数学课件：平面向量的数量积.ppt

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1、平面向量的数量积平面向量的数量积一、引入：一、引入：一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的作用下产生的位移的位移s，那么力，那么力F 所做的功所做的功应当怎样计算？应当怎样计算？SF力做的功：W=|F|s|cos，是F与s的夹角向量的数量积1两个非零向量夹角的概念说明：（1）当0时，a与同向；（2）当时，a与反向；（3）当/2时，a与垂直，记a；（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点的.范围0180baOabO已知非零向量a与，作 a，则（0）叫a与的夹角.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫a与的数量积，记作a b，即有

2、 a b=|a|b|cos，（）.规定0与任何向量的数量积为0。探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中，若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？（4）由ab=b c 能否推出a=c？(5)在实数中，有(a b)c=a(b c)，但是(a b)c a(b c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。3“投影”的概念：定

3、义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|。4向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。1 ea=ae=|a|cos2 ab ab=03 当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=|a|b|。特例：特例：aa=|a|2或4 cos=5|ab|a|b|例例1 判断正误，并简要说明理由.a00；0a0；0 ；aa；若a0，则对任一非零有a0；a0，则a与中至少有一个为0；对任意向量a，都有（a）a(）；a与是两个单位向量，则a.例例2 已知a3，6，当a，a，a与的夹角是60时，分别求a.例例3 判断下列命题的真假：在ABC中，若 ，则ABC是锐角三角形；在ABC中，若 ,则ABC是钝角三角形；ABC为直角三角形的充要条件是例例3 判断下列命题的真假：在ABC中，若 ，则ABC是锐角三角形；在ABC中，若 ,则ABC是钝角三角形；ABC为直角三角形的充要条件是例例4 试证明：若四边形ABCD满足 则四边形ABCD为矩形.五、作业五、作业：习题5.6 16.优化设计P81 强化训练 18.例例5 设正三角形ABC的边长为