高一数学必修二课件第七章 第八节立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离.ppt

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1、第八节 立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离1.1.空间角的向量求法空间角的向量求法(1)(1)异面直线所成角的求法异面直线所成角的求法设设a,b分别是两异面直线分别是两异面直线l1 1,l2 2的方向向量的方向向量l1 1与与l2 2所成的角所成的角 范范 围围 _求求 法法 coscos=|=|coscosa,b|=_|=_(2)(2)直线和平面所成角的求法直线和平面所成角的求法如图所示，设直线如图所示，设直线l的方向向量为的方向向量为e，平面，平面的法向量为的法向量为n，直线直线l与平面与平面所成的角为所成的角为 ，两向量，两向量e与与n的夹角为的夹角为，则有则有sin =|sin

2、=|coscos|=_.|=_.(3)(3)二面角的求法二面角的求法如图如图a a，AB,CDAB,CD是二面角是二面角-l-的两个半平面内与棱的两个半平面内与棱l垂直垂直的直线，则二面角的大小的直线，则二面角的大小=_.=_.如图如图b,cb,c，n1 1，n2 2分别是二面角分别是二面角-l-的两个半平面的两个半平面，的法向量，则二面角的大小的法向量，则二面角的大小满足满足coscos=_=_或或_._.2 2点到平面的距离的向量求法点到平面的距离的向量求法如图，设如图，设ABAB为平面为平面的一条斜线段，的一条斜线段，n为平面为平面的法向量，的法向量，则点则点B B到平面到平面的距离的距

3、离d=_.d=_.判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.().()(2)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角面所成的角.().()(3)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.().()(4)(4)两异面直线夹角的范围是两异面直线夹角的范围是(0(0，,直线与平面所成角的直线与平面所成角的范围是范围是0 0，,二面

4、角的范围是二面角的范围是0 0，.().()【解析解析】(1)(1)错误错误.两直线的方向向量所成的角应是两直线所成两直线的方向向量所成的角应是两直线所成的角或其补角的角或其补角.(2)(2)错误错误.若直线的方向向量和平面的法向量所成的角为若直线的方向向量和平面的法向量所成的角为，直，直线与平面所成的角为线与平面所成的角为，则，则sin=|sin=|coscos|.|.(3)(3)错误错误.两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角其补角.(4)(4)正确正确.由异面直线所成的角、线面角及二面角的定义可知，由异面直线所成的角、线面角及二

5、面角的定义可知，两异面直线夹角的范围是两异面直线夹角的范围是(0(0，,直线与平面所成角的范直线与平面所成角的范围是围是0 0，,二面角的范围是二面角的范围是0 0，.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)1.1.已知向量已知向量m,n分别是直线分别是直线l和平面和平面的方向向量和法向量，的方向向量和法向量，若若coscos 0b0，则则P(0P(0，0 0，2)2)，E()E()，B(B(，-b,0).-b,0).于是于是 (2 (2 ，0 0，-2)-2)，从而从而故故PCBEPCBE，PCDE.PCDE.又又BEDEBEDEE E，所以所以PCPC平面平面BED.B

6、ED.(2)(2)(0(0，0 0，2)2)，(，-b,0).-b,0).设设m=(=(x,y,zx,y,z)为平面为平面PABPAB的法向量，则的法向量，则m =0,=0,m =0,=0,即即2z=02z=0且且 x-by=0,x-by=0,令令x=b,x=b,则则m=(b,0).=(b,0).设设n=(=(p,q,rp,q,r)为平面为平面PBCPBC的法向量，的法向量，则则n =0,=0,n 0 0，即即令令p=1,p=1,则则r=,q=-,n=(1,-,).r=,q=-,n=(1,-,).因为平面因为平面PABPAB平面平面PBCPBC，故故mn0,0,即即b-=0,b-=0,故故b=

7、,b=,于是于是n=(1,-1,),=(1,-1,),=(-,-,2),=(-,-,2),直线直线PDPD与平面与平面PBCPBC所成的角与所成的角与n,互余，互余，PDPD与平面与平面PBCPBC所成的角为所成的角为3030.【拓展提升拓展提升】利用向量求线面角的方法利用向量求线面角的方法(1)(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化转化为求两个方向向量的夹角为求两个方向向量的夹角(或其补角或其补角).).(2)(2)通过平面的法向量来求通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的

