三角形内角和定理的证明公开课(教育精品).ppt

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1、 在在一一个个直直角角三三角角形形里里住住着着三三个个内内角角，平平时时，它它们们三三兄兄弟弟非非常常团团结结。可可是是有有一一天天，老老二二突突然然不不高高兴兴，发发起起脾脾气气来来，它它指指着着老老大大说说：“你你凭凭什什么么度度数数最最大大，我我也也要要和和你你一一样样大大！”“”“不不行行啊啊！”老老大大说说：“这这是是不不可可能能的的，否否 则则，我我 们们 这这 个个 家家 就就 再再 也也 围围 不不 起起 来来 了了”“”“为什么？为什么？”老二很纳闷。老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争内角三兄弟之争大哥大哥二哥二哥三弟三弟

2、三角形的内角和等于三角形的内角和等于1801800 0运城市实验中学数学组运城市实验中学数学组w证明命题的一般步骤:文字语言文字语言图形语言图形语言 符号语言符号语言写出证明的全过程写出证明的全过程回顾与思考（1 1）根据题意，）根据题意，；（2 2）根据题设、结论、结合图形，）根据题设、结论、结合图形，写出写出 ；（3 3）经过分析，写出）经过分析，写出 。画出图形画出图形已知、求证已知、求证推理证明过程推理证明过程已知：如图，已知：如图，ABC。求证：求证：A+B+C=180。ABC分析：分析：等于等于180的角有的角有,再有，平行状态下的。再有，平行状态下的。平角平角同旁内角互补同旁内角

3、互补求证：三角形三个内角的和等于求证：三角形三个内角的和等于180。探究新知ACBBACBACBAC先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图折线与对边平行（图1 1），然后把另处两角相向对折，使），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2 2）、（图）、（图3 3），最后），最后得到（图得到（图4 4）所示的结果。）所示的结果。图图图图图图图图动手折一折折折动手撕一撕 A B剪剪 C B利利用用平平角角定定义义思思路路：ABCABC 如果不实际移动角如果不实际移动角通过什么

4、方法来改变通过什么方法来改变角的位置呢？角的位置呢？A B我们拼折角的目的是什么我们拼折角的目的是什么？改变角的位置改变角的位置添加辅助线添加辅助线想一想ABCABC求证：三角形三个内角的和等于求证：三角形三个内角的和等于180已知：如图，已知：如图，ABC。求证：求证：A+B+C=180。证明：证明：A=1(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)延长延长BC至至D，过点，过点C作作CEBA。1+2+ACB=180(平角的定义平角的定义)A+B+ACB=180(等量代换等量代换)ABC B=2(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)DE12思路一：利用平角的定义思路一：利用平角

5、的定义辅助线辅助线 虚线虚线 证法 所作的所作的辅助线辅助线是证明的是证明的一个重要组成部分一个重要组成部分,要在证要在证明时首先叙述出来明时首先叙述出来.利用平角的定义，还可以怎样添加辅助线？利用平角的定义，还可以怎样添加辅助线？ABCPQ12探究新知ABCRPQ已知：如图，已知：如图，ABC。求证：求证：A+B+C=180。证明：证明：C=1(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)过点过点A作作PQBC。1+2+CAB=180(平角的定义平角的定义)A+B+CAB=180(等量代换等量代换)ABC B=2(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)PQ21证法求证：三角形三个内

6、角的和等于求证：三角形三个内角的和等于180。ABCPQR证明：过点证明：过点P P作作PQ PQ AC AC交交ABAB于于Q Q点，点，作作PR PR AB AB交交ACAC于于R R点。点。证法1（4（2（1（3 1=B 2=C 3=4 A=4 3=A 1+2+3=180 A+B+C=180（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）（等量代换）（等量代换）（等量代换）（等量代换）(平角的定义平角的定义)小明在剪纸的过程中拼出

7、了这样一幅图形，根小明在剪纸的过程中拼出了这样一幅图形，根据他的思路能证明三角形的内角和是据他的思路能证明三角形的内角和是180180吗？吗？思路：思路：利用平行线下的同旁内角互补利用平行线下的同旁内角互补探究新知ABC证明：过证明：过A A作作AEBCAEBC，EC=CAEC=CAE(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)EAC+BAC+B=180 EAC+BAC+B=180(两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补)B+C+BAC=180B+C+BAC=180(等量代换等量代换)已知：如图，已知：如图，ABC。求证：求证：A+B+C=180。证法4求证：三角形三个内角的和等于求

8、证：三角形三个内角的和等于180三角形内角和定理三角形内角和定理w文字语言：三角形三个内角的和等于1800.w符号语言：ABC中,A+B+C=1800.w这里的结论这里的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.ABC新知归纳图形语言：图形语言：在证明这个定理时，我们添加了在证明这个定理时，我们添加了在证明这个定理时，我们添加了在证明这个定理时，我们添加了辅助辅助辅助辅助线线线线，辅助线是沟通已知与未知的桥梁。，辅助线是沟通已知与未知的桥梁。，辅助线是沟通已知与未知的桥梁。，辅助线是沟通已知与未知的桥梁。当然，并不是所有的证明都需要添当然，并不是所有的证明都需要添加加辅助线辅助线，只有在，只有在

