初四数学总复习精品_第十九讲_等腰三角形(教育精品).ppt

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1、 结合近几年中考试题分析，对等腰三角形的内容考查主结合近几年中考试题分析，对等腰三角形的内容考查主要有以下特点：要有以下特点：1.1.命题方式为对等腰三角形的性质、判定及三角形全等、命题方式为对等腰三角形的性质、判定及三角形全等、线段垂直平分线进行综合考查，题型以解答题为主；线段垂直平分线进行综合考查，题型以解答题为主；2.2.命题的热点为等边三角形的性质的综合运用命题的热点为等边三角形的性质的综合运用.1.1.在复习过程中一定要重视基础知识的理解与掌握，明在复习过程中一定要重视基础知识的理解与掌握，明确每个定理的推导过程和应用范围，练习时注意挖掘图形中确每个定理的推导过程和应用范围，练习时注

2、意挖掘图形中特殊的角和相等的边，学会从复杂的图形中分离出基本图形；特殊的角和相等的边，学会从复杂的图形中分离出基本图形；2.2.加强顶角为加强顶角为3030，3636，4545，6060等特殊角的等腰等特殊角的等腰三角形有关知识的训练；三角形有关知识的训练；3.3.重视等腰三角形重视等腰三角形“三线合一三线合一”性质的运用；性质的运用；4.4.在复习过程中，要对等腰三角形中证明线段相等或角在复习过程中，要对等腰三角形中证明线段相等或角相等的常用方法进行总结，归纳出三角形中常见的添加辅助相等的常用方法进行总结，归纳出三角形中常见的添加辅助线的规律线的规律.等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与

3、判定1.1.等腰三角形是一种特殊的三角形，因此它除了具有一般三等腰三角形是一种特殊的三角形，因此它除了具有一般三角形的性质以外还有以下特殊的性质：等腰三角形的两条边角形的性质以外还有以下特殊的性质：等腰三角形的两条边相等；等腰三角形的相等；等腰三角形的“三线合一三线合一”即顶角的角平分线、底边即顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；上的中线、底边上的高相互重合；2.2.等腰三角形的判定是指在同一三角形中相等的边所对的角等腰三角形的判定是指在同一三角形中相等的边所对的角相等相等,简称等边对等角；当三角形一边上的中线和高及顶角的简称等边对等角；当三角形一边上的中线和高及顶角的角平分线相

4、互重合时角平分线相互重合时,此三角形为等腰三角形，此三角形为等腰三角形，“三线合一三线合一”性质的逆用是判定等腰三角形的主要方法，因此在判定时要性质的逆用是判定等腰三角形的主要方法，因此在判定时要注意运用；注意运用；3.3.等腰三角形的有关性质和判定常与全等三角形甚至与一元等腰三角形的有关性质和判定常与全等三角形甚至与一元二次方程的有关知识结合考查二次方程的有关知识结合考查.【例【例1 1】(2011(2011德州中考德州中考)如图如图,AB=AC,AB=AC,CDABCDAB于于D D，BEACBEAC于于E E，BEBE与与CDCD相交于相交于点点O.O.(1)(1)求证求证:AD=AE:

5、AD=AE；(2)(2)连接连接OAOA，BCBC，试判断直线，试判断直线OAOA，BCBC的的关系关系,并说明理由并说明理由.【思路点拨】【思路点拨】【自主解答】【自主解答】(1)(1)在在ACDACD与与ABEABE中，中，A=AA=A，ADC=AEB=90ADC=AEB=90，AC=ABAC=AB，ACDABE.ACDABE.AD=AE.AD=AE.(2)OABC.(2)OABC.在在RtADORtADO与与RtAEORtAEO中，中，OA=OAOA=OA，AD=AEAD=AE，RtAODRtAOERtAODRtAOE，DAO=EAODAO=EAO，即即OAOA是是BACBAC的平分线，

6、的平分线，又又AB=ACAB=AC，OABC.OABC.1.(20101.(2010宁波中考宁波中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=36A=36，BDBD、CECE分别是分别是ABCABC、BCDBCD的角平分线，则图中的角平分线，则图中的等腰三角形有的等腰三角形有()()(A)5(A)5个个 (B)4 (B)4个个(C)3(C)3个个 (D)2 (D)2个个【解析】【解析】选选A.A.因为因为AB=ACAB=AC，A=36A=36，所以，所以ABC=ACB=ABC=ACB=7272，由，由BDBD、CECE分别是分别是ABCABC、BCDBCD的角平分线，可得

