教师培训课件：帮助学生获得数学的基本思想.ppt

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1、帮助学生帮助学生 获得数学的基本思想获得数学的基本思想帮助学生获得数学思想的基本策略。帮助学生获得数学思想的基本策略。提出提出“获得数学的基本思想获得数学的基本思想”目标的重要意目标的重要意义。义。“获得数学的基本思想获得数学的基本思想”目标的内函。目标的内函。一、提出一、提出“获得数学的基本思想获得数学的基本思想”目标的重要意义目标的重要意义 华罗庚曾说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化华罗庚曾说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。数学。伟大的科学家爱因斯坦曾经说：伟大的科学家爱因斯坦曾经说：“这

2、个世界可以由音这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学的符号组成。乐的音符组成，也可以由数学的符号组成。”数学与人类发展和社会进步息息相关。数学与人类发展和社会进步息息相关。在信息化、数字化、学习化的当今世界，数学的影在信息化、数字化、学习化的当今世界，数学的影响越来越深远，更是遍及人类活动的诸多领域，为人类响越来越深远，更是遍及人类活动的诸多领域，为人类的物质文明和精神文明建设提供了不断更新的理论、思的物质文明和精神文明建设提供了不断更新的理论、思想、方法和应用技术，当前一切高新技术的高精度、高想、方法和应用技术，当前一切高新技术的高精度、高难度、高自动、高效率等特点，几乎都是通过数学模型

3、难度、高自动、高效率等特点，几乎都是通过数学模型和数学思想方法并借助计算机的控制而实现的。和数学思想方法并借助计算机的控制而实现的。数学有用，数学很有用。数学有用，数学很有用。数学有如此威力，主要是其独特的思维和方法发数学有如此威力，主要是其独特的思维和方法发挥作用。挥作用。数学为人们提供了直观判断、归纳类比、抽象化、数学为人们提供了直观判断、归纳类比、抽象化、逻辑分析、建立模型、运用数据进行推断、最优化等逻辑分析、建立模型、运用数据进行推断、最优化等强有力的思考方式，帮助人们更好地了解周围的世界；强有力的思考方式，帮助人们更好地了解周围的世界；使人们具有科学的精神、理性的思维和创新的本领；使

4、人们具有科学的精神、理性的思维和创新的本领；使人们充满自信和坚忍。使人们充满自信和坚忍。数学思想数学思想(维维)的教育意义，不仅仅是为了培养数学的教育意义，不仅仅是为了培养数学家，而是为所有人的未来发展打下基础。家，而是为所有人的未来发展打下基础。数学可说是泽被天下，是人类智慧的不竭源泉。数学可说是泽被天下，是人类智慧的不竭源泉。1 1、适应时代发展的需要、适应时代发展的需要信息社会的到来，人类社会生活的各个方面都信息社会的到来，人类社会生活的各个方面都离不开数学。离不开数学。信息社会的到来，要求人们具有更高的数学素养。信息社会的到来，要求人们具有更高的数学素养。2121世纪，将是用体力较少而

5、用脑力较多，用机械较世纪，将是用体力较少而用脑力较多，用机械较少而用电子较多，静态较少而变化较多的社会，要求工少而用电子较多，静态较少而变化较多的社会，要求工作人员在智力上能适应工作，随时准备吸收新思想，认作人员在智力上能适应工作，随时准备吸收新思想，认识事物的来龙去脉，适应变革，解决非传统式的问题。识事物的来龙去脉，适应变革，解决非传统式的问题。正是这种要求，使得数学成为很多行业必备的知识。正是这种要求，使得数学成为很多行业必备的知识。美国数学教育界的文件人人有份中指出：美国数学教育界的文件人人有份中指出：“从从来没有像现在这样，美国人需要为生存而思考，从来没来没有像现在这样，美国人需要为生

6、存而思考，从来没有像现在这样，他们需要数学式的思维。有像现在这样，他们需要数学式的思维。”中小学数学教学不仅仅是为了教学所需的知识，更是中小学数学教学不仅仅是为了教学所需的知识，更是为了未来的发展。为了未来的发展。“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应具备的基本素养每一个公民应具备的基本素养”。标准（标准（2011）前言指出：）前言指出：特别强调：特别强调：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力学知识与技能，更

