高考数学专题-数列求和.doc

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1、 复习课： 数列求和一、【知识梳理】1等差、等比数列的求和公式，公比含字母时一定要讨论 2错位相减法求和：如：已知成等差，成等比，求3分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和4合并求和：如：求的和5裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项常见拆项： ， ， （理科）6倒序相加法求和：如等差数列求和公式的推导7其它求和法：归纳猜想法，奇偶法等二、【经典考题】【1.公式求和】例1（浙江）在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列（1）求； （2）若，求【分析】第一问注意准确利用等差等比数列定义即可求解，第二问要注意去绝对值时项的正负讨论【解答】（1

2、）由已知得到： （2）由（1）知，当时， 当时， 当时， 所以，综上所述： 【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力变式训练：（重庆文）设数列满足：，（1）求的通项公式及前项和；（2）已知是等差数列，为前项和，且，求【解答】（1）由题设知是首项为，公比为的等比数列，（2），故【2.倒序相加法】例2已知函数（1）证明：；（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和；（3）设数列满足：，若（2）中的满足对任意不小于的任意正整数恒成立，试求的最大值【分析】第（1）问，先利用指数的相关性质对化简，后证明左边=右边即可；第（2）问，注意利用（1）中

3、的结论，构造倒序求和；第（3）问，由已知条件求出的最小值，将不等式转化为最值问题求解【解答】（1）（2）由（1）知，即，又两式相加得，即（3）由，知对任意的，则，即，所以，即数列是单调递增数列关于递增，时，由题意知，即，解得，的最大值为【点评】解题时，对于某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和变式训练：已知函数（1）证明：；（2）求的值【解答】（1）（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，令，两式相加得： 所以【3.错位相减法】例3（山东理)设等差数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和为，且 (为常数)令，求数列的前项和【分析】第（1）问利用等差数列通项公式及

4、前项和公式列方程组求解及即可；第（2）问先利用与关系求出，进而用乘公比错位相减法求出【解答】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由得， ，解得， 因此 （2）由题意知：， 所以时， ，故， 所以， 则 ，两式相减得， 整理得 所以数列数列的前项和【点评】用错位相减法求和时，应注意：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数时的情形；（2）在写出与的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出的表达式；（3）利用错位相减法转化为等比数列求和时，若公比是参数（字母），一般情况要先对参数加以讨论，主要分公比为和不等于两种情况分别求和变式训练：(山东文)设等差数列的前项和为，且（1

5、）求数列的通项公式；（2）设数列满足 ，求的前项和【解答】（1）同例3（1）（2）由已知，当时，当时，结合知，又，两式相减得，【4.裂项相消法】例4(广东)设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有【分析】本题主要考查利用与关系求出，进而用裂项相消法求出和，然后采用放缩的方法证明不等式【解答】（1）当时， （2）当时， ， 当时，是公差的等差数列 构成等比数列，解得， 由(1)可知， ， 是首项，公差的等差数列 数列的通项公式为 （3） 【点评】（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩第一项和最后一项，也有可

6、能前后各剩两项或若干项；将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等（2）一般情况下，若是等差数列，则；此外，根式在分母上时可考虑利用分母有理化相消求和变式训练：（大纲卷文）等差数列中，（1）求的通项公式；（2）设【解答】（1）设等差数列的公差为，则 因为，所以 解得， 所以的通项公式为 （2）， 所以 【5.分组求和法】例5（安徽）设数列满足，且对任意，函数 满足（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【分析】，由可知数列为等差数列【解答】（1）由，得 ， 所以， ， 是等差数列 而， （2） ， 【点评】本题主要考查了分组求和法，具体求解过程中一定要

7、注意观察数列通项的构成特点，将其分成等差、等比或其它可求和的式子，分组求出即可变式训练：（2012山东）在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和【解答】（1）由可得，则，于是，即 （2）对任意，则，即， 于是，即【6.奇偶项求和】例6（2011山东）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和第一列第二列第三列第一行第二行第三行【分析】根据等比数列定义先判断出，求出通项；求和时要对分奇偶讨论【解答】（1）由题意知，因为是等比数列，所以公比为

8、，所以数列的通项公式（2）解法一：当时， 当时，故.解法二：令，即则故.【点评】解法一分为奇数和偶数对进行化简求和，而解法二直接采用乘公比错位相减法进行求和，只不过此时的公比 本题主要意图还是考查数列概念和性质，求通项公式和数列求和的基本方法变式训练：已知数列，求【解答】，若，则若 三、【解法小结】1数列求和的关键在于分析数列的通项公式的结构特征，在具体解决求和问题中，要善于从数列的通项入手观察数列通项公式的结构特征与变化规律，根据通项公式的形式准确、迅速地选择方法，从而形成“抓通项、寻规律、定方法”的数列求和思路是解决这类试题的诀窍2一般地，非等差（比）数列求和题的通常解题思路是：如果数列能

9、转化为等差数列或等比数列就用公式法；如果数列项的次数及系数有规律一般可用错位相减法、倒序相加法来解决；如果每项可写成两项之差一般可用裂项法；如果能求出通项，可用拆项分组法；如果通项公式中含有可用并项或分奇偶项求和法四、【小试牛刀】1数列前项的和为( )A B C D2数列的前项和为，若，则等于( )A B C D3数列中，若前项的和为，则项数为( )A B C D4（2013大纲）已知数列满足则的前项和等于( )ABCD5设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则( )ABCD6（2013新课标）设等差数列的前项和为，则( )A B C D7 8已知数列，则其前项和为 9.（2013江西）某住宅小区计划植树不少于棵,若第一天植棵,以后每天植树的棵树是前一天的倍,则需要的最少天数等于 10. 11(2013江苏）在正项等比数列中，则满足的最大正整数 的值为 12正项数列的前项和满足: .（1）求数列的通项公式；（2）令,数列的前项和为.证明:对于任意的,都有.参考答案：1B 2B 3C 4C 5D 6C 7 8 9 10. 11，.，.，所以的最大值为.12（1）由,得. 由于是正项数列,所以. 于是时,. 综上,数列的通项. （2）证明:由于. 则. .12