局部改变量的估值问题-微分及其运算.ppt

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1、3.3 局部改变量的估值问题局部改变量的估值问题 微分及其运算微分及其运算3.1 微分微分一、微分的概念一、微分的概念二、微分的几何意义二、微分的几何意义一、一、微分概念微分概念实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量设边长由设边长由x变到变到x+x正方形面积正方形面积S=x2 S=(x+x)2 x2=2x x+(x)2(1)(2)x x(x)2x xx xS=x2xx(1):x的线性函的线性函数数(2):x的高阶无穷小的高阶无穷小,当当|x|很小时可忽很小时可忽略略为为 S的主要部分的主要部分 2x xS=x2的微分的微分 设函数设函数y=f(x)在点在点x

2、处有增量处有增量 x,若若相应的函数增量相应的函数增量 y可表示成可表示成 y=A x+o(x),其中其中A与与 x无关无关,A x称为称为 y的的线性主部线性主部,o(x)是关于是关于 x的的高阶无穷小高阶无穷小,则称函数则称函数y=f(x)在点在点x可微可微,并称并称A x为函数为函数y=f(x)在点在点x处的处的微分微分,记作记作dy或或df(x),即即 dy=df(x)=A x定义定义有有 y=dy+o(x)由定义知由定义知:(1)dy是自变量的改变量是自变量的改变量 x的线性函的线性函数数(2)y dy=o(x)是比是比 x高阶无穷高阶无穷小小(3)当当A 0时时,dy与与 y是等价

3、无穷是等价无穷小小1(x0)(4)A与与 x无关无关,但与但与f(x)和和x有关有关(5)当当|x|很小时很小时,y dy (线性主部线性主部)函数函数f(x)在点在点x可微可微函数函数f(x)在点在点 x可导可导,且且A=f (x)定理定理证证必要性必要性:f(x)在点在点x可可微微 y=A x+o(x)=A即函数即函数f(x)在点在点x可导可导,且且A=f (x)充分性充分性:f(x)在点在点x可导可导从而从而 y=f (x)x+x=f (x)x+o(x)0(x0)即函数即函数f(x)在点在点x可微可微可导可导可微可微A=f (x)于是于是,微分微分dy=A x可写成可写成dy=f (x)

4、x 通常把自变量通常把自变量x的增量的增量 x称为自变称为自变量的微分量的微分,记作记作dx,即即dx=x令令y=xdy=dx=yx=xx=x于是于是,微分进一步可写成微分进一步可写成:dy=f (x)dx二、二、微分的几何意义微分的几何意义如图如图,即即 y是曲线的纵坐标增量时是曲线的纵坐标增量时,dy就是就是切线纵坐标对应的增量切线纵坐标对应的增量dy yT ）M0 x0yoxy=f(x)NMx0+xf (x0)=tan o(x)思考题思考题 由于函数由于函数y=f(x)在在x的可微性与可的可微性与可导性是等价的导性是等价的,所以有人说所以有人说“微分就微分就是是导数导数,导数就是微分导数

5、就是微分”,这说法对吗？这说法对吗？解答解答:说法不对说法不对 从概念上讲从概念上讲,微分是从求函数增量微分是从求函数增量引出线性主部而得到的引出线性主部而得到的,导数是从函数导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量变化率问题归纳出函数增量与自变量之比的极限之比的极限,它们是完全不同的概念它们是完全不同的概念3.2 微分公式和法则微分公式和法则一、导数公式和微分公式一、导数公式和微分公式二、导数法则和微分法则二、导数法则和微分法则微分的求法微分的求法:dy=y dx即计算函数的导数即计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分求导数和求微分的方法统称为求导数和求微分的方法统称为微分法微

6、分法一、导数公式和微分公式一、导数公式和微分公式(1)(C)=0d(C)=0(2)(x)=x 1d(x)=x 1dx(4)(ax)=axlnad(ax)=axlnadx(ex)=axd(ex)=exdx(5)(sinx)=cosxd(sinx)=cosxdx(cosx)=sinxd(cosx)=sinxdx(tanx)=sec2xd(tanx)=sec2xdx(cotx)=csc2xd(cotx)=csc2xdx(secx)=secxtanxd(secx)=secxtanxdx(cscx)=cscxcotx d(cscx)=cscxcotxdx二、导数法则和微分法则二、导数法则和微分法则(1)

7、(u v)=u v d(u v)=du dv(2)(uv)=u v+uv d(uv)=vdu+udv(Cv)=Cv d(Cv)=Cdv(4)yx=yu ux dy=yu ux dx例例1.设解解例例2.设y=x tan xsin x，求，求dy.解解注意，当然也可以直接用公式注意，当然也可以直接用公式 求微分求微分.例3.求求 解解:例例4.设解解例例5.5.设设y=e3vcos2v.求求dy.解：解：3.3 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用一、计算函数增量的近似值一、计算函数增量的近似值二、计算函数值的近似值二、计算函数值的近似值一、计算函数增量的近似值一、计算函数增量的近似值

8、y dy=f (x)x例例1 半径半径10厘米的金属圆片加热后半径厘米的金属圆片加热后半径伸长了伸长了0.05厘米厘米,问面积增大了多少问面积增大了多少?解解:r=10厘米厘米 r=0.05厘米厘米S=r2 S dS=2 r r=210 0.05=(厘米厘米)2二、计算函数值的近似值二、计算函数值的近似值 y=f(x+x)f(x)f (x)xf(x+x)f(x)+f (x)x 可用于计算函数可用于计算函数y=f(x)在点在点x0附近附近点点x0+x处函数值的近似值处函数值的近似值或或 f(x0+x)f(x0)+f (x0)x例例2 计算计算cos60 30 的近似值的近似值解解:设设f(x)=cosxf (x)=sinx(x为弧度为弧度)0.4924例例3 求求 的近似值的近似值解解:设设 x0=1 x=0.02 f(1)=1 f(1)+f (1)0.02 1.0067