【课件】离散型随机变量的方差课件高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptx

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1、 7.3.2 离散型随机变量的方差1 1理解取有限个值的离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义理解取有限个值的离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义2 2能计算简单的离散型随机变量的方差和标准差，并能解决实际问题能计算简单的离散型随机变量的方差和标准差，并能解决实际问题 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的均水平或分布的“集中趋势集中趋势”.”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以

2、我们还需要寻找反映随机变量所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征取值波动大小的数字特征.思考：思考：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数 X，Y 分布列如下：分布列如下：如何评价这两名同学的射击水平？如何评价这两名同学的射击水平？X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 通过计算可得，通过计算可得，.因为两个均值相等，所以根据

3、均值不能区分这两名同学的射击水平因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度击中环数的离散程度.下图分别是下图分别是 X 和和 Y 的概率分布图，比较两个图形，的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于可以发现乙同学的射击成绩更集中于8 8环，即乙同学的射击成绩更稳定环，即乙同学的射击成绩更稳定.思考：思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？设离散型随机变量设离散型随机变量

4、X 的概率分布为：的概率分布为：Xx1x2xixnPp1p2pipn我们称我们称为随机变量为随机变量 X 的的方差方差，有时也记为，有时也记为 ，并称，并称 为随机变量为随机变量 X 的的标准差标准差，记为，记为 .随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量的离散程度度，反映了随机变量的离散程度.它们的值越小，则随机变量它们的值越小，则随机变量的取值的取值越集越集中；它们的值越大，随机变量的取值越分散中；它们的值越大，随机变量的取值越分散.现在，我们可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击

5、现在，我们可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性成绩的稳定性.，因为因为 ，所以随机变，所以随机变 Y 的取值更集中，即乙同学成绩相对稳定的取值更集中，即乙同学成绩相对稳定.在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化.例例1 1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数 X 的方差的方差.解：随机变量解：随机变量 X 的分布列为的分布列为因为因为 ，所以所以求离散型随机变量方差的步骤求离散型随机变量方差的步骤(1)(1)理解随机变量理解随机变量 X 的意义，写出的意义，写出 X 的所有

6、取值；的所有取值；(2)(2)求出求出 X 取每个值的概率；取每个值的概率；(3)(3)写出写出 X 的分布列；的分布列；(4)(4)计算计算E(X)；(5)(5)计算计算D(X)1.1.袋袋中中有有2020个个大大小小相相同同的的球球，其其中中记记上上0 0号号的的有有1010个个，记记上上 n 号号的的有有 n 个个(n1 1，2 2，3 3，4)4)现现从从袋袋中中任任取取一一球球X 表表示示所所取取球球的的标标号号求求 X 的的分分布布列列、均值和方差均值和方差.解：由题意知解：由题意知 X 的的的所有的所有可能取值为可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，4.4.且且 ，故故 X

7、 的分布列为的分布列为X0 01 12 23 34 4P则则离散型随机变量方差的性质离散型随机变量方差的性质 离离散散型型随随机机变变量量 X 加加上上一一个个常常数数，方方差差会会有有怎怎样样的的变变化化？离离散散型型随随机机变变量量 X 乘乘以以一一个个常常数数，方方差差又又有有怎怎样样的的变变化化？它它们们和和期期望望的的性性质质有有什什么么不不同？同？离离散散型型随随机机变变量量 X 加加上上一一个个常常数数 b，其其均均值值也也相相应应加加上上常常数数 b，故故不不改变改变 X 与其均值的离散程度，方差保持不变，即与其均值的离散程度，方差保持不变，即 .而而离散型随机变量离散型随机变

8、量 X 乘以一个常数乘以一个常数 a，其方差变为原来的，其方差变为原来的 倍，即倍，即 .注：注：对公式对公式D(aXb)a2D(X)的理解：的理解：(1)(1)当当a0时，时，D(b)0；(2)(2)当当a1时，时，D(Xb)D(X)；(3)(3)当当b0时，时，D(aX)a2D(X)一般地，可以证明下面的结论成立：一般地，可以证明下面的结论成立：(1)(1)求求 ，；(2)(2)设设 ，求，求 ，.X-1-10 01 1P例例2 2 已知随机变量已知随机变量 X 的分布列如下表：的分布列如下表：解：解：(1)(1)，.(2)(2)，.2.2.已知已知 X 的分布列如表所示，若的分布列如表所