7、要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用方面的不可替代的作用”。2 2、是全面实施素质教育的需要、是全面实施素质教育的需要 数学教育的意义在于用学科自身的品质，陶冶人，启迪人，数学教育的意义在于用学科自身的品质，陶冶人，启迪人，充实人，促使人的素质的全面发展。充实人，促使人的素质的全面发展。数学培养学生的抽象概括能力；数学培养学生的抽象概括能力；数学给学生以严密思维的熏陶；数学给学生以严密思维的熏陶；数学，让学生在学习中逐步学会科学整理自己的思想；数学，让学生在学习中逐步学会科学整理自己的思想；数学培养学生本质地看问题的意识；数学培养学生本质地看问题的意识；数学培养学生良好的

8、思维习惯；数学培养学生良好的思维习惯；基本的思维能力、科学态度、理性精神及良好的习惯是未基本的思维能力、科学态度、理性精神及良好的习惯是未来公民生存、发展的最基本最重要的素质。来公民生存、发展的最基本最重要的素质。小学数学教学要为学生将来的学习、生存和发展打好基础。小学数学教学要为学生将来的学习、生存和发展打好基础。今天的数学课堂，更是素质教育的课堂。今天的数学课堂，更是素质教育的课堂。要让学生在获取数学基础知识和基本技能的活动中，要让学生在获取数学基础知识和基本技能的活动中，逐步体验、领悟数学的基本思想方法，逐步具备基本的思逐步体验、领悟数学的基本思想方法，逐步具备基本的思维能力、科学态度、

9、理性精神、创新意识等基本素质，为维能力、科学态度、理性精神、创新意识等基本素质，为学生未来的生活、工作、学习和发展打好基础。学生未来的生活、工作、学习和发展打好基础。3 3、“数学的基本思想数学的基本思想”是学习数学的需要是学习数学的需要 标准（标准（20112011）指出：数学课程内容）指出：数学课程内容“不仅包括数学的结果，也不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法”。数学知识是数学思维活动的产物。数学知识是数学思维活动的产物。数学学习应该看成是数学思维过程和数学思维结果二者的综合。数学学习应该看成是数学思维过程和数学思维结

10、果二者的综合。数学思维是动的数学，数学知识本身是静的数学。这数学思维是动的数学，数学知识本身是静的数学。这二者是辩证的统一。二者是辩证的统一。把数学看成是用数学的思想与方法，不断把与实际问把数学看成是用数学的思想与方法，不断把与实际问题有关的材料进行整理和组织起来的活动，而不是一些静题有关的材料进行整理和组织起来的活动，而不是一些静止的结论。止的结论。数学思维能力的强弱直接影响着学生掌握和发现数学知识数学思维能力的强弱直接影响着学生掌握和发现数学知识的广狭和深浅。的广狭和深浅。大量研究已经表明，学生思维能力的高低影响着他们掌握大量研究已经表明，学生思维能力的高低影响着他们掌握知识的深度和系统程

11、度。反过来，学生掌握知识的深度和系知识的深度和系统程度。反过来，学生掌握知识的深度和系统程度也在某种意义上反映思维能力的高低。统程度也在某种意义上反映思维能力的高低。数学知识的掌握与思维能力的培养是相辅相成的。数学知识的掌握与思维能力的培养是相辅相成的。不依赖思维，不能学好数学；不依赖思维，不能学好数学；正确的数学教学，必然有助于思维能力的提高。正确的数学教学，必然有助于思维能力的提高。长期有意识、有计划地在教学中正确运用、恰当渗透数长期有意识、有计划地在教学中正确运用、恰当渗透数学的基本思想方法。学的基本思想方法。有助于学生对数学知识本质的理解掌握，有助于学生对数学知识本质的理解掌握，有助于