9、需要需要时才添。为了证明某时才添。为了证明某一结论，需要引用某个定义，公理，定理，一结论，需要引用某个定义，公理，定理，但原图形又不具备直接使用它们的条件，这但原图形又不具备直接使用它们的条件，这时就需要添加辅助线，为证明创造条件，以时就需要添加辅助线，为证明创造条件，以达到证明的目的。达到证明的目的。在ABC中，若A+B=2C，则C=。600EXIT（2分）分）已知三角形三个内角的已知三角形三个内角的度数之比为度数之比为1:3:4，求这，求这三个内角的度数。三个内角的度数。（3分）分）直角三角形的两锐角和是多少度？请直角三角形的两锐角和是多少度？请证明你的结论。证明你的结论。ABC已知：已知

10、：求证：求证：证明：证明：A+B+C=180(）且且C=90(已知已知)(等量代换等量代换)A+B=90(等式性质等式性质)直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余EXIT（4分）分）如图，如图，RtRtABCABC中，中，C=90C=90A+B=90A+B=90 。三角形三个内角和等于三角形三个内角和等于180180A+B+90=180A+B+90=180正三角形的一个内角是多少度？证正三角形的一个内角是多少度？证明你的结论。明你的结论。ABC已知已知：求证：求证：证明：证明：A+B+C=180(）ABC是正三角形是正三角形(已知已知)(正三角形性质正三角形性质)(等式性质等式性质)正三角形

11、的三个内角都相等，正三角形的三个内角都相等，并且都等于并且都等于60EXIT（5分）分）A=B=C三角形三个内角和等于三角形三个内角和等于180180A=B=C=60 如图，正如图，正ABCABC。A=B=C=60A=B=C=60 。如图，已知如图，已知ABCABC中，中，B B 和和C C的平分线的平分线BEBE，CFCF交点交点O.O.求证：求证：BOC=90BOC=90+ABCEFO（6分）分）只有一条路不能选择只有一条路不能选择 那就是放弃的路；那就是放弃的路；只有一条路不能拒绝只有一条路不能拒绝 那就是成长的路。那就是成长的路。再努力！还有更大的惊喜哦！再努力！还有更大的惊喜哦！小周

12、末放一部电影奖励一支奖励一支红笔红笔！今天晚自习前边听今天晚自习前边听歌边完成歌边完成作业作业运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角，个内角集中在一起，拼成一个平角，辅助线辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁。是联系命题的条件和结论的桥梁。本节课你有什么收获？本节课你有什么收获？我们证明了三角形内角和定理。我们证明了三角形内角和定理。证明的思路是：证明的思路是：利用平角的定义或平行利用平角的定义或平行线下的同旁内角互补线下的同旁内角互补证明的基本思想是：证明的基本思想是：不经历风雨，怎么见彩虹不经历风雨，怎么见彩虹没有人能随随便

13、便成功没有人能随随便便成功!已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，A=75，B=50，将，将C折起，点折起，点C落在落在ABC内部，已知内部，已知1=20，求，求2的大小。的大小。12ABCDE拓展提高 如图，已知如图，已知AMN+MNF+NFC=360，求证：求证：AB CD（用两种方法证明）（用两种方法证明）DFNMBAC拓展提高 EBC+FCB=180 EBC+FCB=180 即即1+ABC+ACB+4=180 1+ABC+ACB+4=180 又又 BAC=2+3BAC=2+3 BAC+ABC+ACB=180 BAC+ABC+ACB=180 证明：证明：过过A A点作射线点作射线AD

14、AD，过点作，过点作BE ADBE AD，过，过C C点点CFADCFAD（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）则则BE CFBE CF 1=2 1=2，3=43=4证法5（平行与同一条直线的两直线平行）（平行与同一条直线的两直线平行）（两直线平行，同旁内角互补）（两直线平行，同旁内角互补）（等量代换）（等量代换）ABCEDF（1（2（43（NBCTSPQRMANBCTSPQRMA证法61、已知：如图，在、已知：如图，在RtABC中，中，ACB=90，CDAB，垂足为，垂足为D。求证：。求证：A=DCB。巩固练习巩固练习2、四边形的内角和是多少度？证明你的结论。、四边形的内角和是多少度？证明你的结论。ABCD已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD。求证：求证：A+B+C+D=360。证明：证明：BAC+B+ACB=180(三角形三个内角和等于三角形三个内角和等于180)连接连接AC且且DAC+D+ACD=180(三角形三个内角和等于三角形三个内角和等于180)DAB+B+BCD+D=360(等式性质等式性质)四边形的内角和等于四边形的内角和等于360巩固练习巩固练习3、已知：如图，、已知：如图，ABCD。求证：。求证：CAB=CED+CDE。巩固练习巩固练习