数学分析第四章函数的连续性.ppt

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1、第第 四四 章章函数的连续性函数的连续性4/23/202311 函数连续的概念函数连续的概念y=(x)Ag(x0)Ag(x0)引例4/23/20232一、函数的连续性1.连续的定义连续的定义和极限存在的区别和极限存在的区别4/23/20233函数的连续的等价定义2.函数的增量函数的增量y=(x)4/23/202344/23/20235例例1 1证证由定义由定义1知知4/23/202363.单侧连续单侧连续定理定理4/23/20237左、右极限存在且与函数值相等左、右极限存在且与函数值相等.4/23/20238例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,4/23/202394.函数的区间连续

2、函数的区间连续在区间在区间(a,b)上每一点都连续的函数上每一点都连续的函数,叫做区间叫做区间(a,b)上的上的连续函数连续函数,或者说函数在区间或者说函数在区间(a,b)上上连续连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,记为：记为：4/23/202310例例3 3证证4/23/202311oyxoyxoyx二、函数的间断点oyx4/23/202312二、函数的间断点连续连续间断4/23/202313例例4 4解解这种情况称这种情况称x=0为震荡间断点为震荡间断点.4/23/202314 例例5 符号函数符号函数1-1xyo4/23/2023

3、15例例6 6解解4/23/202316可去间断点可去间断点注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.4/23/2023174/23/202318解解例例8 84/23/2023194/23/202320例例9 9解解4/23/202321间断点分类：间断点分类：第第类间断点：类间断点：都存在都存在第第类间断点：类间断点：不全存在不全存在4/23/202322可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx4/23/202323例例

4、1010解解4/23/202324三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:跳跃型跳跃型,可去型可去型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点4/23/202325思考题思考题4/23/202326思考题解答思考题解答且且4/23/202327但反之不成立但反之不成立.例例但但4/23/202328练练 习习 题题4/23/2023294/23/202330练习题答案练习题答案4/23/2023314/23/202332三、三

5、、一致连续性一致连续性 f(x)在某个区间在某个区间 I（或开，或闭）连续，指得（或开，或闭）连续，指得是是f(x)在在 I 中每一点都连续，即中每一点都连续，即这就是函数在区间上的一致连续性问题。这就是函数在区间上的一致连续性问题。4/23/202333定义（一致连续）定义（一致连续）设设 f(x)为定义在区间为定义在区间I上上 的函数，的函数，若若 则称则称f在在I上一致连续。上一致连续。f在在I上一致连续上一致连续 f在在I上连续。上连续。反之不然。反之不然。一致连续是整体概念。一致连续是整体概念。4/23/202334连续：连续：一致连续：一致连续：4/23/202335一般说来对一般

6、说来对I I上无穷多个点，存在无穷多个上无穷多个点，存在无穷多个d,d,这无穷多个这无穷多个d d 的下确界的下确界可能为零，也可能大于零。可能为零，也可能大于零。如果这无穷多个如果这无穷多个d d 的下确界为零，则的下确界为零，则不不存在适合存在适合I I上上所有点的公共的所有点的公共的大于大于0的的d d，这种情况这种情况 f(x)在在I I 上一致连续。上一致连续。如果这无穷多个如果这无穷多个d d 的下确界大于零，的下确界大于零，则则必必存在对存在对I I上每一点都适用的公共的上每一点都适用的公共的d d，这种情况这种情况 f(x)在在I I上不一致连续，上不一致连续，4/23/202

7、336不一致连续：不一致连续：定理（定理（Contor定理，一致连续性定理）定理，一致连续性定理）若若 f 在在 a,b 连续，则连续，则 f 在在 a,b 一致连续。一致连续。一致连续：一致连续：4/23/202337例例1 1证证4/23/202338例例2 2证证（1）4/23/2023394/23/202340第二节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结4/23/202341一、连续函数的和、积及商的连续性定理定理1 1例如例如,4/23/202342二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调

8、的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.4/23/202343定理定理3 3意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;4/23/202344例例1 1解解定理定理3 3定理定理34/23/202345例例2 2解解24/23/202346定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,4/23/202347三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.定理定理5 5 基本初

9、等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.只要证明 连续即可4/23/202348(可以证明，幂函数均在其定义域内连续可以证明，幂函数均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.4/23/202349例例3 3例例4 4解解解解 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法4/23/202351例例1 1解解4/23/202352例例2 24/23/202353四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合

10、函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.4/23/202354练练 习习 题题4/23/2023554/23/2023564/23/202357练习题答案练习题答案4/23/202358第三节第三节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一、最值定理二、介值定理三、小结4/23/202359一、最值定理定义定义:最大、最小值定义4/23/202360定定理理1(1(最最值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数一定有最大值和最小值数一定有最大值和最小值.注意：注意：1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不

11、一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.4/23/202361注意：注意：1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.4/23/202362定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一定在该区间上有界一定在该区间上有界.4/23/202363定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一定在该区间上有界一定在该区间上有界.证证则则f(x)在在a,b上有最大值上有最大值M，最小值，最小值m

12、.4/23/202364二、零点定理、介值定理定义定义:定理定理3 3（零点定理）（零点定理）4/23/202365几何解释几何解释:BCAab4/23/202366BCAab证证由零点定理由零点定理,用零点定理证用零点定理证4/23/202367推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.x1x24/23/202368例例1 1证证由零点定理由零点定理,代数应用代数应用:零点存在定理给了大家一个判定方程在某个区间上是否有根的方法.4/23/202369例例2 2证证由零点定理由零点定理,4/23/202370

13、三、小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;4/23/202371思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？4/23/202372思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数4/23/202373练练 习习 题题4/23/2023744/23/202375补充补充 极限计算：极限计算：解解例例14/23/202376例例2解解计算计算4/23/202377解解故原式故原式=0。4/23/202378解例例3有界量有界量无穷小无穷小4/23/202379例例4 4解解利用有理分式的极限性质利用有理分式的极限性质4/23/202380