8、锐角向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角取其余角就是斜线和平面所成的角.【变式训练变式训练】如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面为等腰梯形，的底面为等腰梯形，ABCDABCD，ACBDACBD，垂足为，垂足为H H，PHPH是四棱锥的高，是四棱锥的高，E E为为ADAD的中点的中点.(1)(1)证明：证明：PEBC.PEBC.(2)(2)若若APBAPBADBADB6060，求直线，求直线PAPA与平面与平面PEHPEH所成角的正弦所成角的正弦值值.【解析解析】以以H H为原点，为原点，HAHA，HBHB，HPHP所在直线分别为所在直线分别为x,y,zx,y

9、,z轴，线轴，线段段HAHA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1A(1，0 0，0)0)，B(0B(0，1 1，0).0).(1)(1)设设C(m,0,0)C(m,0,0)，P(0P(0，0 0，n)(mn)(m0)0)，则则D(0,m,0),E(0).D(0,m,0),E(0).可得可得因为因为 所以所以PEBC.PEBC.(2)(2)由已知条件可得由已知条件可得m=-,n=1,m=-,n=1,故故C(-C(-，0 0，0)0)，D(0D(0，-，0)0)，E(E(，0)0)，P(0P(0，0 0，1).1).设设n=(=(x,y,zx,y,

10、z)为平面为平面PEHPEH的一个法向量，的一个法向量，因此可以取因此可以取n=(1,0).=(1,0).由由 =(1,0,-1),=(1,0,-1),可得可得|coscos ,n|=,|=,所以直线所以直线PAPA与平面与平面PEHPEH所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .考向考向 3 3 二面角的求法二面角的求法 【典例典例3 3】(2012(2012新课标全国卷新课标全国卷)如图，如图，直三棱柱直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，ACACBCBC AAAA1 1，D D是棱是棱AAAA1 1的中点，的中点，DCDC1 1BD.BD.(1)(1)证明：证明：D

11、CDC1 1BC.BC.(2)(2)求二面角求二面角A A1 1-BD-C-BD-C1 1的大小的大小.【思路点拨思路点拨】(1)(1)可证明可证明DCDC1 1平面平面BCD.BCD.(2)(2)可以可以CACA，CBCB，CCCC1 1为坐标轴建立空间直角坐标系求解为坐标轴建立空间直角坐标系求解.【规范解答规范解答】(1)(1)由题设知，三棱柱的侧面为矩形由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于由于D D为为AAAA1 1的中点，故的中点，故DCDCDCDC1 1.又又ACAC AAAA1 1，可得，可得DC +DCDC +DC2 2CC CC ，所以所以DCDC1 1DC.DC.而而DCDC1

12、 1BDBD，DCBDDCBDD D，所以所以DCDC1 1平面平面BCD.BCD.又又BCBC 平面平面BCDBCD，故，故DCDC1 1BC.BC.(2)(2)由由(1)(1)知知BCDCBCDC1 1，且，且BCCCBCCC1 1，则则BCBC平面平面ACCACC1 1A A1 1，所以所以CACA，CBCB，CCCC1 1两两互相垂直两两互相垂直.以以C C为坐标原点，为坐标原点，的方向为的方向为x x轴的正轴的正方向，方向，|为单位长，建立如图所示为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系的空间直角坐标系CxyzCxyz.由题意知由题意知A A1 1(1(1，0 0，2)2)，B(0B(

13、0，1 1，0)0)，D(1D(1，0 0，1)1)，C C1 1(0(0，0 0，2).2).则则 (0(0，0 0，-1)-1)，(1(1，-1-1，1)1)，(-1(-1，0 0，1).1).设设n=(=(x,y,zx,y,z)是平面是平面A A1 1B B1 1BDBD的一个法向量，的一个法向量，可取可取n=(1,1,0).=(1,1,0).同理，设同理，设m是平面是平面C C1 1BDBD的一个法向量，的一个法向量，可取可取m=(1=(1，2 2，1).1).从而从而coscosn,m=故二面角故二面角A A1 1-BD-C-BD-C1 1的大小为的大小为3030.【拓展提升拓展提升

