第2章 地图的数学基础.ppt

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1、地图测制的最地图测制的最初过程初过程第二章第二章 地球体与地图投影地球体与地图投影第一节第一节 地球体地球体第二节第二节 大地测量系统大地测量系统第三节第三节 地图投影概述地图投影概述第四节第四节 常用地图投影分析常用地图投影分析第五节第五节 地图投影辨认和选折地图投影辨认和选折第六节第六节 地图投影计算和变换地图投影计算和变换第七节第七节 地图比例尺地图比例尺第一节第一节 地球体地球体一、大地体一、大地体 地球自然表面是一个起伏不平，十分不规则的地球自然表面是一个起伏不平，十分不规则的表面表面,很难用数学公式表达很难用数学公式表达。为了寻求一种规则的。为了寻求一种规则的曲面来代替地球的自然表

2、面，人们设想当海洋静止曲面来代替地球的自然表面，人们设想当海洋静止时，平均海水面穿过大陆和岛屿，形成一个闭合的时，平均海水面穿过大陆和岛屿，形成一个闭合的曲面，该面上的各点曲面，该面上的各点法线法线与重力方向（铅垂线）与重力方向（铅垂线）重重合合，这就是大地水准面。大地水准面包围的球体，这就是大地水准面。大地水准面包围的球体，叫大地球体，它是对地球形体的一级逼近。叫大地球体，它是对地球形体的一级逼近。l由于受地球内部物质密度分布不均等多种因素的影响，致由于受地球内部物质密度分布不均等多种因素的影响，致使铅垂线的方向发生不规则变化，故处处与铅垂线方向垂使铅垂线的方向发生不规则变化，故处处与铅垂线

3、方向垂直的大地水准面仍然是不规则的。直的大地水准面仍然是不规则的。l但大地水准面从整体上看，起伏是微小的，且形状接近一但大地水准面从整体上看，起伏是微小的，且形状接近一个扁率极小的椭圆绕大地球体短轴旋转所形成的规则椭球个扁率极小的椭圆绕大地球体短轴旋转所形成的规则椭球体，这个椭球体称为地球椭球体，其表面是一个规则数学体，这个椭球体称为地球椭球体，其表面是一个规则数学表面，可用数学公式表达，所以在测量和制图中用它替代表面，可用数学公式表达，所以在测量和制图中用它替代地球的自然表面，它是地球形体的二级逼近。地球的自然表面，它是地球形体的二级逼近。二、地球椭球体二、地球椭球体l表征表征地球椭球体地球

4、椭球体参数包括参数包括:长半径长半径a a（赤道半径）和短半径（赤道半径）和短半径b b（极（极半径）半径）和和扁率扁率f=(a-b)/af=(a-b)/a。因推算所用资料、年代和方法不同，。因推算所用资料、年代和方法不同，许多科学家所测定地球椭球体的大小也不尽相同。许多科学家所测定地球椭球体的大小也不尽相同。l我国我国19521952年以前采用海福特椭球体，从年以前采用海福特椭球体，从19531953年起采用克拉索夫年起采用克拉索夫斯基椭球体，这是原苏联科学家克拉索夫斯基斯基椭球体，这是原苏联科学家克拉索夫斯基19401940年测定的。年测定的。19781978年，我国决定采用年，我国决定采

5、用19751975年第十六届国际大地测量及地球物年第十六届国际大地测量及地球物理联合会推荐的新椭球体，建立了中国独立的大地坐标系。理联合会推荐的新椭球体，建立了中国独立的大地坐标系。二、地球椭球体二、地球椭球体二、地球椭球体二、地球椭球体l由于地球椭球体长短半径差值很小，约由于地球椭球体长短半径差值很小，约21km21km，在制作小，在制作小比例尺地图时，因为缩小的程度很大，如制作比例尺地图时，因为缩小的程度很大，如制作1 1：10001000万地图，地球椭球体缩小万地图，地球椭球体缩小10001000万倍，这时长短半径之差万倍，这时长短半径之差只是只是2.1mm2.1mm，所以在制作小比例尺

