教学课件第五节对坐标的曲面积分.ppt

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1、一、基本概念一、基本概念二、引例二、引例三、定义及性质三、定义及性质四、计算四、计算五、两类曲面积分的关系五、两类曲面积分的关系上页上页返回返回下页下页高等数学上一节我们讲述了对面积的曲面积分，上一节我们讲述了对面积的曲面积分，这一节我们就来讲对坐标的曲面积分。这一节我们就来讲对坐标的曲面积分。同样我们也要讲述两类曲面积分：同样我们也要讲述两类曲面积分：对面积的曲面积分（第一类）对面积的曲面积分（第一类）对坐标的曲面积分（第二类）。对坐标的曲面积分（第二类）。前面我们讲述了两类曲线积分：前面我们讲述了两类曲线积分：弧长曲线积分（第一类）弧长曲线积分（第一类）坐标曲线积分（第二类）。坐标曲线积分

2、（第二类）。一、基本概念一、基本概念上页上页返回返回下页下页高等数学观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧1.有向曲面（曲面的侧向）有向曲面（曲面的侧向）上页上页返回返回下页下页高等数学曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;2.2.单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面上页上页返回返回下页下页高等数学莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:曲面通常都是双侧的，具体分类如下：曲面通常都是双侧的，具体分类如下：上页上页返回返回下页下页高等数学（1）若曲面方程为）若曲面方程为 z=z(x

3、,y)，则将曲面分为上、下，则将曲面分为上、下两侧。两侧。此时曲面上任意一点处的法向量为此时曲面上任意一点处的法向量为其中，其中，朝上，代表曲面的上侧，朝上，代表曲面的上侧，朝下，代表曲面的下侧。朝下，代表曲面的下侧。（2）若曲面方程为）若曲面方程为 y=y(x,z)，则将曲面分为左、右，则将曲面分为左、右两侧。两侧。此时曲面上任意一点处的法向量为此时曲面上任意一点处的法向量为其中，其中，朝右，代表曲面的右侧，朝右，代表曲面的右侧，朝左，代表曲面的左侧。朝左，代表曲面的左侧。（3）若曲面方程为）若曲面方程为 x=x(y,z)，则将曲面分为前、后，则将曲面分为前、后两侧。两侧。此时曲面上任意一点

4、处的法向量为此时曲面上任意一点处的法向量为上页上页返回返回下页下页高等数学其中，其中，朝前，代表曲面的前侧，朝前，代表曲面的前侧，朝后，代表曲面的后侧。朝后，代表曲面的后侧。（4）若曲面为封闭曲面，方程为）若曲面为封闭曲面，方程为 F(x,y,z)=0，则将曲面分为内、外两侧。则将曲面分为内、外两侧。此时曲面上任意一点处的法向量为此时曲面上任意一点处的法向量为其中，其中，一个朝内，代表曲面的内侧，一个朝内，代表曲面的内侧，一个朝外，代表曲面的外侧。一个朝外，代表曲面的外侧。小结小结：（：（1）曲面的方程形式决定了曲面侧向的划分；曲面的方程形式决定了曲面侧向的划分；（2）曲面侧向的选定可通过法向

5、量的指向来确定。）曲面侧向的选定可通过法向量的指向来确定。这种通过法向量的指向来选定了侧的曲面叫做有向曲面这种通过法向量的指向来选定了侧的曲面叫做有向曲面上页上页返回返回下页下页高等数学例如：考虑封闭的球面例如：考虑封闭的球面 ：则应将则应将 分为内、外两侧，分为内、外两侧，取取则则代表代表 的外侧，的外侧，代表代表 的内侧。的内侧。进一步，若将进一步，若将 分为上下两半球面，则分为上下两半球面，则 的方程为的方程为 而而其中其中代表上半球面，代表上半球面，代表下半球面，代表下半球面，上页上页返回返回下页下页高等数学例如：考虑封闭的球面例如：考虑封闭的球面 ：则应将则应将 分为内、外两侧，分为