14、】求二面角大小的常用方法求二面角大小的常用方法(1)(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小图形判断所求角的大小.(2)(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【变式训练变式训练】(2012(2012江西高考江西高考)在三棱柱在三棱

15、柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，已中，已知知ABABACACAAAA1 1 ，BCBC4 4，点，点A A1 1在底面在底面ABCABC的投影是线段的投影是线段BCBC的中点的中点O.O.(1)(1)证明在侧棱证明在侧棱AAAA1 1上存在一点上存在一点E E，使得使得OEOE平面平面BBBB1 1C C1 1C C，并求出，并求出AEAE的长的长.(2)(2)求平面求平面A A1 1B B1 1C C与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C夹夹角的余弦值角的余弦值.【解析解析】(1)(1)连接连接AOAO，在，在AOAAOA1 1中，作中，作OEAAOEAA1 1

16、于点于点E E，因为因为AAAA1 1BBBB1 1，得，得OEBBOEBB1 1.因为因为A A1 1OO平面平面ABCABC，所以所以A A1 1OBC.OBC.因为因为ABABACAC，OBOBOCOC，得，得AOBCAOBC，所以所以BCBC平面平面AAAA1 1O O，所以，所以BCOEBCOE，所以所以OEOE平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.又又AOAO 1 1，AAAA1 1 ，得得AEAE(2)(2)如图，以如图，以O O为原点，为原点，OAOA，OBOB，OAOA1 1所在直线分别为所在直线分别为x,y,zx,y,z轴，轴，建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，则

17、则A(1A(1，0 0，0)0)，B(0B(0，2 2，0)0)，C(0C(0，-2-2，0)0)，A A1 1(0(0，0 0，2).2).由由 得点得点E E的坐标是的坐标是().().由由(1)(1)得平面得平面BBBB1 1C C1 1C C的一个法向量是的一个法向量是 ().().设平面设平面A A1 1B B1 1C C的法向量为的法向量为n=(=(x,y,zx,y,z)，令令y=1,y=1,得得x=2,z=-1,x=2,z=-1,即即n=(2=(2，1 1，-1).-1).即平面即平面BBBB1 1C C1 1C C与平面与平面A A1 1B B1 1C C的夹角的余弦值是的夹角

18、的余弦值是考向考向 4 4 求空间距离求空间距离 【典例典例4 4】(1)(1)在棱长为在棱长为1 1的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E为为BBBB1 1的的中点，则点中点，则点C C1 1到平面到平面A A1 1EDED的距离是的距离是_._.(2)(2)已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a a求点求点C C1 1到平面到平面ABAB1 1D D1 1的距离；的距离；求平面求平面CDDCDD1 1C C1 1与平面与平面ABAB1 1D D1 1所成的二面角的

19、余弦值所成的二面角的余弦值【思路点拨思路点拨】(1)(1)建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解公式求解.(2)(2)建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解；利用点到平面的距离公式求解；求得平面求得平面CDDCDD1 1C C1 1与平面与平面ABAB1 1D D1 1的法向量，利用法向量所成的角的法向量，利用法向量所成的角求二面角的大小求二面角的大小.【规范解答规范解答】(1)(1)以以A A为原点建立空间直角坐标系如图所示为原点建立空间直角坐标系如图所示.则则A A1 1(0,0,1)(0,0,1)，E(1,0E(1

20、,0，)，D(0,1,0)D(0,1,0)，C C1 1(1,1,1).(1,1,1).=(0,1,-1),=(0,1,-1),=(1,0,-).=(1,0,-).设平面设平面A A1 1EDED的法向量为的法向量为n1 1=(=(x,y,zx,y,z)，令令z=2z=2，则，则n1 1=(1,2,2).=(1,2,2).又又 =(-1,-1,0)=(-1,-1,0)，点点C C1 1到平面到平面A A1 1EDED的距离的距离答案：答案：1 1(2)(2)建立空间直角坐标系如图所示，则建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)A(0,0,0)，D D1 1(0,a,a),B(0,a,a)