6、地图时，可忽略地球，所以在制作小比例尺地图时，可忽略地球扁率，将地球视为圆球体，其半径为扁率，将地球视为圆球体，其半径为6371km6371km。l制作大比例尺地图时必须将地球视为椭球体。制作大比例尺地图时必须将地球视为椭球体。第二节第二节 大地测量系统大地测量系统一、地理坐标系一、地理坐标系l地理坐标系：用经纬度表示地面点位的球面坐标系。在大地测地理坐标系：用经纬度表示地面点位的球面坐标系。在大地测量学中常用大地经纬度和地心经纬度描述：量学中常用大地经纬度和地心经纬度描述：l大地经纬度：大地经度（大地经纬度：大地经度（L L）指过参考椭球面上某一点的大地子）指过参考椭球面上某一点的大地子午面

7、与本初子午面之间的二面角，大地纬度（午面与本初子午面之间的二面角，大地纬度（B B）是指过参考椭）是指过参考椭球面上某一点的法线与赤道面的夹角。大地经纬度是以地球椭球面上某一点的法线与赤道面的夹角。大地经纬度是以地球椭球面和法线为依据，在大地测量中得到广泛采用。地图学中常球面和法线为依据，在大地测量中得到广泛采用。地图学中常采用大地经纬度。采用大地经纬度。l地心经纬度：地心经度等同于大地经度，地心纬度是指参考椭地心经纬度：地心经度等同于大地经度，地心纬度是指参考椭球面上的任意一点和椭球体中心连线与赤道面之间的夹角。地球面上的任意一点和椭球体中心连线与赤道面之间的夹角。地理学研究和小比例尺地图制

8、图等对经度要求不高时常采用此经理学研究和小比例尺地图制图等对经度要求不高时常采用此经纬度。纬度。大地经纬度大地经纬度二、我国的大地坐标系统二、我国的大地坐标系统l19541954年北京坐标系：年北京坐标系：19541954年，我国将原苏联采用年，我国将原苏联采用克拉索夫斯基椭球元素建立的坐标系，联测并经克拉索夫斯基椭球元素建立的坐标系，联测并经平差计算引申到我国，以北京为全国大地坐标原平差计算引申到我国，以北京为全国大地坐标原点，确定了过渡性大地坐标系，称点，确定了过渡性大地坐标系，称19541954北京坐标北京坐标系。系。l缺点：是椭球体面与我国大地水准面不能很好地缺点：是椭球体面与我国大地

9、水准面不能很好地符合符合；没有进行整体平差，；没有进行整体平差，误差较大。误差较大。二、我国的大地坐标系统二、我国的大地坐标系统l19801980年国家大地坐标系：年国家大地坐标系：19801980年开始年开始,采用新的椭球体参采用新的椭球体参数数，以陕西省西安市以北泾阳县永乐镇某点为国家大地以陕西省西安市以北泾阳县永乐镇某点为国家大地坐标原点，进行定位和测量工作，建立了全国统一的大坐标原点，进行定位和测量工作，建立了全国统一的大地坐标系，即地坐标系，即19801980年国家大地坐标系。年国家大地坐标系。l优点：定位采用的椭球体面与我国大地水准面符合好；优点：定位采用的椭球体面与我国大地水准面

10、符合好；经过了全国性整体平差，坐标统一，精度优良，可以满经过了全国性整体平差，坐标统一，精度优良，可以满足足1 1：50005000甚至更大比例尺测图的要求等。甚至更大比例尺测图的要求等。三、大地控制网三、大地控制网在广袤的区域上进行测量与制图，必然要在中央主管在广袤的区域上进行测量与制图，必然要在中央主管部门组织下，由许多单位分批分期完成。为了保证测量成果部门组织下，由许多单位分批分期完成。为了保证测量成果既在精度上符合统一要求，又能相互衔接，首先必须在全国既在精度上符合统一要求，又能相互衔接，首先必须在全国范围内选取若干有控制意义的观测点，精确测定其平面位置范围内选取若干有控制意义的观测点

11、，精确测定其平面位置和高程，构成统一的大地控制网。大地控制网由平面控制网和高程，构成统一的大地控制网。大地控制网由平面控制网和高程控制网组成和高程控制网组成1、平面控制网、平面控制网l以大地原点为基础，在地面上选择一系列点（控制点）以大地原点为基础，在地面上选择一系列点（控制点），建立起一系列相连接的三角形。若已知大地原点的，建立起一系列相连接的三角形。若已知大地原点的大地经纬度，大地原地至某一控制点连线的边长和方大地经纬度，大地原地至某一控制点连线的边长和方位角，则通过测定个三角形内角，经过计算即可得到位角，则通过测定个三角形内角，经过计算即可得到各控制点的坐标。各控制点的坐标。l平面控制网

