微分中值定理洛必达法则教学.ppt

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1、第一节第一节 微分中值定理微分中值定理 洛必达法则洛必达法则 一、微分学中值定理一、微分学中值定理 二、罗必达法则二、罗必达法则一、微分学中值定理一、微分学中值定理1 1、罗尔定理、罗尔定理 定理定理1 （罗尔定理罗尔定理）如果函数）如果函数 满足下满足下 列条件：列条件：（1）在闭区间）在闭区间a,b上连续；上连续；（2）在开区间（）在开区间（a,b)内可导；内可导；（3）f(a)=f(b)。则在开区间（则在开区间（a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使得，使得oxyab 罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端点外处处有不垂直又不垂直于点外处处有

2、不垂直又不垂直于x轴的切线，并且两端轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点 ，在该点处的切线平行于在该点处的切线平行于x 轴轴(如下图）。如下图）。注意注意（1）罗尔定理中的三个条件中任意一个罗尔定理中的三个条件中任意一个不满足，则结论可能就不成立，分别考察下面三不满足，则结论可能就不成立，分别考察下面三个函数：个函数：（2）罗尔定理的条件只是充分的而不是必要）罗尔定理的条件只是充分的而不是必要的条件。的条件。例例1 验证函数验证函数 在区间在区间-1，1 上满足罗尔定理，并找出相应的上满足罗尔定理，并找出相应的 解：解：由于初等函数

3、由于初等函数 在此闭区间上处在此闭区间上处处有定义，故它在此区间上连续。处有定义，故它在此区间上连续。又又 在开区间（在开区间（-1,1)内处处有定义，内处处有定义，再有再有 ，所以函数，所以函数 在在-1,1上满足罗尔定理的条件。上满足罗尔定理的条件。令令解得解得 ，即所求的，即所求的故函数故函数 在此开区间内可导。在此开区间内可导。解：解：函数函数 在在 内处处可导，并且满内处处可导，并且满足足例例2 已知函数已知函数不求导数，判断方程不求导数，判断方程 有几个实根，并指出有几个实根，并指出其所在区间。其所在区间。在区间在区间1，2，2，3，3，4上分别满上分别满足足罗尔定理的三个条件，罗

4、尔定理的三个条件，使得使得因此至少存在一点因此至少存在一点因此，因此，有且仅有三个实根，分别在区间（有且仅有三个实根，分别在区间（1,2）,（2,3）,（3,4）内。）内。即即 和和 是是 的三个实根。的三个实根。至多有三个实根。至多有三个实根。又又是三次代数方程，是三次代数方程，2 2、拉格朗日定理、拉格朗日定理 定理定理2（拉格朗日定理拉格朗日定理）如果函数）如果函数 满满足下列条件：足下列条件：（1）在闭区间）在闭区间a,b上连续；上连续；（2）在开区间（）在开区间（a,b）内可导。）内可导。则在开区间（则在开区间（a,b）内至少存在一点）内至少存在一点 ，使得，使得也可写成也可写成 拉

5、格朗日定理的几何意义：如果连续函数除两拉格朗日定理的几何意义：如果连续函数除两个端点外处处有不垂直又不垂直于个端点外处处有不垂直又不垂直于x轴的切线，那轴的切线，那么在曲线上至少存在一点，在该点处曲线的切线平么在曲线上至少存在一点，在该点处曲线的切线平行于连接两端点的切线（如下图）行于连接两端点的切线（如下图）0 xyab拉格朗日定理的推论拉格朗日定理的推论推论推论1 如果函数如果函数在区间（在区间（a,b）内任意）内任意间（间（a,b）内是一个常数。）内是一个常数。一点一点 的导数的导数 都等于零，都等于零，则函数则函数 在区在区 推论推论2 如果函数如果函数 和和 在区间（在区间（a,b）

6、内）内可导，且有可导，且有 ，则有，则有 与与 在区间在区间（a,b）内仅相差一个）内仅相差一个常数常数，即，即为常数）为常数）例例3 证明：当证明：当 时，时，证明证明 设设由推论由推论1知，在（知，在（-1，1）内恒有）内恒有则则于是于是 时，时，令令 ，得得又又 时，时，当当 时，时，因此，当因此，当 时，时，例例4 证明：当证明：当 时，时，证明证明 设设上满足拉格朗日定理的条件，因此有上满足拉格朗日定理的条件，因此有显然显然 在在即即由于由于 ，所以所以即即二、罗必达法则二、罗必达法则 如果当如果当 时，两个函数时，两个函数 的极限都为零或都趋于无穷大，极限的极限都为零或都趋于无穷大

7、，极限 下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而有效的方法有效的方法罗必达法则罗必达法则。通常称为通常称为未定式未定式，分别记为，分别记为 。1 1、型未定式：型未定式：定理：定理：若函数若函数 满足下列条件：满足下列条件：（2）在点）在点 的某空心邻域内，的某空心邻域内，存在，存在，且且 ；那么那么 例例5 求求 解解 等情形等情形，结论仍然成立。，结论仍然成立。需要指出，如果将需要指出，如果将 换为换为 例例7 解解 解解 例例6 求求2、型未定式：型未定式：定理：定理：若函数若函数 满足下列条件：满足下列条件：（2）在点）在点 的某空心邻域内，的某

8、空心邻域内，存在，存在，且且 ；那么那么 等情形等情形，结论仍然成立。，结论仍然成立。需要指出，如果将需要指出，如果将 换为换为 例例8 求求 解解 例例9 求求 解解3 3、其他未定式、其他未定式除了除了 型和型和 型未定式外，还有型未定式外，还有 型型、型、型、型等类型的未定式型等类型的未定式，这些未定式可通过化为这些未定式可通过化为 型或型或 型未定式来计型未定式来计算，下面用例子说明。算，下面用例子说明。例例10 求求解解 这是这是 型未定式，将它转化为型未定式，将它转化为 型未定式型未定式计算。计算。例例11 求求 解解 这是这是 型未定式，将它转化为型未定式，将它转化为 型未型未定式计算。定式计算。例例12 求求解解 这是这是 未定式未定式，而，而所以所以 又又解解 而而所以所以 例例13 求求注意：注意：如果极限如果极限 不存在，不能断定不存在，不能断定也不存在，此时不能使用洛必达法则。也不存在，此时不能使用洛必达法则。例如考察例如考察