6、内、外两侧，代表上半球面，代表上半球面，代表下半球面，代表下半球面，此时，此时，均应分为上、下两侧均应分为上、下两侧其中：若其中：若 取外侧，则取外侧，则应取上侧，应取上侧，应取下侧，应取下侧，若若 取内侧，则取内侧，则应取下侧，应取下侧，应取上侧，应取上侧，上页上页返回返回下页下页高等数学2.2.有向曲面在坐标面上的投影有向曲面在坐标面上的投影的方向余弦记为的方向余弦记为设设 是一个有向曲面，是一个有向曲面，法向量法向量的方向与的方向与 的侧向一致的侧向一致假设在假设在 S 上，上，cos 不变号不变号则则 S 在在 xoy 面上的投影规定为面上的投影规定为 类似地，可以定义类似地，可以定义

7、 S 在在 yoz 和和 xoz 面上的投影。面上的投影。上页上页返回返回下页下页高等数学3.有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系（1）设）设 的方程为：的方程为：若若 取上侧，取上侧，则则 的法向量为的法向量为显然在显然在 S 上，上，cos 0 不变号不变号所以所以若若 取下侧，取下侧，则则 的法向量为的法向量为显然在显然在 S 上，上，cos 0 不变号不变号所以所以上页上页返回返回下页下页高等数学3.有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系（1）设）设 的方程为：的方程为：注意：注意：取上侧取上侧投影取

8、正投影取正（2）若）若 的方程为：的方程为：上页上页返回返回下页下页高等数学3.有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系（1）设）设 的方程为：的方程为：注意：注意：取上侧取上侧投影取正投影取正（3）若）若 的方程为：的方程为：上页上页返回返回下页下页高等数学二、概念的引入举例：举例：流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.为与为与 A 的侧向一致的的侧向一致的通过通过 A 流向流向所指一侧所指一侧的流量就是该斜柱体的体积的流量就是该斜柱体的体积1.设有一有向平面区域设有一有向平面区域 A，今有一流速为常向量今有一流速为常向量的流速场，的流速场，单位法向量

9、，单位法向量，为为求单位时间内通过求单位时间内通过 A 流向流向所指所指一侧的流量。一侧的流量。上页上页返回返回下页下页高等数学为与为与 A 的侧向一致的的侧向一致的通过通过 A 流向流向所指一侧的流量所指一侧的流量 1.设有一有向平面区域设有一有向平面区域 A，今有一流速为常向量今有一流速为常向量的流速场，的流速场，单位法向量，单位法向量，为为求单位时间内通过求单位时间内通过 A 流向流向所指所指一侧的流量一侧的流量 。此时此时但但所以仍然有所以仍然有在平面内在平面内因此因此上页上页返回返回下页下页高等数学此时流体实际流向此时流体实际流向所指一侧所指一侧为与为与 A 的侧向一致的的侧向一致的

10、（1）设有一有向平面区域）设有一有向平面区域 A，今有一流速为常向量今有一流速为常向量的流速场，的流速场，单位法向量，单位法向量，为为求单位时间内通过求单位时间内通过 A 流向流向所指所指一侧的流量一侧的流量 。其大小为其大小为的流量仍然为的流量仍然为因此通过因此通过 A 流向流向所指一侧所指一侧总之，流体通过总之，流体通过 A 而流向而流向所指一侧的流量总可表示为所指一侧的流量总可表示为上页上页返回返回下页下页高等数学上页上页返回返回下页下页高等数学(1)分割分割记该点流速为记该点流速为 .单位法向量为：单位法向量为：的方向与的方向与 的侧向一致的侧向一致上页上页返回返回下页下页高等数学(2