21、,B1 1(a,0,a),C(a,0,a),C1 1(a,a,a),(a,a,a),=(-a,-a,-a)=(-a,-a,-a)，=(0,a,a)=(0,a,a)，=(a,0,a)=(a,0,a)设设n=(=(x,y,zx,y,z)是平面是平面ABAB1 1D D1 1的一个法向量，的一个法向量，令令z=-1,z=-1,得得x=1,y=1x=1,y=1，可得，可得n=(1,1,-1)=(1,1,-1)因此因此C C1 1到平面到平面ABAB1 1D D1 1的距离为的距离为由由知，平面知，平面ABAB1 1D D1 1的一个法向量是的一个法向量是n=(1,1,-1)=(1,1,-1)又因又因A

22、DAD平面平面CDDCDD1 1C C1 1，故平面故平面CDDCDD1 1C C1 1的一个法向量是的一个法向量是n1 1=(0,1,0)=(0,1,0)设所求二面角的平面角为设所求二面角的平面角为，则，则coscos=由题意可知二面角是锐角，所求二面角的余弦值为由题意可知二面角是锐角，所求二面角的余弦值为【互动探究互动探究】在本例题在本例题(1)(1)中，若条件不变，结论改为中，若条件不变，结论改为“则直则直线线A A1 1C C1 1与平面与平面A A1 1EDED所成角的大小为所成角的大小为_”_”，如何求解？，如何求解？【解析解析】由题由题(1)(1)的解法知，平面的解法知，平面A

23、A1 1EDED的一个法向量为的一个法向量为n1 1=(1,2,2)=(1,2,2)，=(-1,-1,0).=(-1,-1,0).设所求角为设所求角为，则，则sin=|cossin=|cosn1 1,|故直线故直线A A1 1C C1 1与平面与平面A A1 1EDED所成角的大小为所成角的大小为4545.【拓展提升拓展提升】向量法求到平面的距离的步骤向量法求到平面的距离的步骤(1)(1)求平面求平面的法向量的法向量n.(2)(2)在平面在平面内取一点内取一点A A，确定向量，确定向量 的坐标的坐标.(3)(3)代入公式代入公式d=d=求解求解.【变式备选变式备选】如图，如图，BCDBCD与与

24、MCDMCD都是边长为都是边长为2 2的正三角形，的正三角形，平面平面MCDMCD平面平面BCDBCD，ABAB平面平面BCDBCD，ABAB (1)(1)求点求点A A到平面到平面MBCMBC的距离的距离.(2)(2)求平面求平面ACMACM与平面与平面BCDBCD所成二面角的正弦值所成二面角的正弦值.【解析解析】取取CDCD中点中点O O，连接，连接OBOB，OMOM，则则OBCDOBCD，OMCD.OMCD.又平面又平面MCDMCD平面平面BCDBCD，则则MOMO平面平面BCD.BCD.取取O O为原点，直线为原点，直线OCOC，BOBO，OMOM为为x x轴，轴，y y轴轴,z,z轴

25、，建立空间直角轴，建立空间直角坐标系如图坐标系如图,则则OBOBOMOM ，各点坐标分别为，各点坐标分别为C(1C(1，0 0，0)0)，M(0M(0，0 0，)，B(0B(0，-，0)0)，A(0A(0，-，2 ).2 ).(1)(1)设设n=(=(x,y,zx,y,z)是平面是平面MBCMBC的一个法向量，的一个法向量，则则取取n=(,-1,1),=(,-1,1),又又 =(0,0,2 ),=(0,0,2 ),则点则点A A到平面到平面MBCMBC的距离为的距离为d=d=(2)(2)(-1(-1，0 0，)，(-1(-1，-，2 ).2 ).设平面设平面ACMACM的一个法向量为的一个法向

26、量为n1 1=(=(x,y,zx,y,z),),解得解得x=x=z,yz,y=z,=z,取取n1 1=(,1,1).=(,1,1).又平面又平面BCDBCD的一个法向量为的一个法向量为n2 2=(0,0,1),=(0,0,1),所以所以coscosn1 1,n2 2=设所求二面角为设所求二面角为,则则sin=sin=【满分指导满分指导】用空间向量解立体几何问题的规范解答用空间向量解立体几何问题的规范解答 【典例典例】(12(12分分)(2012)(2012北京高考北京高考)如图如图1 1，在，在RtABCRtABC中，中，C=90,BC=3,AC=6,D,EC=90,BC=3,AC=6,D,E