12、学生数学能力的发展、良好思维品质的形成；有助于学生数学能力的发展、良好思维品质的形成；有利于提高学生的思维能力、实践能力、学习能力，有利于提高学生的思维能力、实践能力、学习能力，有利于培养学生探索的兴趣和创新意识；有利于培养学生探索的兴趣和创新意识；促进学生的全面发展。促进学生的全面发展。提高教师的专业素养，教学能力和水平；提高教师的专业素养，教学能力和水平；促进教师的专业成长。促进教师的专业成长。二、二、“获得数学的基本思想获得数学的基本思想”目标的内函目标的内函1、课程目标的变化、课程目标的变化培养初步的逻辑思维能力培养初步的逻辑思维能力培养初步的思维能力培养初步的思维能力获得数学的基本思

13、想获得数学的基本思想 建国建国6060多年，小学数学教育始终十分重视开发学生多年，小学数学教育始终十分重视开发学生的智慧，培养学生的思维能力。的智慧，培养学生的思维能力。训练儿童善于运用训练儿童善于运用的方法和习惯的方法和习惯呈现由少到多、由偏到全、由低到高的变革轨迹。呈现由少到多、由偏到全、由低到高的变革轨迹。标准（标准（2011年版）设定的年版）设定的“总体目标总体目标”通过义务教育阶段的数学学习，学生能：通过义务教育阶段的数学学习，学生能：1.1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。础知识、基本

14、技能、基本思想、基本活动经验。2.2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。3.3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。和科学态度。具体规定了数学思考目标：具体规定了数学思考目标：建立数感、符号意识和空

15、间观念，初步形成几何建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。随机现象。在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。地表达自己的想法。学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。“培养初步的逻辑思维能力培养初步的逻辑思维能力”“培养初步的思

16、维能力培养初步的思维能力”拓展了通过数学教学培养学生思维能力的范围和要求。拓展了通过数学教学培养学生思维能力的范围和要求。小学数学教学，既要发展学生的逻辑思维，又要发展学生的小学数学教学，既要发展学生的逻辑思维，又要发展学生的形象思维、直觉思维。形象思维、直觉思维。“获得数学的基本思想获得数学的基本思想”体现了今天的数学课程重视提高学生的数学素养，着体现了今天的数学课程重视提高学生的数学素养，着眼于培养学生终身学习和发展的能力。眼于培养学生终身学习和发展的能力。义务教育阶段的数学思考应发展抽象思维、形象思维、义务教育阶段的数学思考应发展抽象思维、形象思维、数据分析观念及合情推理、演绎推理的能力

17、。数学教学更数据分析观念及合情推理、演绎推理的能力。数学教学更加重视让学生学会独立思考，学会从现实情境中加重视让学生学会独立思考，学会从现实情境中“看到看到”数学，学会用数学去思考和解决问题，获得思维能力的提数学，学会用数学去思考和解决问题，获得思维能力的提高和发展，终生受益。高和发展，终生受益。2、数学的基本思想、数学的基本思想数学产生与发展所依赖的思想，本质上有：数学产生与发展所依赖的思想，本质上有：抽象、推理、模型抽象、推理、模型通过抽象，在现实世界中得到数学的概念。通过抽象，在现实世界中得到数学的概念。通过推理，得到数学的发展。通过推理，得到数学的发展。通过模型，建立数学与外部世界的联

18、系。通过模型，建立数学与外部世界的联系。抽象抽象推理推理模型模型基基本本思思想想抽象思想抽象思想推理思想推理思想模型思想模型思想符号化思想、分类思想、集合思想、对应思想符号化思想、分类思想、集合思想、对应思想有限与无限思想、变中有不变思想有限与无限思想、变中有不变思想公理化思想、归纳推理、类比推理、演绎推理、化归思想公理化思想、归纳推理、类比推理、演绎推理、化归思想变换思想、数形结合思想、代换思想、逐步逼近的思想变换思想、数形结合思想、代换思想、逐步逼近的思想简化思想、量化思想、方程思想、函数思想、优化思想简化思想、量化思想、方程思想、函数思想、优化思想随机思想、统计思想随机思想、统计思想3、