12、采用分级布设，以达到层层控制的目的。平面控制网采用分级布设，以达到层层控制的目的。l测量采用测量采用GPS、全战仪、经纬仪等。、全战仪、经纬仪等。（1 1）高程基准面）高程基准面l高程控制网的建立，必须规定一个统一的高程基准面。我高程控制网的建立，必须规定一个统一的高程基准面。我国利用青岛验潮站国利用青岛验潮站1950195019561956年的观测记录，确定黄海平年的观测记录，确定黄海平均海水面为全国统一的高程基准面，并在青岛观象山埋设均海水面为全国统一的高程基准面，并在青岛观象山埋设了永久性的水准原点。以黄海平均海水面建立起来的高程了永久性的水准原点。以黄海平均海水面建立起来的高程控制系统

13、，统称控制系统，统称19561956年黄海高程系。年黄海高程系。l19871987年，因多年观测资料显示，黄海平均海平面发生了微年，因多年观测资料显示，黄海平均海平面发生了微小的变化，由原来的小的变化，由原来的72.289m72.289m变为变为72.260m72.260m，国家决定启用，国家决定启用新的高程基准面，即新的高程基准面，即19851985年国家高程基准。高程控制点的年国家高程基准。高程控制点的高程也发生微小的变化，但对已成图上的等高线的影响则高程也发生微小的变化，但对已成图上的等高线的影响则可忽略不计。可忽略不计。2、高程控制网、高程控制网（2 2）高程网的布设和测量）高程网的布

14、设和测量l在全国范围内选择一些点（高程控制点），精确测定这些在全国范围内选择一些点（高程控制点），精确测定这些点的高程，这样高程已知点所组成的网，称之为高程控制点的高程，这样高程已知点所组成的网，称之为高程控制网。网。l高程控制网分级布设。高程控制网分级布设。l采用水准测量的方法测定点的高程。采用水准测量的方法测定点的高程。2、高程控制网、高程控制网第三节第三节 地图投影概述地图投影概述l地球球面与地图平面之间的矛盾地球球面与地图平面之间的矛盾 地图表面和地球球面的矛盾：地图通常是绘在平面介质上地图表面和地球球面的矛盾：地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，首先需要把曲面展成平面，然

15、的，而地球体表面是曲面，首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要直接展成平面，必然发生而，球面是个不可展的曲面，要直接展成平面，必然发生断裂或褶皱。断裂或褶皱。一、地图投影的概念一、地图投影的概念l对于对于断裂断裂和和褶皱褶皱不加处理就会出现如下两种情况：不加处理就会出现如下两种情况：断裂断裂区域内区域内 地球曲面上的一个点对应于地图平面上的多个点；地球曲面上的一个点对应于地图平面上的多个点；褶皱褶皱区域内区域内 地球曲面上的多个点对应于地图平面上的一个点地球曲面上的多个点对应于地图平面上的一个点。l为了在为了在地球曲面地球曲面和地图平面之间建立点与点之间一一对应和地图平面之间建

16、立点与点之间一一对应的函数关系，必须采用一定的数学方法，我们称这种数学的函数关系，必须采用一定的数学方法，我们称这种数学方法为地图投影。方法为地图投影。一、地图投影的概念一、地图投影的概念二、地图投影的基本方法二、地图投影的基本方法l假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬网投影假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。地图投影面除平面之外，还到平面上，就得到一张球面经纬网投影。地图投影面除平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光源除位于球心之外，还可以在球有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光源除位于球心之外，还可以在球面、球

17、外，或无穷远处等。面、球外，或无穷远处等。l几何投影（透视投影）：利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上几何投影（透视投影）：利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法的方法，这是人们最早用来解决地球球面和地图平面矛盾的方法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平面矛盾的方法。二、地图投影的基本方法二、地图投影的基本方法l数学解析法：随着科学的发展，几何透视数学解析法：随着科学的发展，几何透视法远不能满足编制各类地图的需要，出现法远不能满足编制各类地图的需要，出现了解析法。解析法是不借助于几何投影光了解析法。解析法是不借助于几何投影光源，按照某些条件用数学分析法确定球面源，按照某些条件用数学分