27、分别是分别是ACAC，ABAB上的点，且上的点，且DEBCDEBC，DEDE2.2.将将ADEADE沿沿DEDE折起到折起到A A1 1DEDE的位置，的位置，使使A A1 1CCDCCD，如图，如图2.2.(1)(1)求证：求证：A A1 1CC平面平面BCDE.BCDE.(2)(2)若若M M是是A A1 1D D的中点，求的中点，求CMCM与平面与平面A A1 1BEBE所成角的大小所成角的大小.(3)(3)线段线段BCBC上是否存在点上是否存在点P P，使平面，使平面A A1 1DPDP与平面与平面A A1 1BEBE垂直？说明垂直？说明理由理由.【思路点拨思路点拨】已已 知知 条条

28、件件 条条 件件 分分 析析 C C9090,DEBC,DEBC DEADEA1 1D,DECD,D,DECD,即即DEDE平面平面A A1 1DC DC A A1 1CCD CCD A A1 1CC平面平面BCDEBCDEM M为为A A1 1D D的中点的中点 可求可求 与平面与平面A A1 1BEBE的法向量的的法向量的夹角夹角 平面平面A A1 1DPDP平面平面A A1 1BE BE 法向量垂直法向量垂直 【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为ACBCACBC，DEBCDEBC，所以所以DEAC.DEAC.所以所以DEADEA1 1D D，DECDDECD，所以所以DEDE平面平面

29、A A1 1DC.DC.2 2分分所以所以DEADEA1 1C.C.又因为又因为A A1 1CCDCCD，所以所以A A1 1CC平面平面BCDE.BCDE.3 3分分(2)(2)如图，以如图，以C C为坐标原点，建立空间直角坐标系为坐标原点，建立空间直角坐标系CxyzCxyz，则则A A1 1(0(0，0 0，2 )2 )，D(0D(0，2 2，0)0)，M(0M(0，1 1，)，B(3B(3，0 0，0)0)，E(2E(2，2 2，0).0).5 5分分设平面设平面A A1 1BEBE的法向量为的法向量为n=(=(x,y,zx,y,z)，则，则n =0,=0,n =0.=0.又又 =(3,

30、0,-2 ),=(-1,2,0),=(3,0,-2 ),=(-1,2,0),6 6分分设设CMCM与平面与平面A A1 1BEBE所成的角为所成的角为.因为因为 (0(0，1 1，)，所以所以所以所以CMCM与平面与平面A A1 1BEBE所成角的大小为所成角的大小为 7 7分分(3)(3)线段线段BCBC上不存在点上不存在点P P，使平面，使平面A A1 1DPDP与平面与平面A A1 1BEBE垂直垂直.8 8分分理由如下：理由如下：假设这样的点假设这样的点P P存在，设其坐标为存在，设其坐标为(p,0,0)(p,0,0)，其中其中pp0,30,3.设平面设平面A A1 1DPDP的法向量

31、为的法向量为m=(=(x,y,zx,y,z),),则则m 0 0，m =0.=0.又又 (0(0，2 2，-2 )-2 )，(p,-2,0),(p,-2,0),令令x=2,x=2,则则y=y=p,zp,z=所以所以m=(2,p,).=(2,p,).1010分分平面平面A A1 1DPDP平面平面A A1 1BEBE，当且仅当，当且仅当mn=0,0,即即4+p+p=0.4+p+p=0.解得解得p=-2p=-2，与，与pp0 0，3 3矛盾矛盾.所以线段所以线段BCBC上不存在点上不存在点P P，使平面，使平面A A1 1DPDP与平面与平面A A1 1BEBE垂直垂直.1212分分【失分警示失分