7、的角平分线，可得ABD=CBD=BCE=ACE=36ABD=CBD=BCE=ACE=36，所以，所以ABCABC、BCDBCD、ABDABD、BCEBCE、DCEDCE都为等腰三角形都为等腰三角形.2.(20112.(2011济宁中考济宁中考)如果一个等腰三角形的两边长分别是如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm5 cm和和6 cm6 cm，那么此三角形的周长是，那么此三角形的周长是()()(A)15 cm (B)16 cm(A)15 cm (B)16 cm(C)17 cm (D)16 cm(C)17 cm (D)16 cm或或17 cm17 cm【解析解析】选选D.D.若以若以5 cm5

8、cm为腰长，则此三角形的周长为为腰长，则此三角形的周长为5+5+6=16(cm)5+5+6=16(cm)；若以；若以6 cm6 cm为腰长，则此三角形的周长为为腰长，则此三角形的周长为6+6+5=17(cm).6+6+5=17(cm).3.(20113.(2011舟山中考舟山中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC,A=40AB=AC,A=40，则，则ABCABC的外角的外角BCD=_BCD=_度度.【解析】【解析】由由AB=AC,A=40AB=AC,A=40，得，得ACB=ABC=70,ACB=ABC=70,所以所以BCD=180-70=110.BCD=180-70=110.答案

9、：答案：1101104.(20104.(2010东阳中考东阳中考)如图，如图，D D是是ABAB边上的中点，将边上的中点，将ABCABC沿过沿过D D的直线折叠，使点的直线折叠，使点A A落在落在BCBC上上F F处，若处，若B=50B=50，则，则BDF=BDF=_度度.【解析】【解析】根据题意，根据题意，BDFBDF是以是以D D为顶点的等腰三角形，因此为顶点的等腰三角形，因此BDF=180-502=80.BDF=180-502=80.答案：答案：8080等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定等边三角形顾名思义其三边都相等，因为其三边之间有了这等边三角形顾名思义其三边都相等，因为其三

10、边之间有了这种特殊的相等关系，因此它的三个角也相等，根据三角形的种特殊的相等关系，因此它的三个角也相等，根据三角形的内角和可得每个内角都为内角和可得每个内角都为6060；等边三角形是特殊的等腰三角形，因此它不仅具有等腰三角等边三角形是特殊的等腰三角形，因此它不仅具有等腰三角形的一切性质，而且还具有一般等腰三角形不具备的特殊性形的一切性质，而且还具有一般等腰三角形不具备的特殊性质，即等边三角形的三边中线、高以及三个内角平分线的交质，即等边三角形的三边中线、高以及三个内角平分线的交点重合，且此点到等边三角形的三个顶点的距离相等、到三点重合，且此点到等边三角形的三个顶点的距离相等、到三边的距离相等、

11、到顶点的距离是到对边中点的距离的边的距离相等、到顶点的距离是到对边中点的距离的2 2倍；倍；等边三角形的判定多是在等腰三角形的基础上进行的等边三角形的判定多是在等腰三角形的基础上进行的.【例【例2 2】(2011(2011日照中考日照中考)如图，如图，已知点已知点D D为等腰直角为等腰直角ABCABC内一点，内一点，CAD=CBD=15CAD=CBD=15，E E为为ADAD延长线延长线上的一点，且上的一点，且CE=CA.CE=CA.(1)(1)求证：求证：DEDE平分平分BDC;BDC;(2)(2)若点若点M M在在DEDE上，且上，且DC=DM,DC=DM,求证：求证：ME=BD.ME=B

12、D.【思路点拨】【思路点拨】【自主解答】【自主解答】(1)(1)在等腰直角在等腰直角ABCABC中，中，CAD=CBD=15,CAD=CBD=15,BAD=ABD=45-15=30,BAD=ABD=45-15=30,BD=AD,BDCADC,BD=AD,BDCADC,DCB=DCA=45.DCB=DCA=45.BDE=ABD+BAD=30+30=60,BDE=ABD+BAD=30+30=60,EDC=DAC+DCA=15+45=60,EDC=DAC+DCA=15+45=60,BDE=EDC,BDE=EDC,DEDE平分平分BDC.BDC.(2)(2)如图，连接如图，连接MCMC，DC=DM,D

