微积分学的基本定理.ppt

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1、第二节第二节 微积分学微积分学的基本定理的基本定理高等数学 04-02-01一、一、积分上限的函数及其导数积分上限的函数及其导数高等数学 04-02-02二、二、微积分学基本定理微积分学基本定理例例 一一质质点点沿沿直直线线运运动动。设设时时刻刻 t 时时质质点点所所在在的的位位置置为为 s(t)，速速度度为为 v(t)（v(t)0）。讨讨 论论 在在 时时 间间 段段 t0,t1 内内位位置置函函数数 s(t)与与速速度度函函数数 v(t)之间的关系。之间的关系。高等数学 04-02-03变上限积分变上限积分 设函数设函数 f(x)在在 a,b 上连续，则上连续，则它在它在 a,b 的任意一

2、个子区间的任意一个子区间 a,x 上是可积的，且上是可积的，且高等数学 04-02-04就是它的积分上限就是它的积分上限 x 的函数，称此函的函数，称此函数为数为积分上限函数积分上限函数，或，或变上限积分变上限积分。y=f(x)abOxy(x)x高等数学 04-02-05定理定理 设函数设函数 f(x)在在 a,b 上连续，则上连续，则积分上限函数积分上限函数高等数学 04-02-06在区间在区间 a,b 上可导，且有上可导，且有Oxy(x)y=f(x)abx高等数学 04-02-07x+x 推论推论 设函数设函数 f(x)在在 a,b 上连续，则上连续，则高等数学 04-02-08是函数是函

3、数 f(x)在在 a,b 上的一个原函数。上的一个原函数。注注（1）一切连续函数都存在原函数；一切连续函数都存在原函数；（2）由由此此定定理理可可推推导导出出微微积积分分基基本本定理。定理。高等数学 04-02-09高等数学 04-02-10例例 设设 ，求，求 。高等数学 04-02-11例例 设设 ，求，求 。例例 求极限求极限高等数学 04-02-12例例 求极限求极限高等数学 04-02-13高等数学 04-02-14例例 求求 的导数。的导数。课堂讨论题课堂讨论题 求下列函数的导数求下列函数的导数高等数学 04-02-15（1）（2）（3）定理定理（微积分基本定理微积分基本定理）设函

4、数设函数 f(x)在在 a,b 上连续，上连续，F(x)是是 f(x)在在 a,b 上的一个原函数，上的一个原函数，即即F (x)=f(x)，则，则 上式又称为上式又称为牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式。高等数学 04-02-16 微积分基本定理微积分基本定理揭示了定积分与揭示了定积分与不定积分之间的内在关系，从而使微不定积分之间的内在关系，从而使微分学和积分学建立了联系。即当被积分学和积分学建立了联系。即当被积函数的原函数可以求出时，定积分就函数的原函数可以求出时，定积分就等于原函数在积分上限的函数值与积等于原函数在积分上限的函数值与积分下限的函数值之差。分下限的函数值之差。高等数学 04-02-17例例 计算定积分计算定积分高等数学 04-02-18例例 计算定积分计算定积分高等数学 04-02-19例例 计算定积分计算定积分高等数学 04-02-20例例 计算由计算由 ，x=1，x=2，x 轴轴所围成的平面图形的面积。所围成的平面图形的面积。高等数学 04-02-21课堂讨论题课堂讨论题 求下列函数的定积分求下列函数的定积分高等数学 04-02-22（1）（2）（3）小结小结：变上限积分变上限积分 微积分基本定理微积分基本定理 （牛顿莱布尼茨公式）（牛顿莱布尼茨公式）高等数学 04-02-23作业作业：P90 习题四习题四 5(1)(2)7 10(1)(2)