32、警示】(下文下文见规范解答过程见规范解答过程)1.(20121.(2012陕西高考陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1，CACACCCC1 12CB2CB，则直线，则直线BCBC1 1与直线与直线ABAB1 1夹角的余弦值夹角的余弦值为为()()【解析解析】选选A.A.设设CA=2CA=2，则，则C(0C(0，0 0，0)0)，A(2A(2，0 0，0)0)，B(0B(0，0 0，1)1)，C C1 1(0(0，2 2，0)0)，B B1 1(0(0，2 2，1)1)，可得向量，可得向量 (-2(-2，

33、2 2，1)1)，=(0=(0，2 2，-1)-1)，由向量的夹角公式得，由向量的夹角公式得2.(20122.(2012大纲版全国卷大纲版全国卷)已知正四棱柱已知正四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABAB2 2，CCCC1 12 2 ，E E为为CCCC1 1的中点，则直线的中点，则直线ACAC1 1与平面与平面BEDBED的距离为的距离为()()(A)2 (B)(C)(D)1(A)2 (B)(C)(D)1【解析解析】选选D.D.连接连接ACAC交交BDBD于于O O，连接，连接OEOE，由题意得，由题意得ACAC1 1OEOE，ACAC1 1平

34、面平面BEDBED，直线，直线ACAC1 1与平面与平面BEDBED的距离等于点的距离等于点A A到平面到平面BEDBED的距离，也等于点的距离，也等于点C C到平面到平面BEDBED的距离，作的距离，作CHOECHOE于于H H，则则CHCH OEOE1 1为所求，故选为所求，故选D.D.3.(20133.(2013张家界模拟张家界模拟)在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=2AB=2，BC=AABC=AA1 1=1=1，则，则D D1 1C C1 1与平面与平面A A1 1BCBC1 1所成角的正弦值为所成角的正弦值为_._.【解析

35、解析】如图，建立空间直角坐标系如图，建立空间直角坐标系DxyzDxyz,则则D D1 1(0,0,1),C(0,0,1),C1 1(0,2,1),A(0,2,1),A1 1(1,0,1),B(1,2,0),(1,0,1),B(1,2,0),=(0,2,0),=(-1,2,0),=(0,2,0),=(-1,2,0),=(0,2,-1).=(0,2,-1).设平面设平面A A1 1BCBC1 1的一个法向量为的一个法向量为n=(=(x,y,zx,y,z),),设设D D1 1C C1 1与平面与平面A A1 1BCBC1 1所成角为所成角为，则，则即直线即直线D D1 1C C1 1与平面与平面A

36、 A1 1BCBC1 1所成角的正弦值为所成角的正弦值为 答案：答案：4.(20124.(2012安徽高考安徽高考)平面图形平面图形ABBABB1 1A A1 1C C1 1C C如图如图1 1所示，其中所示，其中BBBB1 1C C1 1C C是矩形是矩形.BC.BC2 2，BBBB1 14 4，ABABACAC ，A A1 1B B1 1A A1 1C C1 1现将该平面图形分别沿现将该平面图形分别沿BCBC和和B B1 1C C1 1折叠，使折叠，使ABCABC与与A A1 1B B1 1C C1 1所在所在平面都与平面平面都与平面BBBB1 1C C1 1C C垂直，再分别连接垂直，再

37、分别连接A A1 1A A，A A1 1B B，A A1 1C C，得到如，得到如图图2 2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题:(1)(1)证明：证明：AAAA1 1BC.BC.(2)(2)求求AAAA1 1的长的长.(3)(3)求二面角求二面角A-BC-AA-BC-A1 1的余弦值的余弦值.【解析解析】方法一方法一(向量法向量法)：(1)(1)取取BCBC，B B1 1C C1 1的中点分别为的中点分别为D D和和D D1 1，连接连接A A1 1D D1 1,DD,DD1 1,AD.,AD.由由BBBB1 1C C1 1C C为矩形知，为矩形知

38、，DDDD1 1BB1 1C C1 1.因为平面因为平面BBBB1 1C C1 1CC平面平面A A1 1B B1 1C C1 1，所以所以DDDD1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1.又由又由A A1 1B B1 1A A1 1C C1 1知，知，A A1 1D D1 1BB1 1C C1 1.故以故以D D1 1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D D1 1xyz.xyz.由题设，可得由题设，可得A A1 1D D1 12 2，ADAD1.1.由以上可知由以上可知ADAD平面平面BBBB1 1C C1 1C C，A A1 1D