19、数学思维的基本形式、数学思维的基本形式逻辑思维逻辑思维形象思维形象思维直觉思维直觉思维数学逻辑思维的基本形式：概念、判断、推理。数学逻辑思维的基本形式：概念、判断、推理。逻辑思维逻辑思维 逻辑思维是以概念为思维的基本单元，以逻辑思维是以概念为思维的基本单元，以抽象为基本的思维方法，以语言、符号为基本抽象为基本的思维方法，以语言、符号为基本的表达工具，有严格的思维规则的思维形式。的表达工具，有严格的思维规则的思维形式。数学形象思维的基本形式：表象、直感、想象。数学形象思维的基本形式：表象、直感、想象。形象思维形象思维 形象思维是借助具体可感的形象，通过联想、想象、形象思维是借助具体可感的形象，通

20、过联想、想象、类比、夸张等而展开的思维方式。类比、夸张等而展开的思维方式。爱因斯坦指出：爱因斯坦指出：“想象力比知识更重要，因为知识想象力比知识更重要，因为知识是有限的，想象力概括着世界的一切，推动世界进步，是有限的，想象力概括着世界的一切，推动世界进步，是知识进化的源泉。是知识进化的源泉。”直觉思维是以人地直觉为接通媒介，并能获得有社直觉思维是以人地直觉为接通媒介，并能获得有社会价值的思维活动。会价值的思维活动。直觉思维是运用知识组块和形象直感对问题进行敏直觉思维是运用知识组块和形象直感对问题进行敏锐的分析、推理，并能迅速发现解决问题的方向或途径锐的分析、推理，并能迅速发现解决问题的方向或途

21、径的思维形式。的思维形式。直觉思维是一种以高度省略、浓缩、简化的方式洞直觉思维是一种以高度省略、浓缩、简化的方式洞察问题实质的思维。察问题实质的思维。直觉思维直觉思维数学直觉思维的基本形式：直觉、灵感。数学直觉思维的基本形式：直觉、灵感。数学思维的个性品质：数学思维的个性品质：广阔性、深刻性、灵活性、广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、独创性、批判性敏捷性、独创性、批判性 标准（标准（20112011）的数学思考目标，实质上是）的数学思考目标，实质上是把三种思维方式有机地融合在一起。把三种思维方式有机地融合在一起。数学教育全面发挥培养数学思维能力的功能，数学教育全面发挥培养数学思维能力的功能，适应

22、时代发展、数学发展的需要和人才发展的需要。适应时代发展、数学发展的需要和人才发展的需要。4、小学数学中的数学思想方法、小学数学中的数学思想方法主要有：主要有：抽象思想、分类思想、数形结合思想、转化（化归）思想、抽象思想、分类思想、数形结合思想、转化（化归）思想、类比思想、推理思想、符号化思想、方程思想、类比思想、推理思想、符号化思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想 在四大领域中体现数学思想方法；在四大领域中体现数学思想方法；单独设置专项内容单独设置专项内容“数学广角数学广角”“数学好玩数学好玩”。数学抽象是对现实世界具有数量关系和

23、空间形式的真实材料数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程。数学抽象思想是一般化的思想方法，具成数学理论的过程。数学抽象思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。有普遍的意义。抽象思想在数学中无处不在。抽象思想在数学中无处不在。任何一个数学概念、法则、公式、规律等的学习，都要任何一个数学概念、法则、公式、规律等的学习，都要用到抽象概括；用到抽象概括；用任何数学知识解决纯数学问题或联系实际的问题，都用任何数学知识解决纯数学问题或联系实际的问题，都需要计算、推理、构建模

24、型，都离不开抽象。需要计算、推理、构建模型，都离不开抽象。（1）抽象思想）抽象思想就抽象的深度而言，大体上分为三个层次：就抽象的深度而言，大体上分为三个层次：把握事物的本质，把复杂的问题简单化、条理化，能够清晰把握事物的本质，把复杂的问题简单化、条理化，能够清晰地表达，我们称其为简约阶段。地表达，我们称其为简约阶段。去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物，我们称其为符号阶段。经简约化了的事物在内的一类事物，我们称其为符号阶段。通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般意通过假设和推理建立法则

