课题：函数的单调性(教育精品).ppt

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1、 课题：函数的单调性人教A版高一数学必修一导入：导入：图示是长沙市某天图示是长沙市某天24小时内的气温变化图。小时内的气温变化图。气温气温是关于时间是关于时间 t 的函数，记为的函数，记为 f(t)，观观察这个气温变化图察这个气温变化图.气温在哪些时间段气温在哪些时间段内是逐渐升高的或内是逐渐升高的或下降的？下降的？一学生练习：画出下列函数图象一次函数f(x)=x的图象特点：函数图象由左至右是上升的二次函数f(x)=x的图象特点：函数图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的讨论根据上述函数图象的特点，如何来描述图象的“上升”与下降“呢？以二次函数为例，由其图象我们可以发现：图象在y轴左侧“下

2、降”，也就是，在区间（，上，随着x的增大，相应的f(x)反而随着减小；图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间（，）上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大提出问题：如何利用函数的解析式f(x)x描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”结合对图象的理解，我们可以这样描述“在区间（，）上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大“：在区间（，）上，任取两个xx，xx，得到，得到f(f(x)x ,f(,f(x)=x ,当当x x 有有f(x)f(x)，这时，我们就说函数，这时，我们就说函数f(x)x在区间（，）上是增函数问：能否仿照上面的描述说明函数f(

3、x)x在区间（，上是减函数呢？在区间（，上，任取两个x，x，得到，得到f(x)x,f(x)=x 当当x x 时，有时，有f(x)f(x)，我们就说函数，我们就说函数f(x)x在区间（，上是 减函数.新知识：新知识：1、增函数与减函数增函数与减函数定义：对于函数定义：对于函数y=f(x)的定义域的定义域I内某个区间上的任意两个内某个区间上的任意两个自变量的值自变量的值x，x 若当若当x x 时时，都有，都有f(x)f(x)，那么就说函数，那么就说函数f(x)在区间上是增函数在区间上是增函数若当若当x x 时，都有时，都有f(x)f(x),那么就说函数那么就说函数f(x)在区间上是减函数在区间上是

4、减函数.Ox xy yf f(x x)f f(x x)x x x x y=f（x）Ox xy yx x x x f f(x x)f f(x x)y=f（x）(1)(2)单调性与单调区间单调性与单调区间若函数若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有在这一区间具有(严格的严格的)单调性单调性,这一区间叫做函数这一区间叫做函数y=f(x)的单的单调区间调区间.此时也说函数此时也说函数y=f(x)是这一区间上的单调函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的在单调区间上，增函数的图象

5、是上升的，减函数的图象是下降的.注意注意：(1)x,x 是该区间内任意的两个实数，如果忽略任意取值这个条件，是该区间内任意的两个实数，如果忽略任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数就不能保证函数是增函数(或减函数或减函数)如例：如例：f(x)=x 在在(0，+)上为增函数上为增函数在在(-，0)上为减函数；但在上为减函数；但在(-，+)上不是单调函数上不是单调函数(2)函数的单调区间是其定义域上的子集函数的单调区间是其定义域上的子集0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征数量数

6、量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征y

7、随随x的增大而增大的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f

8、(x)y=f(x)图象图象特征特征数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大y随随x的增大而减小的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx

9、在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大当当x1x2时，时，f(x1)f(x2)y随随x的增大而减小的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征数量数量特征特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特

10、征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大当当x1x2时，时，f(x1)f(x2)0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)y=f(x)图象图象特征特征数量数量特征特征例例1、如图是定义在闭区间、如图是定义在闭区间-5，5上的函数上的函数y=f(x)的图象，根据图的图象，根据图 象说出象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数.

11、解：函数解：函数f(x)的单调区间有的单调区间有-5,-2)，-2,1)，1,3)，3,5,其中其中f(x)在区间在区间-5,-2)，1,3)上是减函数上是减函数在区间在区间-2,1)，3,5上是增函数上是增函数.-2 21 12 23 34 45 5-2-23 3-3-3-4-4-5-5-1-1-1-11 12 2练习：如图练习：如图,已知已知y=f(x)的图象的图象(包括端点包括端点),根据图象说出函数的单根据图象说出函数的单 调区间调区间,以及在每一单调区间上以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数函数是增函数还是减函数1 12 2-2-2-1-1-1-11 1o o注意：注意：函数

12、的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化值是唯一确定的常数，因而没有增减变化因此，在考虑它的单调区间时，因此，在考虑它的单调区间时，端点有定义时包括端点端点有定义时包括端点，端点无定义时不包括端点端点无定义时不包括端点.例物理学中的玻意尔定律p=k/v（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积v减小时，压强p将增大，试用函数的单调性证明之分析：按题意，只要证明函数p=k/v在区间（，）上是减函数即可证明：根据单调性的定义，设v，v是定义域（，）上的任意两个实数且vv，则p(v

13、)k/v，p(v)=k/v于是p(v)p(v)=k/v k/vk(v-v)/vv由v，v(0，+)，则vv由vv，得v-v又k，得p(v)p(v)即p(v)p(v)所以，函数p=k/v，v(0，+)是减函数，也就是说，当体积v减小时，压强将增大证明函数单调性的步骤证明函数单调性的步骤第一步：取值第一步：取值.即任取区间内的两个值即任取区间内的两个值x x，x x 且且x x 第二步：作差变形第二步：作差变形.将将f(x1)f(x2)通过因式分解、配方、有理化等通过因式分解、配方、有理化等 方法，向有利于判断差的符号的方向变形。方法，向有利于判断差的符号的方向变形。第三步：定号第三步：定号.确定差的符号，适当的时候需要进行讨论确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。第四步：判断第四步：判断.根据定义作出结论。根据定义作出结论。取值取值作差变形作差变形定号定号判断判断总结：探究画出反比例函数y=1/x的图象（）这个函数的定义域是什么？（）它在定义域上的单调性是怎样的？证明你的结论作业：习题1.A组，