13、C=DM,且且MDC=60,MDC=60,MDCMDC是等边三角形，是等边三角形，即即CM=CD.CM=CD.又又EMC=180-DMC=180-60=120,EMC=180-DMC=180-60=120,ADC=180-MDC=180-60=120,ADC=180-MDC=180-60=120,EMC=ADC.EMC=ADC.又又CE=CA,CE=CA,CEM=DAC=15,CEM=DAC=15,EMCADC,EMCADC,ME=AD=BD.ME=AD=BD.5.(20105.(2010临邑中考临邑中考)如图，如图，ABCABC和和DCEDCE都是边长为都是边长为4 4的等边三角形，的等边三

14、角形，点点B B、C C、E E在同一条直线上，连接在同一条直线上，连接BDBD，则，则BDBD的长为的长为()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析】【解析】选选D.D.过点过点D D作作DFCEDFCE于点于点F F，在，在RtBDFRtBDF中，中，DF=DF=，BF=6BF=6，所以，所以BD=.BD=.6.(20106.(2010茂名中考茂名中考)如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地地ABCABC，已知点，已知点E E、F F分别是边分别是边ABAB、ACAC的中点，量得的中点，量得EFEF5 5米，米，他想把四边形他想把四边形B

15、CFEBCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是长是()()(A)15(A)15米米 (B)20 (B)20米米 (C)25 (C)25米米 (D)30 (D)30米米【解析】【解析】选选C.C.因为点因为点E E、F F分别是边分别是边ABAB、ACAC的中点，所以的中点，所以BCBC2EF2EF，又因为，又因为EFEF5 5米，所以米，所以BCBC1010米，因为三角形米，因为三角形ABCABC是等边是等边三角形，所以三角形，所以BE=CFBE=CF5 5米，所以篱笆的长为米，所以篱笆的长为2525米米.7.(20107.(2010铜仁中考铜仁中考

16、)如图，小红作出了边长为如图，小红作出了边长为1 1的第的第1 1个正个正AA1 1B B1 1C C1 1，算出了正，算出了正AA1 1B B1 1C C1 1的面积，然后分别取的面积，然后分别取AA1 1B B1 1C C1 1三边三边的中点的中点A A2 2，B B2 2，C C2 2，作出了第，作出了第2 2个正个正AA2 2B B2 2C C2 2，算出了正，算出了正AA2 2B B2 2C C2 2的面积，用同样的方法，作出了第的面积，用同样的方法，作出了第3 3个正个正AA3 3B B3 3C C3 3，算，算出了正出了正AA3 3B B3 3C C3 3的面积的面积，由此可得，

17、第，由此可得，第8 8个正个正AA8 8B B8 8C C8 8的面的面积是积是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)【解析】【解析】选选C.C.因为因为AA1 1B B1 1C C1 1的边长为的边长为1 1，所以，所以AA1 1B B1 1C C1 1的面积的面积为为 ，又因为点，又因为点A A2 2，B B2 2，C C2 2分别是分别是AA1 1B B1 1C C1 1各边的中点，所各边的中点，所以以AA2 2B B2 2C C2 2的面积为的面积为 ，同理，同理，AA3 3B B3 3C C3 3的面积为的面积为 ，依此类推，依此类推，AA8 8B B8 8C C8

18、 8的面积为的面积为8.(20098.(2009烟台中考烟台中考)如图，等边如图，等边ABCABC的边长为的边长为3 3，P P为为BCBC上一上一点，且点，且BPBP1 1，D D为为ACAC上一点，若上一点，若APDAPD6060，则，则CDCD的长为的长为 ()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析】【解析】选选B.B.因为因为APDAPD6060，所以，所以PDC=60+PADPDC=60+PAD，又，又因为因为BPABPA60+PAD60+PAD，所以，所以PDC=BPAPDC=BPA，又因为，又因为BBCC，所以，所以ABPPCDABPPCD，所以，所以 ,所以