9、示，若 ，且，且 ，求，求 a，b.X1 12 23 3Pm解：解：由由 X 的分布列可得，的分布列可得，所以所以 ，又又 ，解得，解得 .1 1下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A A离散型随机变量离散型随机变量 X 的均值的均值 E(X)反映了反映了 X 取值的概率的平均值取值的概率的平均值B B离散型随机变量离散型随机变量 X 的方差的方差 D(X)反映了反映了 X 取值的平均水平取值的平均水平C C离散型随机变量离散型随机变量 X 的均值的均值 E(X)反映了反映了 X 取值的平均水平取值的平均水平D D离散型随机变量离散型随机变量 X 的方差的方差 D(X)反映了反映了 X 取

10、值的概率的平均值取值的概率的平均值C2 2已知随机变量已知随机变量 X 的分布列如表所示：的分布列如表所示：X135P0.40.1a则则a_，D(X)_0.53.563 3已知随机变量已知随机变量 X 的分布列为的分布列为 .则则 E(X)和和 D(X)分别分别等于等于()A A6 6，6 6B B6 6，9 9C C3 3，6 6D D4 4，9 9A A4.4.甲、乙两人甲、乙两人进进行定点投行定点投篮篮游游戏戏，投，投篮篮者若投中，者若投中，则继续则继续投投篮篮，否，否则则由由对对方投方投篮篮；第一次由甲投；第一次由甲投篮篮，已知每次投，已知每次投篮篮甲、乙命中的概率分甲、乙命中的概率分

11、别为别为，.(1)(1)求第三次由乙投求第三次由乙投篮篮的概率；的概率；(2)(2)在前在前3 3次投篮中，乙投篮的次数为次投篮中，乙投篮的次数为 X，求，求 X 的分布列、均值及方差的分布列、均值及方差解：解：(1)(1)若第三次是乙，则有两种可能：甲甲乙或甲乙乙若第三次是乙，则有两种可能：甲甲乙或甲乙乙则则 .解：解：(2)(2)由题意由题意，得得 X 的所有可能取值为的所有可能取值为0，1，2，故故 X 的分布列为的分布列为 X0 01 12 2P5.5.甲甲、乙乙两两个个野野生生动动物物保保护护区区有有相相同同的的自自然然环环境境，且且候候鸟鸟的的种种类类和和数数量量也也大大致致相相同

12、同，两两个个保保护护区区每每个个季季度度发发现现违违反反保保护护条条例例的的事事件件次次数数的的分分布布列列分分别为别为X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4其其中中 X，Y 分分别别表表示示甲甲、乙乙两两个个保保护护区区内内违违反反保保护护条条例例的的次次数数，试试评评定定这这两个保护区的管理水平两个保护区的管理水平解：甲保护区内违反保护条例的次数解：甲保护区内违反保护条例的次数 X 的均值和方差分别为的均值和方差分别为 ，.乙保护区内违反保护条例的次数乙保护区内违反保护条例的次数 Y 的均值和方差分别为的均值和方差分别为 ，.因为因为 ，所以两个保护区内每个季度发

13、现违反保护，所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些相对而言，乙保护区的管理更好一些6 6编号为编号为1 1，2 2，3 3的三位同学随意入座编号为的三位同学随意入座编号为1 1，2 2，3 3的三个座位，每位同的三个座位，每位同学一个座位，设与座位编号相同的学生的个数为学一个座位，设与座位编号相同的学生的个数为 X，求，求D(X)解：由题解：由题 X 取值为取值为0 0，1 1，2 2，3 3，所以所以 X 的分布列为的分布列为X0 01 12 23 3P0 0