18、析法确定球面与平面点与点之间对应的函数关系。与平面点与点之间对应的函数关系。X=f1(、)Y=f2(、)l函数函数f1、f2的具体形式，是由给定的投影的具体形式，是由给定的投影条件确定的。有了这种对应关系，就可把条件确定的。有了这种对应关系，就可把球面上的经纬网交点表示到平面上了。球面上的经纬网交点表示到平面上了。球面上任意一点的位置决定于它的经球面上任意一点的位置决定于它的经纬度，实际投影时是先将一些经纬线纬度，实际投影时是先将一些经纬线的交点展绘在平面上，再将相同经度的交点展绘在平面上，再将相同经度的点连成经线，相同纬度的点连成纬的点连成经线，相同纬度的点连成纬线，构成经纬线网。线，构成经

19、纬线网。有了经纬线网，就可以将球面上的地有了经纬线网，就可以将球面上的地理事物，按其所在经纬度，用一定的理事物，按其所在经纬度，用一定的符号画在平面上相应位置处。符号画在平面上相应位置处。地图投影的实质是将地球椭球面上的地图投影的实质是将地球椭球面上的经纬网按一定的数学法则转移到平面经纬网按一定的数学法则转移到平面上。经纬线网是绘制地图的上。经纬线网是绘制地图的“基础基础”，是地图的主要数学要素。，是地图的主要数学要素。二、地图投影的基本方法二、地图投影的基本方法三、地图投影变形及其相关概念三、地图投影变形及其相关概念1、地图投影变形的概念、地图投影变形的概念l概念概念 地图投影在球面和平面间

20、建立了一一对应的函数关地图投影在球面和平面间建立了一一对应的函数关系，但投影不能保持球面与平面间在长度、角度、面积系，但投影不能保持球面与平面间在长度、角度、面积等方面完全不变，我们把投影前后长度、角度、面积等等方面完全不变，我们把投影前后长度、角度、面积等方面的改变称为投影变形。方面的改变称为投影变形。l研究地图投影的目的研究地图投影的目的 在球面和平面间建立了一一对应的函数关系在球面和平面间建立了一一对应的函数关系根据具体用图的目的、区域的范围和内容的特点等，在根据具体用图的目的、区域的范围和内容的特点等，在长度、面积、角度几种变形中，选择一种另其不变形，长度、面积、角度几种变形中，选择一

21、种另其不变形，或者虽有各种变形，但设法使变形值减少到限差之内。或者虽有各种变形，但设法使变形值减少到限差之内。等积圆柱投影等积圆柱投影墨卡托投影墨卡托投影2、研究变形的方法、研究变形的方法l所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。l经线表示南北方向；纬线表示东西方向。经线表示南北方向；纬线表示东西方向。l经线和纬线是相互垂直的。经线和纬线是相互垂直的。l纬差相等的经线弧长相等；同一纬线上经差相等的纬线

22、弧长相等，不纬差相等的经线弧长相等；同一纬线上经差相等的纬线弧长相等，不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极缩小。同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极缩小。l同一纬度带，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格同一纬度带，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬面积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。逐渐缩小。研究各种投影的变形规律可通过把投影后的经纬线网与地球仪上经研究各种投影的变形规律可通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的。为了研究变形

23、，首先分析一下地球仪上经纬网纬线网格比较而实现的。为了研究变形，首先分析一下地球仪上经纬网的特点：的特点：3、变形椭圆、变形椭圆 在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除在接触点位置外，一般情况下为椭圆，除在接触点位置外，一般情况下为椭圆，下面我下面我们用数学方法验证一下。们用数学方法验证一下。设设O为球面上一点，以为球面上一点，以O为圆点，以经纬线为为圆点，以经纬线为X、Y轴建立一直角坐标轴建立一直角坐标系系XOY。以。以O为圆心以为圆心以1位半径作一微小圆，则圆曲线方程为：位半径作一微小圆，则圆曲线方程为：x2+y2=1 A(x,y)是微小圆圆周上