11、)求近似求近似：在单位时间内通过：在单位时间内通过而流向而流向 指定指定而通过整个而通过整个 流向指定侧的流量为流向指定侧的流量为侧的流量为侧的流量为(1)分割分割则该点流速为则该点流速为 .单位法向量为：单位法向量为：上页上页返回返回下页下页高等数学(3)取极限，求精确值取极限，求精确值令令 为所有小块曲为所有小块曲面直径的最大值，则面直径的最大值，则上页上页返回返回下页下页高等数学三、对坐标的曲面积分的定义及性质三、对坐标的曲面积分的定义及性质定义：设定义：设 为光滑有向曲面，为光滑有向曲面，R(x,y,z)在在 上有界上有界首先，将首先，将 任意分成任意分成 n 块小曲面：块小曲面：在在

12、 xoy 面上的投影记为面上的投影记为其次，在其次，在上任取一点上任取一点做乘积做乘积并作和并作和令令 为所有小块曲面直径的最大值，为所有小块曲面直径的最大值，如果极限如果极限总存在，总存在，则称此极限为则称此极限为 R(x,y,z)在在 上对坐标上对坐标 x,y 的曲面积分。的曲面积分。上页上页返回返回下页下页高等数学被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义积分和积分和以上三个对坐标的曲面积分统称为第二类曲面积分。以上三个对坐标的曲面积分统称为第二类曲面积分。上页上页返回返回下页下页高等数学存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:上页上页返回返回下页下页高等数学性质

13、性质:与第二类曲线积分的性质完全相似、例如与第二类曲线积分的性质完全相似、例如线性性质、有限可加性等线性性质、有限可加性等若用若用表示与表示与 取相反侧向的有向曲面，则取相反侧向的有向曲面，则上页上页返回返回下页下页高等数学四、第二类曲面积分的计算方法为为 在在 xoy 面上的投影区域面上的投影区域首先将首先将 的方程表为的方程表为在在 上任取一小块区域上任取一小块区域（1）取上侧，则取上侧，则在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为投影为投影为代入上述积分和中得代入上述积分和中得上页上页返回返回下页下页高等数学四、第二类曲面积分的计算方法（1）取上侧，则取上侧，则（2）取下侧，则取下侧

14、，则上页上页返回返回下页下页高等数学四、第二类曲面积分的计算方法（1）取上侧，则取上侧，则（2）取下侧，则取下侧，则上页上页返回返回下页下页高等数学其中，其中，取上侧，积分取正，取上侧，积分取正，取下侧，积分取负。取下侧，积分取负。计算计算的步骤的步骤（1）将）将 的方程写成的方程写成（2）将）将 投影到投影到 xoy 面上，得投影区域面上，得投影区域（3）将）将 z=z(x,y)代入被积函数，代入被积函数，的侧分为上、下侧的侧分为上、下侧将将 换为换为（4）根据）根据 的侧向确定二重积分的符号。的侧向确定二重积分的符号。上页上页返回返回下页下页高等数学注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积

15、分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.类似地类似地其中，其中，为为 的方程，的方程，取前侧，二重积分取正，取前侧，二重积分取正，取后侧，二重积分取负。取后侧，二重积分取负。为为 在在 yoz 面上的投影区域面上的投影区域其中，其中，为为 的方程，的方程，取右侧，二重积分取正，取右侧，二重积分取正，取左侧，二重积分取负。取左侧，二重积分取负。为为 在在 xoz 面上的投影区域面上的投影区域上页上页返回返回下页下页高等数学例例1：计算：计算其中其中取外侧取外侧解：解：考虑考虑的计算的计算在在 xoy 面上的投影均为面上的投影均为 线段线段而在而在上，上，取下侧取下侧所以所以上页上页返回返回

16、下页下页高等数学例例1：计算：计算其中其中取外侧取外侧解：解：取上侧取上侧由坐标轮换性可得由坐标轮换性可得所以所以上页上页返回返回下页下页高等数学例例1：计算：计算其中其中取外侧取外侧解：解：所以所以注意注意：1.要保持要保持 与各与各在侧向上的一致性在侧向上的一致性;2.善于使用坐标轮换特征。善于使用坐标轮换特征。上页上页返回返回下页下页高等数学解解 分析：计算对分析：计算对 x,y 的曲面积分的曲面积分必须：必须：（1）将）将 投影到投影到 xoy 面上；面上；（2）将）将 的方程表为的方程表为由于由于故故其中其中取下侧取下侧取上侧，取上侧，它们在它们在 xoy 面上的投影区域相同。面上的

