整约束：有：有：则系统的约束方程可以统一表示为微分形式：则系统的约束方程可以统一表示为微分形式：有关于有关于PfaffPfaff约束的可积性定理可见参考文献约束的可积性定理可见参考文献4/24/202318完整约束限制系统的位形轨迹必须在约束曲面上。完整约束限制系统的位形轨迹必须在约束曲面上。非完整约束非完整约束？例：对于非完整约

11、束：例：对于非完整约束：可否由原点到达空间中的可否由原点到达空间中的任一点任一点(x1 1,y1 1,z1 1)？在在xy平面内作函数平面内作函数y=f(x)：解：解：定义质点的轨迹为：定义质点的轨迹为：4/24/202319显然质点的轨迹满足：显然质点的轨迹满足：1.1.过原点过原点2.2.过过(x1 1,y1 1,z1 1)点点3.3.满足约束方程：满足约束方程：完整约束完整约束会减小可达的位形空间的维数，而会减小可达的位形空间的维数，而非完整约非完整约束束则不会。则不会。完整约束完整约束会减小广义坐标数，而会减小广义坐标数，而非完整约束非完整约束则不会。则不会。滑冰！滑冰！4/24/20

12、2320END！4/24/2023211、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。4月-234月-23Monday,April 24,20232、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。18:07:3318:07:3318:074/24/2023 6:07:33 PM3、越是没有本领的就越加自命不凡。4月-2318:07:3318:07Apr-2324-Apr-234、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。18:07:3318:07:3318:07Monday,April 24,20235、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。4月-234月-2318:07:3318:07:33April 24

13、,20236、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。24四月20236:07:33下午18:07:334月-237、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。四月236:07下午4月-2318:07April 24,20238、业余生活要有意义，不要越轨。2023/4/2418:07:3318:07:3324 April 20239、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。6:07:33下午6:07下午18:07:334月-2310、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。4/24/2023 6:07:33 PM18:07:3324-4月-2311、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。4/24/2023 6:07 PM4/24/2023 6:07 PM4月-234月-2312、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。24-Apr-2324 April 20234月-2313、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。Monday,April 24,202324-Apr-234月-2314、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自己眷恋了。4月-2318:07:3324 April 202318:07谢谢大家谢谢大家