24、一点，若是微小圆圆周上一点，若X、Y轴为轴为X、Y轴的投影，轴的投影，A(x，y)是是A(x，y)的投影，令的投影，令X方向投影后前长度比为方向投影后前长度比为m，令，令Y向投影后前长度比为向投影后前长度比为n，则，则:x/x=m，y/y=n x=x/m，y=y/n将其代入圆的方程，得：将其代入圆的方程，得：x2/m 2+y2/n 2=1这是一个椭圆方程，这就证明了椭球体面上的微小圆，投影后为椭圆。故叫这是一个椭圆方程，这就证明了椭球体面上的微小圆，投影后为椭圆。故叫做变形椭圆。做变形椭圆。研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，说明变形性研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，说明变形性质和

25、数量。质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上看出长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小值。有极大和极小值。椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变形椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变形;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向线夹椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。角之差为角度变形。dabcdooabc4、主方向、主方向 由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的微小线段投

26、影后一般不一定正交，例如设直的微小线段投影后一般不一定正交，例如设o是球面上是球面上一点，过一点，过o作两条垂线作两条垂线ac和和 bd，投影后为，投影后为ac和和bd。即。即地球面上角地球面上角aob和角和角boc为直角，投影后分别为锐角为直角，投影后分别为锐角aob和钝角和钝角boc。abcdaoobcd 设设想想ac、bd二二垂垂线线相相对对位位置置保保持持不不变变，并并绕绕o点点顺顺时时针针旋旋转转，当当旋旋转转90度度时时，直直角角aob转转到到原原来来boc的的位位置置，这这时时投投影影由由原原来来的的锐锐角角转转变变成成钝钝角角；同同样样的的，直直角角boc转转到到了了cod的的

27、位位置置，它它的的投投影影由由原原来来的的钝钝角角变变为为锐锐角角。由由此此可可见见，一一个个直直角角在在不不同同的的位位置置下下的的投投影影有有着着不不同同的的的的大大小小，可可以以由由锐锐角角变变为为钝钝角角，或或者者相相反反。那那么么在在变变化化的的过过程程中中，必必然然有有一一特特殊殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直线方向，称之为主方向。位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直线方向，称之为主方向。5、长度比和长度变形：设地球球面上有一微小线段、长度比和长度变形：设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为投影到平面上为ds，平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公

28、式，平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公式表示为：表示为：=ds/ds长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向的变长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。dsdsl通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而只研究一些特通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（定方向的长度比，即研究最大长度比（a）和最小长度比（）和最小长度比（b）,经线经线长度比（长度比（m）和纬线长度比（）和纬线长度比

29、（n）。）。l在主方向上，具有极大和极小长度比。在主方向上，具有极大和极小长度比。l投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影后经纬线不直交，其夹角为后经纬线不直交，其夹角为,则经纬线长度比则经纬线长度比 m、n和最大、最小长和最大、最小长度比度比a、b之间具有如下关系：之间具有如下关系：m2+n2=a2+b2 mnsin=abl长度变形即长度比（长度变形即长度比（）与）与1之差，用之差，用V表示长度变形则：表示长度变形则：V=-1l长度变形有正负之分，长度变形为正，表示投影后长度增加；长度变长度变形有正负之分，长度

30、变形为正，表示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短；长度变形为零，则长度无变形。形为负表示投影后长度缩短；长度变形为零，则长度无变形。6 6、面积比与面积变形面积比与面积变形 投影平面上的微小面积投影平面上的微小面积dF与球面上相应微小面积与球面上相应微小面积dF之比之比，称为面积比。球面上半径为，称为面积比。球面上半径为1的微分圆，投影到平面上后变成长的微分圆，投影到平面上后变成长轴为轴为a、短轴为、短轴为b的微分椭圆，以的微分椭圆，以P表示面积比，则表示面积比，则:P=dF/dF=ab/12=ab（面积比等于主方向长度比的乘积）（面积比等于主方向长度比的乘积）或或 P=mnsin

31、（为投影后经纬线夹角）为投影后经纬线夹角）l 面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就是面积比与面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就是面积比与1之差，以之差，以Vp表示：表示：Vp=P-1l 面积变形有正有负，面积变形为正，投影后面积增加；面积变形为负，面积变形有正有负，面积变形为正，投影后面积增加；面积变形为负，投影后面积缩小，面积变形为零，表示投影后面积无变形。投影后面积缩小，面积变形为零，表示投影后面积无变形。7 7、角度变形角度变形 投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，

