教学目的全微分的有关概念和意义.ppt

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1、全微分全微分教学目的：教学目的：全微分的有关概念和意义全微分的有关概念和意义教学重点：教学重点：全微分的计算和应用全微分的计算和应用教学难点：教学难点：全微分应用于近似计算全微分应用于近似计算全微分全微分全微分全微分定义定义性质性质应用应用类似地可以建立多元函数微分的概念类似地可以建立多元函数微分的概念.全微分全微分二元函数全微分二元函数全微分定义dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy为z=f(x,y)在点(x,y)的全微分。例例1 设矩形的长和宽分别用x、y表示，则此矩形的面积为z=xy.z=(x+x)(y+y)xy =yx+xy+xy所以z=xy可微例题例题定理定理2 若函数z=f(

2、x,y)在点(x,y)的两个偏导数都连续，则它在点(x,y)必可微.例例2 求z=x2+y2+xy 在点(-1,1)处的全微分.全微分存在定理全微分存在定理解由此得例例3 若函数z=f(x,y)在区域D上处处可微，则称f(x,y)为区域D上的可微函数.例题例题二元函数全微分的概念与性质，可类似地推广到更多元的函数.例如例如，若三元函数u=f(x,y,z)的各个偏导数都连续，则u的全微分 du=fx(x,y,z)dx+fy(x,y,z)dy+fz(x,y,z)dz全微分的推广全微分的推广例例4 求函数u=x+sin2y+eyz的全微分du.解 因为所以例题例题 如果函数z=f(x,y)在点(x,

3、y)可微，由全微分的定义知z与dz之差是的高阶无穷小,所以当|x|、|y|都很小时，z dz =fx(x,y)x+fy(x,y)y即全微分的应用全微分的应用解解由公式得由公式得例题例题解解设黄铜的比重为设黄铜的比重为圆柱体的体积为圆柱体的体积为例题例题 定理1 若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，则它在点(x,y)必连续.一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在 结论结论3 多元函数在点多元函数在点(x,y)各偏导数存在各偏导数存在 ,不一定在点（x,y)可微全微分的性质全微分的性质例例7 证明在点（0,0）各偏导数存在，不可微。解 上式的极限不存在，所以f(x,y)，在点（0,0）不可微。例题例题多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导例题例题