17、投影区域相同。上页上页返回返回下页下页高等数学解解取上侧取上侧取下侧，取下侧，上页上页返回返回下页下页高等数学解解上页上页返回返回下页下页高等数学例例3：计算：计算其中其中取上侧。取上侧。解：解：上页上页返回返回下页下页高等数学例例3：计算：计算其中其中解：解：取上侧。取上侧。上页上页返回返回下页下页高等数学例例3：计算：计算其中其中解：解：为了计算为了计算（1）将）将 的方程表为的方程表为取后侧取后侧取前侧取前侧（2）将）将 投影到投影到 yoz 面面取上侧。取上侧。上页上页返回返回下页下页高等数学例例3：计算：计算其中其中解：解：取后侧取后侧取前侧取前侧所以所以取上侧。取上侧。上页上页返回

18、返回下页下页高等数学例例3：计算：计算其中其中解：解：取上侧。取上侧。上页上页返回返回下页下页高等数学五、两类曲面积分之间的联系考虑曲面积分考虑曲面积分在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为（1）取上侧，取上侧，上页上页返回返回下页下页高等数学考虑曲面积分考虑曲面积分在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为（1）取上侧，取上侧，而而上页上页返回返回下页下页高等数学考虑曲面积分考虑曲面积分在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为（1）取上侧，取上侧，而而所以所以上页上页返回返回下页下页高等数学考虑曲面积分考虑曲面积分在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为（2）取下侧，

19、取下侧，而而上页上页返回返回下页下页高等数学考虑曲面积分考虑曲面积分在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为（2）取下侧，取下侧，而而所以亦有所以亦有上页上页返回返回下页下页高等数学考虑曲面积分考虑曲面积分在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为则则无论无论 取上、下那一侧，均有取上、下那一侧，均有是与是与 的侧向一致的法向量的侧向一致的法向量的方向余弦，的方向余弦，同同理理上页上页返回返回下页下页高等数学是与是与 的侧向一致的法向量的侧向一致的法向量的方向余弦，的方向余弦，上页上页返回返回下页下页高等数学是与是与 的侧向一致的法向量的侧向一致的法向量的方向余弦，的方向余弦，将三个

20、不同的对坐标曲面积分转化为同一个曲面积分将三个不同的对坐标曲面积分转化为同一个曲面积分上页上页返回返回下页下页高等数学假设假设 的方程为的方程为所以无论所以无论 取上、下那一侧，总有取上、下那一侧，总有 故故分别代表上、下两侧，分别代表上、下两侧，上页上页返回返回下页下页高等数学假设假设 的方程为的方程为同理可得：同理可得：若若 的方程为的方程为则有则有若若 的方程为的方程为则有则有上页上页返回返回下页下页高等数学解：解：由于由于 ：上页上页返回返回下页下页高等数学由对称性得由对称性得解：解：上页上页返回返回下页下页高等数学解：解：由对称性得由对称性得上页上页返回返回下页下页高等数学解：解：上

21、页上页返回返回下页下页高等数学例例5：计算：计算其中其中取上侧。取上侧。解：解：上页上页返回返回下页下页高等数学例例5：计算：计算其中其中取上侧。取上侧。解：解：上页上页返回返回下页下页高等数学六、小结1.1.对坐标曲面积分的物理意义对坐标曲面积分的物理意义2.2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点a.a.曲面的侧曲面的侧b.“b.“一投一投,二代二代,三定号三定号”上页上页返回返回下页下页高等数学思考题思考题上页上页返回返回下页下页高等数学思考题解答思考题解答此时此时 的左侧为的左侧为负负侧，侧，而而 的左侧为的左侧为正正侧侧.上页上页返回返回下页下页高等数学作业上页上页返回返回下页下页高等数学练练 习习 题题上页上页返回返回下页下页高等数学上页上页返回返回下页下页高等数学练习题答案练习题答案