32、方向线夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上每两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的角度产生的变形一般也不一样。角度产生的变形一般也不一样。因此通常不一一研究每个角因此通常不一一研究每个角度的变形数量，而只研究其中具有代表性的，如最大角度变度的变形数量，而只研究其中具有代表性的，如最大角度变形。最大角度形变的计算公式：形。最大角度形变的计算公式：最大最大角度变形角度变形的几何意义的几何意义时方向时方向OA投影后变形最大

33、即投影后变形最大即 最大最大8 8、等变形线等变形线 在各种投影图上，都存在着变形。并且不同点的在各种投影图上，都存在着变形。并且不同点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制区域变形变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。等变的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线，如面积等变形线。等变形形线就是变形值相等的各点的连线，如面积等变形线。等变形线通常是用线通常是用点虚线点虚线来表示的。来表示的。思 考l l是否存在一种投影它在任何位置、任何方向都没有长度变形？四、地图投影的分类四

34、、地图投影的分类l地图投影的种类很多，由于分类的标准不同，分类的方法地图投影的种类很多，由于分类的标准不同，分类的方法也不同。也不同。l按变形性质分类按变形性质分类l等角投影等角投影l等积投影等积投影l任意投影任意投影l按构成方法分类按构成方法分类l几何投影几何投影l非几何投影非几何投影按变形性质分类按变形性质分类（1）等角投影（正形投影）：角度变形）等角投影（正形投影）：角度变形为为0，地球面上的微小圆经过投影后仍，地球面上的微小圆经过投影后仍为相似的微小圆，其形状保持不变，为相似的微小圆，其形状保持不变，只有长度和面积变形。只有长度和面积变形。l等角投影的条件是：等角投影的条件是：=0或或

35、a=b，m=nl等角投影在同一点任何方向的长度比都等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不同地点长度比不一定相相等，但在不同地点长度比不一定相同。同。l多用于编制航海图、洋流图、风向图等多用于编制航海图、洋流图、风向图等地形图。地形图。（2）等积投影：投影后图形保持面积大小相等，没有面积误差。）等积投影：投影后图形保持面积大小相等，没有面积误差。也就是球面上的不同地点微小圆投影后为面积相等的各个椭圆，也就是球面上的不同地点微小圆投影后为面积相等的各个椭圆，但椭圆的形状不一样。因此有角度和长度变形。但椭圆的形状不一样。因此有角度和长度变形。l 等积投影条件：等积投影条件：Vp=0；P=1（

36、P=ab，所以，所以a=1/b或或b=1/a）l 由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上进行由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。地图。按变形性质分类按变形性质分类按变形性质分类按变形性质分类（3）任意投影：任意投影是既不等）任意投影：任意投影是既不等角也不等积的投影。这种投影的特点角也不等积的投影。这种投影的特点是面积变形小于等角投影，角度变形是面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。小于等积投影。在任意投影中，有一种特殊的投在任意投影中，有一种特

37、殊的投影，叫做等距投影，其条件是，影，叫做等距投影，其条件是，a=1或或b=1。即变形椭圆上的某一个半径。即变形椭圆上的某一个半径和球面上相应微小圆半径相等。和球面上相应微小圆半径相等。等角投影 等积投影 等距投影 任意投影 如图表示各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆的形状。如图表示各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆的形状。通过比较可以看出：通过比较可以看出：等角投影不能保持等积特性等角投影不能保持等积特性，等积投影不能保持等角特性。等积投影不能保持等角特性。任意投影不能保持等积、等角特性。任意投影不能保持等积、等角特性。等角投影的面积变形比较大等角投影的面积变形比较大，等积投影的形状变化

38、比较大。等积投影的形状变化比较大。按构成方法分类按构成方法分类（1）几何投影）几何投影 把地球球面上的经纬线网投影到几何面上，然后把地球球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面而得到的，根据几何面的形状，可进一步分为将几何面展为平面而得到的，根据几何面的形状，可进一步分为如下几类：如下几类：方位投影方位投影 以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。可进一步分为正轴将球面上的经纬线投影到平面上而成。可进一步分为正轴方位投影、横轴方位投影和斜轴方位投影。方位投影、横轴方位投影和斜轴方位投影。l投影中心为极点，

39、纬线为同心圆，经线为同心圆的半径，投影中心为极点，纬线为同心圆，经线为同心圆的半径，两条经线间的夹角与实地相等。两条经线间的夹角与实地相等。l等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆。等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆。l包括等角、等积、等距三种变形性质。包括等角、等积、等距三种变形性质。按构成方法分类按构成方法分类 圆柱投影圆柱投影 以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。可进一步分为正轴圆柱投影、横轴圆柱面展为平面而成。可进一步分为正轴圆柱投