25、、模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物，我们称其为普适阶段。义上解释具体事物，我们称其为普适阶段。重视让学生经历抽象的数学思考过程。重视让学生经历抽象的数学思考过程。比比8和和9抽象水平高了。抽象水平高了。10不仅是对任何数量是不仅是对任何数量是10的的物体的抽象，物体的抽象，进一步地它不再用新的数字进一步地它不再用新的数字符号，而是采用十进制计数符号，而是采用十进制计数原理。原理。缺少对数学抽象的深度关注。缺少对数学抽象的深度关注。又如：二年级上册又如：二年级上册“角的初步认识角的初步认识”问：问：“角是由哪几部分组成的？角是由哪几部分组成的？”答：答：“角是由两个长方形组成的。角是

26、由两个长方形组成的。”问：问：“边是什么样子的？边是什么样子的？”答：答：“长方形的。长方形的。”缺失：缺失：引导学生经历和体验抽象的数学思考的过程。引导学生经历和体验抽象的数学思考的过程。教学中，要让学生经历把所感知的事物的共同本质特点抽象出来教学中，要让学生经历把所感知的事物的共同本质特点抽象出来的数学思考活动。的数学思考活动。通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：借助数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之借助

27、数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之 为为“以数解形以数解形”；借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之“以以 形助数形助数”。数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。化，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。“数缺形时少直观，形少数时难入微。数缺形时少直观，形少数时难入微。”华罗庚华罗庚（2）数形结合思想）数形结合思想（3）转化（化归）思想：）转化（化

28、归）思想：面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决，将需要解决面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决，将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使问题得到解决的思想方法。最终使问题得到解决的思想方法。转化（化归）思想应用非常广泛。转化（化归）思想应用非常广泛。把生活中的问题转化为数学问题；把陌生问题转化为熟悉的问题；把生活中的问题转化为数学问题；把陌生问题转化为熟悉的问题；把复杂问题转化为简单问题；把复杂问题转化为简单问题；把抽象问题转化为具体问题；把抽象问题转化为具体问题；把未知转化

29、为已知把未知转化为已知转化（化归）既是一般化的数学思想方法，也是攻克各种复杂问题的转化（化归）既是一般化的数学思想方法，也是攻克各种复杂问题的法宝之一。法宝之一。转化（化归）思想方法具有普遍的意义、重要作用。转化（化归）思想方法具有普遍的意义、重要作用。“我我只只会会做做两两件件事事，一一件件是是简简单单的的事事，一一件件是是把把复复杂杂的的事情变简单事情变简单”。笛卡尔笛卡尔 把把复复杂杂问问题题不不断断地地拆拆、不不断断地地化化，直直到到化化成成一一些些直直观无疑的小问题，这就是化归的思想。观无疑的小问题，这就是化归的思想。“从一种形式到另一种形式的转变，是数学科学最有从一种形式到另一种形

30、式的转变，是数学科学最有力的杠杆之一力的杠杆之一”。恩格斯恩格斯（4）模型思想）模型思想 数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。数量关系和空间形式的一种数学结构。通过抽象、概括和一般化，把研究的对象或问题转化为本质（关系或通过抽象、概括和一般化，把研究的对象或问题转化为本质（关系或结构）同一的另一对象或问题加以解决的思维方法。结构）同一的另一对象或问题加以解决的思维方法。模型思想是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式，更加模型思想是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式

31、，更加重视如何经过分析抽象建立模型，更加重视如何应用数学解决生活和重视如何经过分析抽象建立模型，更加重视如何应用数学解决生活和科学研究中的各种问题。科学研究中的各种问题。数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用，模型思数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用，模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位；想在数学思想方法中有非常重要的地位；数学的模型思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。数学的模型思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。用各种数学知识建立数学模型来解决问题。用各种数学知识建立数学模型来解决问题。标准（标准（20112011）：）：模型思想的建立是帮助学

32、生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。（5）推理思想）推理思想推理是

33、从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。推理是人们认识客观规律的必要手段。推理是人们认识客观规律的必要手段。数学的学习过程，证明、推导、分析、探索、讨论等，数学的学习过程，证明、推导、分析、探索、讨论等，主要运用推理的思想方法。主要运用推理的思想方法。在解决问题过程中，合情推理有助于探索解决问题在解决问题过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。推理是数学的基本思维方