19、所以线段的垂直平分线的性质的应用线段的垂直平分线的性质的应用线段的垂直平分线上的点具有到线段的两端点的距离相等的线段的垂直平分线上的点具有到线段的两端点的距离相等的性质，其实就是线段的对称轴，因此经常用来证明线段、角性质，其实就是线段的对称轴，因此经常用来证明线段、角相等和作为构造等腰三角形、等腰梯形等几何图案的关键相等和作为构造等腰三角形、等腰梯形等几何图案的关键,并并常用作设计等距离的实际问题的辅助线常用作设计等距离的实际问题的辅助线.【例【例3 3】(2010(2010烟台中考烟台中考)如图，等腰如图，等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=20.A=20.线段线段ABAB的垂

20、直平分线交的垂直平分线交ABAB于于D D，交，交ACAC于于E E，连接，连接BEBE，则则CBECBE等于等于()()(A)80 (B)70 (C)60 (D)50(A)80 (B)70 (C)60 (D)50【思路点拨】【思路点拨】【自主解答】【自主解答】选选C.C.因为因为AB=ACAB=AC，A=20A=20，所以，所以ABC=ABC=(180-A)=80 (180-A)=80，因为，因为DEDE垂直平分垂直平分ABAB，所以，所以ABE=AABE=A=20=20，所以，所以CBE=ABC-ABE=80-20=60.CBE=ABC-ABE=80-20=60.9.(20109.(201

21、0义乌中考义乌中考)如图，直线如图，直线CDCD是线段是线段ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，P P为直线为直线CDCD上的一点，已知线段上的一点，已知线段PA=5PA=5，则线段，则线段PBPB的长度为的长度为()()(A)6 (B)5 (C)4 (D)3(A)6 (B)5 (C)4 (D)3【解析】【解析】选选B.B.因为线段垂直平分线上的点到线段的两个端点因为线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以的距离相等，所以PB=PA=5.PB=PA=5.10.(201110.(2011绍兴中考绍兴中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，分别以点分别以点A A和点和点B B为圆心，

22、大于为圆心，大于 的长的长为半径画弧，两弧相交于点为半径画弧，两弧相交于点M M、N N，作直，作直线线MN,MN,交交BCBC于点于点D D，连结，连结AD.AD.若若ADCADC的周的周长为长为10,AB=710,AB=7，则，则ABCABC的周长为的周长为()()(A)7 (B)14 (C)17 (D)20(A)7 (B)14 (C)17 (D)20【解析】【解析】选选C.C.由中垂线的性质可知由中垂线的性质可知AD=BD,ABCAD=BD,ABC的周长为的周长为:AB+AC+CD+BD=17.:AB+AC+CD+BD=17.11.(201111.(2011盐城中考盐城中考)如图，在如图

23、，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂，垂足为足为D D，E E是是ACAC的中点的中点.若若DE=5DE=5，则，则ABAB的长为的长为_._.【解析】【解析】ADDCADDC，AE=CEAE=CE，AC=10.AC=10.又又AB=ACAB=AC，AB=10.AB=10.答案：答案：101012.(201112.(2011株洲中考株洲中考)如图，如图，ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=36A=36，ACAC的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于E E，D D为垂足，连结为垂足，连结EC.EC.(1)(1)求求ECDECD的度数；的度数；(2)(2)

24、若若CE=5CE=5，求，求BCBC长长.【解析】【解析】(1)(1)方法一：方法一：DEDE垂直平分垂直平分ACAC，CE=AECE=AE，ECD=A=36.ECD=A=36.方法二：方法二：DEDE垂直平分垂直平分ACAC，AD=CDAD=CD，ADE=CDE=90.ADE=CDE=90.又又DE=DEDE=DE，ADECDEADECDE，ECD=A=36.ECD=A=36.(2)(2)方法一：方法一：AB=ACAB=AC，A=36A=36，B=ACB=72.B=ACB=72.由由(1)(1)知知ECD=36,BCE=ACB-ECD=36,ECD=36,BCE=ACB-ECD=36,BEC