39、 D1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C，于是，于是ADAADA1 1D D1 1.所以所以A(0A(0，-1-1，4)4)，B(1B(1，0 0，4)4)，A A1 1(0(0，2 2，0)0)，C(-1C(-1，0 0，4)4)，D D(0(0，0 0，4).4).故故 (0(0，3 3，-4)-4)，(-2(-2，0 0，0)0)，=0=0，因此因此 ，即，即AAAA1 1BC.BC.(2)(2)因为因为 (0(0，3 3，-4)-4)，所以所以|5 5，即，即AAAA1 15.5.(3)(3)连接连接A A1 1D.D.由由BCADBCAD，BCAABCAA1 1，可知，可知

40、BCBC平面平面A A1 1ADAD，BCABCA1 1D D，所以所以ADAADA1 1为二面角为二面角A-BC-AA-BC-A1 1的平面角的平面角.因为因为 (0(0，-1-1，0)0)，(0(0，2 2，-4)-4)，所以所以即二面角即二面角A-BC-AA-BC-A1 1的余弦值为的余弦值为方法二方法二(综合法综合法)：(1)(1)取取BCBC，B B1 1C C1 1的中点分别为的中点分别为D D和和D D1 1，连接，连接A A1 1D D1 1，DDDD1 1，ADAD，A A1 1D.D.由条件可知，由条件可知，BCADBCAD，B B1 1C C1 1AA1 1D D1 1.

41、由上可得由上可得ADAD平面平面BBBB1 1C C1 1C C，A A1 1D D1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C，因此因此ADAADA1 1D D1 1，即，即ADAD，A A1 1D D1 1确定平面确定平面ADAD1 1A A1 1D.D.又因为又因为DDDD1 1BBBB1 1，BBBB1 1BCBC，所以，所以DDDD1 1BC.BC.又考虑到又考虑到ADBCADBC，所以所以BCBC平面平面ADAD1 1A A1 1D D，故，故BCAABCAA1 1.(2)(2)延长延长A A1 1D D1 1到到G G点，使点，使GDGD1 1AD.AD.连接连接AG.AG.因

42、为因为AD GDAD GD1 1，所以所以AG DDAG DD1 1 BB BB1 1.由于由于BBBB1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1，所以所以AGAAGA1 1G.G.由条件可知，由条件可知，A A1 1G GA A1 1D D1 1+D+D1 1G G3 3，AGAG4.4.所以所以AAAA1 15.5.(3)(3)因为因为BCBC平面平面ADAD1 1A A1 1D D，所以所以ADAADA1 1为二面角为二面角A-BC-AA-BC-A1 1的平面角的平面角.在在RtARtA1 1DDDD1 1中，中，DDDD1 14 4，A A1 1D D1 12 2，解得解得si

43、nDsinD1 1DADA1 1=cosADAcosADA1 1=coscos(+D(+D1 1DADA1 1)=-)=-即二面角即二面角A-BC-AA-BC-A1 1的余弦值为的余弦值为-1.1.如图，三棱柱如图，三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，底面底面ABCABC为正三角形，侧面为正三角形，侧面ACCACC1 1A A1 1是是A A1 1ACAC 的菱形，且侧面的菱形，且侧面ACCACC1 1A A1 1底面底面ABCABC，D D为为ACAC的中点的中点.(1)(1)求证：平面求证：平面A A1 1BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1.(2)(

44、2)若点若点E E为为AAAA1 1上的一点，当上的一点，当CECEBBBB1 1时，求二面角时，求二面角A-EC-BA-EC-B的正切值的正切值.【解析解析】方法一：方法一：(1)A(1)A1 1ACAC ,AA,AA1 1=AC,D=AC,D为为ACAC的中点，的中点，ABCABC为正三角形，为正三角形，ACAACA1 1D D，ACBD,ACBD,ACAC平面平面A A1 1BD.BD.而而ACAC 平面平面ACCACC1 1A A1 1，平面平面A A1 1BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1.(2)AA(2)AA1 1BBBB1 1，CEBBCEBB1 1，CEAACEAA