34、式，也是人们在学习和生活中经常使用的思推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。维方式。人们的思维活动，主要是推理。要懂得思考，就要懂得人们的思维活动，主要是推理。要懂得思考，就要懂得推理；要能正确思考，就要能正确推理；要善于思考，就推理；要能正确思考，就要能正确推理；要善于思考，就要善于推理。要善于推理。培养学生的推理能力是数学教育的主要任务之一。培养学生的推理能力是数学教育的主要任务之一。在数学学习中学会思考、学会推理，终生受益！在数学学习中学会思考、学会推理，终生受益！三、帮助学生获得数学基本思想的基本策略三、帮助学生获得数学基本思想的基本策略 发展学生的逻辑思

35、维、形象思维、直觉思维，需落实在发展学生的逻辑思维、形象思维、直觉思维，需落实在使学生初步学会观察、比较、分析、综合、联想、想象、类使学生初步学会观察、比较、分析、综合、联想、想象、类比、猜想、实验、抽象、概括、归纳等思维方法和判断、推比、猜想、实验、抽象、概括、归纳等思维方法和判断、推理等思维形式，同时形成敏捷、灵活等良好的思维品质。理等思维形式，同时形成敏捷、灵活等良好的思维品质。思想上要有明确的认识思想上要有明确的认识要有数学思想的理论知识要有数学思想的理论知识采取有效措施采取有效措施1.确立确立“数学思想数学思想”的目标意识，提高数学素养的目标意识，提高数学素养正确处理好几个关系正确处

36、理好几个关系（1）阶段性与连续性的关系）阶段性与连续性的关系小学生思维能力的培养，可分为低、中、高三个阶段。小学生思维能力的培养，可分为低、中、高三个阶段。低：以具体事物的形象或表象为材料进行思维的阶段。低：以具体事物的形象或表象为材料进行思维的阶段。中：以表象或概念进行思维的阶段。中：以表象或概念进行思维的阶段。高：抽象思维发展比较快的阶段。高：抽象思维发展比较快的阶段。是一般形象思维的初级形态，又是抽象逻辑思维是一般形象思维的初级形态，又是抽象逻辑思维的直接基础。的直接基础。低、中、高三个阶段相对独立。前一年段孕育着低、中、高三个阶段相对独立。前一年段孕育着后一年段的一些特点，后一年段又遗

37、留着前一年段的后一年段的一些特点，后一年段又遗留着前一年段的某些特点。它们是相互联系、相互渗透，逐步过渡的。某些特点。它们是相互联系、相互渗透，逐步过渡的。处理好阶段性与连续性的关系，循序渐进，及时过渡，处理好阶段性与连续性的关系，循序渐进，及时过渡，防止教学上不适当的防止教学上不适当的“超前超前”或或“滞后滞后”想象，促使小学生想象，促使小学生思维能力持续而又正常地发展。思维能力持续而又正常地发展。（2）整体性和个别性的关系）整体性和个别性的关系 思维能力是一个整体结构。在数学教学过程中，各种思维能力是一个整体结构。在数学教学过程中，各种思维方法与形式只有相对的独立性，在思维过程中是密思维方

38、法与形式只有相对的独立性，在思维过程中是密切联系、相互补充、交错作用的。切联系、相互补充、交错作用的。例如，加法交换律的教学：例如，加法交换律的教学：例例1 1 李叔叔今天一共骑了多少千米？李叔叔今天一共骑了多少千米？40+56=96 40+56=96（千米）（千米）56+40=96 56+40=96（千米）（千米）上面两个算式的结果相同，所以上面两个算式的结果相同，所以 40+56=56+40 40+56=56+40 再举几例：再举几例：69+25=25+69 88+12=12+88 69+25=25+69 88+12=12+88 发现：两个加数交换位置，和不变。发现：两个加数交换位置，和不

39、变。应用概念和法则计算出结果，然后应用概念和法则计算出结果，然后观察比较。观察比较。分析、综合后得出。分析、综合后得出。再观察比较、分析综合。再观察比较、分析综合。判断并归纳、推理、抽象、概括出判断并归纳、推理、抽象、概括出加法交换律。加法交换律。（3）一般性和特殊性的关系）一般性和特殊性的关系 各年级段学生思维过程中的一般的、典型的、本质的特各年级段学生思维过程中的一般的、典型的、本质的特征代表了该年级学生思维发展的一般趋势。同一年龄（或同征代表了该年级学生思维发展的一般趋势。同一年龄（或同一年级）的学生由于心理成熟的早晚，经验积累的多少，尤一年级）的学生由于心理成熟的早晚，经验积累的多少，