40、影、横轴圆柱投影和斜轴圆柱投影。投影和斜轴圆柱投影。经线投影为平行直线，纬线投经线投影为平行直线，纬线投影成为一组与经线正交的平行影成为一组与经线正交的平行直线。直线。和圆柱面相切的赤道弧长或相和圆柱面相切的赤道弧长或相隔的两条纬线的弧长为正长无隔的两条纬线的弧长为正长无变形。变形。等变形线与纬线平行。等变形线与纬线平行。包括等角、等积、等距三种变包括等角、等积、等距三种变形性质。形性质。在上述三种投影方式中，最常用的是正轴圆柱投影，假在上述三种投影方式中，最常用的是正轴圆柱投影，假定视点在球心，正轴圆柱投影中，经纬线网的特点是：定视点在球心，正轴圆柱投影中，经纬线网的特点是：按构成方法分类按

41、构成方法分类 圆锥投影圆锥投影 以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。可进一步分为正轴圆锥投影、横轴圆锥投展为平面而成。可进一步分为正轴圆锥投影、横轴圆锥投影和斜轴圆锥投影。影和斜轴圆锥投影。切圆锥投影中纬线是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成切圆锥投影中纬线是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经差成正比，但比经差小。差成正比，但比经差小。

42、在切圆锥投影中圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变在切圆锥投影中圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线，叫做标准纬线。这条纬线通常位于制图区域的中间形的线，叫做标准纬线。这条纬线通常位于制图区域的中间部位。部位。等变形线平行于纬线，从标准纬线南向北逐渐增大。等变形线平行于纬线，从标准纬线南向北逐渐增大。在割圆锥投影中两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线，在割圆锥投影中两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线，离开这两条标准纬线向外投影变形为正，离开这两条标准纬离开这两条标准纬线向外投影变形为正，离开这两条标准纬线向里为负，离标准纬线越远变形的绝对值越大。线向里为负，离标准纬线越远变形的绝对

43、值越大。圆锥投影上等变形线与纬线平行。圆锥投影上等变形线与纬线平行。圆锥投影按变形性质分为等角、等积和等距圆锥投影三种。圆锥投影按变形性质分为等角、等积和等距圆锥投影三种。按构成方法分类按构成方法分类（2）非几何投影）非几何投影 在几何投影的基础上，根据一定的条件在几何投影的基础上，根据一定的条件按数学法则加以改造形成的。这类投影按经纬网形状又可按数学法则加以改造形成的。这类投影按经纬网形状又可分为伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影和多圆锥投影。分为伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影和多圆锥投影。投影分类的讨论投影分类的讨论l 本教材本教材 按构成方法分为几何投影和非几何投影，其中几何投影又分

44、为方位按构成方法分为几何投影和非几何投影，其中几何投影又分为方位投影、圆柱投影和圆锥投影；非几何投影分为伪方位投影、伪圆柱投投影、圆柱投影和圆锥投影；非几何投影分为伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影和多圆锥投影。影、伪圆锥投影和多圆锥投影。l 武大武大-诸国瑞诸国瑞 按投影方式分几何投影和条件投影，其中几何投影又分为方位投影、按投影方式分几何投影和条件投影，其中几何投影又分为方位投影、圆柱投影和圆锥投影；条件投影分为方位投影、圆柱投影、圆锥投影、圆柱投影和圆锥投影；条件投影分为方位投影、圆柱投影、圆锥投影、伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影和多圆锥投影。伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影和多圆

45、锥投影。l 南大南大-马永立马永立 按经纬网形状分方位投影、圆柱投影、圆锥投影、多圆锥投影和按经纬网形状分方位投影、圆柱投影、圆锥投影、多圆锥投影和条件投影，其中条件投影又分伪方位投影、伪圆柱投影和伪圆锥投影。条件投影，其中条件投影又分伪方位投影、伪圆柱投影和伪圆锥投影。第四节第四节 常用地图投影分析常用地图投影分析一、一、等角正轴等角正轴切切方位投影方位投影l无角度变形，但面积变形较大无角度变形，但面积变形较大l纬线投影为以极点为圆心的同心圆，纬线方向上的长度比大于纬线投影为以极点为圆心的同心圆，纬线方向上的长度比大于1 1；纬线间隔；纬线间隔由投影中心向外逐渐增大。由投影中心向外逐渐增大。