45、1 1.点点E E为为AAAA1 1的中点的中点.BDACBDAC，BDABDA1 1D D，BDBD平面平面ACE.ACE.过点过点D D作作DFCEDFCE，垂足为，垂足为F F，连接连接BFBF，如图，如图(1)(1)，则则BFCEBFCE，BFDBFD为二面角为二面角A-EC-BA-EC-B的一个平面角的一个平面角.DFCE,DFCE,易得易得DFDF AE.AE.设设ABABa,a,则则BDBDDFDFtanBFDtanBFD=方法二：方法二：(1)(1)依题意有依题意有ACAC，BDBD，A A1 1D D两两垂直且相交于点两两垂直且相交于点D D，故，故建立如图建立如图(2)(2

46、)所示的空间直角所示的空间直角坐标系坐标系DxyzDxyz，设设ABAB2a,2a,则则A(0A(0，-a,0),B(a,0,0),-a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(0,0,0),C(0,a,0),D(0,0,0),A A1 1(0,0,a).(0,0,a).(1)=(0,2a,0),(1)=(0,2a,0),=(a,0,0),=(a,0,0),=(0,0,a),=(0,0,a),=0 =0 a+2a a+2a0+00+00=0,0=0,0 00+2a0+2a0+00+0 a=0.a=0.ACDB,ACDAACDB,ACDA1 1.AC.AC平面平面A A1 1BD.BD.而

47、而ACAC 平面平面ACCACC1 1A A1 1，平面平面A A1 1BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1.(2)AA(2)AA1 1BBBB1 1,CEBB,CEBB1 1,CEAA,CEAA1 1.点点E E为为AAAA1 1的中点的中点.E(0.E(0，).).BDAC,BDABDAC,BDA1 1D,BDD,BD平面平面ACE.ACE.(a,0,0)(a,0,0)为平面为平面ACEACE的一个法向量的一个法向量.设设n(x,y,zx,y,z)为平面为平面BECBEC的一个法向量，的一个法向量，则有则有n 0 0，n =0,=0,令令x=a,x=a,则则y=ay=a，z=3a

48、,z=3a,n=(a,a,3a),=(a,a,3a),n二面角二面角A-EC-BA-EC-B的正切值为的正切值为2.2.如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，PCPC底面底面ABCD,PC=2,ABCD,PC=2,底面四底面四边形边形ABCDABCD为直角梯形，为直角梯形，B BC C90,AB=4,CD=190,AB=4,CD=1，侧棱，侧棱PBPB与底面与底面ABCDABCD成成3030角，点角，点M M是是PBPB上的动点，且上的动点，且 (0,10,1).).(1)(1)若若CMCM平面平面PADPAD，求，求的值的值.(2)(2)当当为何值时，为何值时，CMCM

49、与平面与平面PADPAD所成的角最大？并求出最大角所成的角最大？并求出最大角的正弦值的正弦值.【解析解析】(1)(1)以以C C为坐标原点，为坐标原点，CB,CD,CPCB,CD,CP所在的直线分别为所在的直线分别为x,y,zx,y,z轴建立如图所示的空间轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题设条件易得：直角坐标系，则由题设条件易得：P(0P(0，0 0，2)2)，A(2 A(2 ，4 4，0)0)，B(2 B(2 ，0 0，0)0)，C(0C(0，0 0，0)0)，D(0D(0，1 1，0)0)，M(2 M(2 ，0 0，2-2).2-2).所以所以 =(2 ,4,-2),=(0,1,-2)

50、,=(2 ,4,-2),=(0,1,-2),=(2 ,0,-2)=(2 ,0,-2)，=(2 =(2 ，0 0，2-2).2-2).又又 ,则则 (2 (2 ，0 0，-2).-2).因为因为CMCM平面平面PADPAD，则则 与向量与向量 共面，即存在实数对共面，即存在实数对m,m,l,使使所以有所以有(2 m,4m+(2 m,4m+l,-2m-2,-2m-2l)(2)(2)设平面设平面PADPAD的法向量为的法向量为n=(=(x,y,zx,y,z),),令令z=1,z=1,则有则有n=(-,2,1).=(-,2,1).因为因为n =-8+2,|=-8+2,|n|=|=设向量设向量n,所在直