40、尤其是学校、家庭以及社会教育的影响，他们的思维特征表现其是学校、家庭以及社会教育的影响，他们的思维特征表现出一定的差异性和特殊性。出一定的差异性和特殊性。学生的思维存在差异，需要关注和处理好个体与群体的学生的思维存在差异，需要关注和处理好个体与群体的关系。关系。正确处理好一般性和特殊性的关系，不能以特殊性否定正确处理好一般性和特殊性的关系，不能以特殊性否定一般性，也不能以一般性来抹杀或限制特殊性。注意因材施一般性，也不能以一般性来抹杀或限制特殊性。注意因材施教，使每个学生的思维能力都得到充分发展。教，使每个学生的思维能力都得到充分发展。2、深入研究，挖掘数学思想课程资源、深入研究，挖掘数学思想

41、课程资源数学思想蕴藏在数学知识之中！数学思想蕴藏在数学知识之中！小学数学教科书中蕴含着丰富的数学思想。小学数学教科书中蕴含着丰富的数学思想。数学课程内容的各部分、各个方面，无论是概念教学，数学课程内容的各部分、各个方面，无论是概念教学，还是计算教学；无论是图形的认识、测量，图形的运动，还是计算教学；无论是图形的认识、测量，图形的运动，还是方程、函数；无论是数据统计，还是随机现象发生的还是方程、函数；无论是数据统计，还是随机现象发生的可能性，以及可能性，以及“综合与实践综合与实践”活动中，都蕴含数学思想方活动中，都蕴含数学思想方法。法。数学知识、技能的教学承载着数学思想目标的实现。数学知识、技能

42、的教学承载着数学思想目标的实现。深入研读教科书，挖掘出其中的数学思想。深入研读教科书，挖掘出其中的数学思想。要从数学知识和数学思想两方面来分析研究教学内容。要从数学知识和数学思想两方面来分析研究教学内容。同样的教科书，由于对数学思想、智力因素挖掘的程度不同样的教科书，由于对数学思想、智力因素挖掘的程度不同，学生的学习效果、思维发展就不一样。同，学生的学习效果、思维发展就不一样。在整理后，让学生去在整理后，让学生去观察、发现规律，交流自观察、发现规律，交流自己的发现。己的发现。学生通过整理，厘清了学生通过整理，厘清了所学的所学的3636道进位加法算式，了道进位加法算式，了解算式间的关系，加深对函

43、数解算式间的关系，加深对函数思想的感受，既提高了对所学思想的感受，既提高了对所学计算的掌握水平，又发展了思计算的掌握水平，又发展了思维能力。维能力。一年级上册中一年级上册中“比多少比多少”中认识中认识“多多”“”“少少”“”“同样多同样多”，让学生初步学习直接比较的方法，开始接触两个量的相，让学生初步学习直接比较的方法，开始接触两个量的相依关系和一一对应的数学思想、数学方法。依关系和一一对应的数学思想、数学方法。二年级下册学习二年级下册学习“有余数除法有余数除法”，通过比较看到有正好，通过比较看到有正好分完与分下来还有多余两种情况，从而认识有余数的除法；分完与分下来还有多余两种情况，从而认识有

44、余数的除法；再通过观察比较，发现再通过观察比较，发现“余数都比除数小余数都比除数小”的规律。的规律。四年级下册教学四年级下册教学“加法交换律加法交换律”“”“加法结合律加法结合律”“”“乘法乘法交换律交换律”“”“乘法结合律乘法结合律”“”“乘法分配律乘法分配律”，都离不开让学生，都离不开让学生对算式观察比较。对算式观察比较。（1）“比较比较”思维方法思维方法比较比较 是确定有关事物的共同点和不同点的思维方法。是确定有关事物的共同点和不同点的思维方法。分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具