46、l经线投影为以极点为圆心的放射性直线束，经线方向上的长度经线投影为以极点为圆心的放射性直线束，经线方向上的长度比大于比大于1 1；经线夹角等于相应的经差经线夹角等于相应的经差 。l经纬线投影后，仍保持正交，所以经纬线方向就是主方向。经纬线投影后，仍保持正交，所以经纬线方向就是主方向。l等等变形变形线为以线为以投影中心投影中心(极点极点)为圆心的同心为圆心的同心圆且圆且由投影中心向由投影中心向外逐渐增大。外逐渐增大。l主要用于编绘两极地区主要用于编绘两极地区1 1：100100万地形图。万地形图。二、等积斜切二、等积斜切方位投影方位投影l无面积变形无面积变形，但角度变形大但角度变形大。l投影中心

47、点随需要而定。投影中心点随需要而定。l中央经线为直线，其余经线和纬线都为曲线。中央经线为直线，其余经线和纬线都为曲线。l中央经线上纬距自投影中心向上、向下逐渐减小。中央经线上纬距自投影中心向上、向下逐渐减小。l自投影中心向外，长度和角度变形逐渐变大。自投影中心向外，长度和角度变形逐渐变大。l主要用于编制亚洲、欧洲、北美等大区图，我国政区图也主要用于编制亚洲、欧洲、北美等大区图，我国政区图也采用此投影。采用此投影。三、三、等角正轴切圆柱投影等角正轴切圆柱投影-墨卡托投影墨卡托投影l等角正轴切圆柱投影是荷兰地图学家墨卡托于等角正轴切圆柱投影是荷兰地图学家墨卡托于15691569年所年所创，所以又称

48、墨卡托投影。创，所以又称墨卡托投影。l赤道投影为正长；纬线投影成和赤道等长的平行线段，赤道投影为正长；纬线投影成和赤道等长的平行线段，纬线方向上长度比大于纬线方向上长度比大于1，且离赤道越远，纬线投影的，且离赤道越远，纬线投影的长度比越大；离赤道越远，纬线间隔越大。长度比越大；离赤道越远，纬线间隔越大。l经线投影为一组与纬线正交的平行直线，经线方向上长经线投影为一组与纬线正交的平行直线，经线方向上长度比大于度比大于1。l等变形线与纬线平行，离开赤道越远变形越大。等变形线与纬线平行，离开赤道越远变形越大。l墨卡托投影中，面积变形最大，在纬度墨卡托投影中，面积变形最大，在纬度6060度地区，经纬线

49、度地区，经纬线比都扩大了比都扩大了2 2倍，面积比倍，面积比P=m*n=2*2=4P=m*n=2*2=4，扩大了，扩大了4 4倍，愈接倍，愈接近两极，经纬线扩大的越多，在近两极，经纬线扩大的越多，在=80=80度时，经纬线都扩度时，经纬线都扩大了近大了近6 6倍，面积比扩大了近倍，面积比扩大了近3333倍，所以墨卡托投影在倍，所以墨卡托投影在8080度以上高纬通常不用。度以上高纬通常不用。l该投影被广泛应用于航海和航空方面，因为等角航线（球该投影被广泛应用于航海和航空方面，因为等角航线（球面上，与经线交角处处相等的曲线）在此投影中表现为直面上，与经线交角处处相等的曲线）在此投影中表现为直线。线

50、。等角航线在墨卡托投影图上表现等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，这一点对于航海航空为直线，这一点对于航海航空具有重要意义。因为有这个特具有重要意义。因为有这个特征，航行时，在墨卡托投影图征，航行时，在墨卡托投影图上只要将出发地和目的地连一上只要将出发地和目的地连一直线，用量角器测出直线与经直线，用量角器测出直线与经线的夹角，船上的航海罗盘按线的夹角，船上的航海罗盘按照这个角度指示船只航行，就照这个角度指示船只航行，就能达到目的地。能达到目的地。但等角航线不是地球上两点间的但等角航线不是地球上两点间的最短距离，地球上两点间的最短距离，地球上两点间的最短距离是通过两点的大圆最短距离是通过两点的大