45、有逻辑性的问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。方法。数学中的分析法：在证明和解决问题时，从结论出发，一数学中的分析法：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因执果索因”的分析方法。的分析方法。数学中的综合法：在证明和解决问题时，从已知条件和某数学中的综合法：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种论或解决问题，是一种“由因导果由因导果”的分析方

46、法。的分析方法。分析法和综合法，在小学数学的各个方面都有重要的应用。分析法和综合法，在小学数学的各个方面都有重要的应用。无论是低年级的数和计算、图形的认识，还是中高年级的方程无论是低年级的数和计算、图形的认识，还是中高年级的方程和比例、统计与概率，分析法和综合法都有较多应用。和比例、统计与概率，分析法和综合法都有较多应用。例如，数的计算法则、四则混合运算的教学例如，数的计算法则、四则混合运算的教学（2）“分析分析”与与“综合综合”思维思维方法方法 教学中，数的认识与计算，图形的认识与周长、面积、教学中，数的认识与计算，图形的认识与周长、面积、体积的计算，建立基本的数量关系，解决问题体积的计算，

47、建立基本的数量关系，解决问题处处需要处处需要在教与学的过程中进行抽象概括得出结论或获得问题解决。在教与学的过程中进行抽象概括得出结论或获得问题解决。（3）“抽象、概括抽象、概括”思维方法思维方法 抽象抽象 是把研究的事物从某种角度看待的本质属性抽象出来进行考是把研究的事物从某种角度看待的本质属性抽象出来进行考察的思维方法。察的思维方法。概括概括 是把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思是把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法。维方法。联想联想 是以观察为基础，对研究的对象或问题的特点，联系已有的知是以观察为基础，对研究的对象或问题的特点，联系已有的知识和经验进行想

48、象的思维方法。识和经验进行想象的思维方法。小学数学教学中，常由旧知识探讨新知识，由知识间的相小学数学教学中，常由旧知识探讨新知识，由知识间的相似处引起联想，或由知识间的对比关系引出联想。似处引起联想，或由知识间的对比关系引出联想。教学乘法交换律时，联想到加法交换律；教学乘法交换律时，联想到加法交换律；教学圆柱体体积计算方法时，联想探讨圆面积计算公式教学圆柱体体积计算方法时，联想探讨圆面积计算公式的方法，由此用类似的方法把圆柱体转化成长方体（近的方法，由此用类似的方法把圆柱体转化成长方体（近似的）推导出圆柱体体积公式；似的）推导出圆柱体体积公式；引导、启发学生主动联想已学过的知识和方法，去解决新

49、引导、启发学生主动联想已学过的知识和方法，去解决新问题，获取新知识。使学生获取数学知识的过程同时成为运用问题，获取新知识。使学生获取数学知识的过程同时成为运用联想、发展联想思维能力的过程。联想、发展联想思维能力的过程。（4）“联想联想”思维方法思维方法例如：例如：想象想象 是人脑对已有表象进行加工改造，产生新形象的思维过程。是人脑对已有表象进行加工改造，产生新形象的思维过程。数学想象是数学表象和数学直感在人脑中的有机联结和组合，从而数学想象是数学表象和数学直感在人脑中的有机联结和组合，从而产生新的表象。产生新的表象。众多进行早期教育研究的专家、学者认为，如果一个众多进行早期教育研究的专家、学者

50、认为，如果一个人在儿时想象力得不到发展，就会葬送一生可能有的各种人在儿时想象力得不到发展，就会葬送一生可能有的各种成才机会，想象力对儿童来说，比拥有万贯家财更重要。成才机会，想象力对儿童来说，比拥有万贯家财更重要。小学数学中的想象，按内容可分为图形想象和图式想小学数学中的想象，按内容可分为图形想象和图式想象。按想象思维的深度可分为再造性想象和创造性想象。象。按想象思维的深度可分为再造性想象和创造性想象。小学数学教科书中蕴含丰富的培养学生想象力的素材。小学数学教科书中蕴含丰富的培养学生想象力的素材。例如，对简便运算中的分解、组合、凑整，探讨面积例如，对简便运算中的分解、组合、凑整，探讨面积计算中