25、=72=B,BC=EC=5.BEC=72=B,BC=EC=5.方法二：方法二：AB=ACAB=AC，A=36A=36，B=ACB=72B=ACB=72，BEC=A+ECD=72BEC=A+ECD=72，BEC=BBEC=B，BC=EC=5.BC=EC=5.等腰三角形中分类讨论思想的应用等腰三角形中分类讨论思想的应用对于等腰三角形中的边、角的有关计算与证明，往往运用到对于等腰三角形中的边、角的有关计算与证明，往往运用到数学的分类讨论思想数学的分类讨论思想:涉及到等腰三角形的边时，首先看某边是腰还是底，并且在涉及到等腰三角形的边时，首先看某边是腰还是底，并且在求出了三边的长之后，还要验证是否满足三

26、角形的三边关系；求出了三边的长之后，还要验证是否满足三角形的三边关系；等腰三角形的顶角可以为锐角、直角、钝角，而其底角只能等腰三角形的顶角可以为锐角、直角、钝角，而其底角只能为锐角，在没有指明等腰三角形的顶角还是底角时，应注意为锐角，在没有指明等腰三角形的顶角还是底角时，应注意分类讨论，以免漏解分类讨论，以免漏解.【例】【例】(2010(2010楚雄中考楚雄中考)已知等腰三角形的一个内角为已知等腰三角形的一个内角为7070，则另两个内角的度数是，则另两个内角的度数是()()(A)55(A)55，55 (B)7055 (B)70，4040(C)55(C)55，5555或或7070，40 (D)4

27、0 (D)以上都不对以上都不对【思路点拨】【思路点拨】【自主解答】【自主解答】选选C.C.当当7070的角是顶角时，另两个内角都是的角是顶角时，另两个内角都是(180-70)2=55.(180-70)2=55.当当7070的角是底角时，则另两个角中的角是底角时，则另两个角中的底角是的底角是7070，顶角是，顶角是180-70-70=40.180-70-70=40.因此选因此选C.C.(2010(2010广安中考广安中考)等腰三角形的两边长为等腰三角形的两边长为4 4、9 9，则它的周长，则它的周长是是()()(A)17 (B)17(A)17 (B)17或或22 (C)20 (D)2222 (C

28、)20 (D)22【解析】【解析】选选D.D.当等腰三角形的腰长为当等腰三角形的腰长为4 4，底边长为，底边长为9 9时，因为时，因为4 44 49 9，所以此等腰三角形不存在；所以此等腰三角形的腰，所以此等腰三角形不存在；所以此等腰三角形的腰长为长为9 9，底边长为，底边长为4 4，因此它的周长是，因此它的周长是22.22.1.(20101.(2010东阳中考东阳中考)已知等腰三角形的一个内角为已知等腰三角形的一个内角为4040，则，则这个等腰三角形的顶角为这个等腰三角形的顶角为()()(A)40 (B)100(A)40 (B)100(C)40(C)40或或100 (D)70100 (D)7

29、0或或5050【解析解析】选选C.40C.40若是底角，则顶角为若是底角，则顶角为180-402=180-402=100100；4040为顶角为顶角.2.(20092.(2009云南中考云南中考)如图，等腰如图，等腰ABCABC的周长为的周长为2121，底边，底边BC BC 5 5，ABAB的垂直的垂直平分线平分线DEDE交交ABAB于点于点D D，交，交ACAC于点于点E E，则，则BECBEC的周长为的周长为()()(A)13 (B)14(A)13 (B)14(C)15 (D)16(C)15 (D)16【解析】【解析】选选A.ABCA.ABC的周长等于的周长等于2121，又，又BCBC等于

30、等于5 5，且，且AB=ACAB=AC，AC=8AC=8，DEDE是线段是线段ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，BE=AEBE=AE，BE+EC=AE+EC=AC=8,BECBE+EC=AE+EC=AC=8,BEC的周长的周长=BE+EC+BC=8+5=13.=BE+EC+BC=8+5=13.3.(20103.(2010无锡中考无锡中考)如图，如图，ABCABC中，中，DEDE垂直平分垂直平分ACAC交交ABAB于于E E，A=30A=30，ACB=80ACB=80，则，则BCE=_.BCE=_.【解析】【解析】因为因为DEDE垂直平分垂直平分ACAC交交ABAB于于E E，A=30A=30

31、，所以所以ACE=30ACE=30，又因为，又因为ACB=80ACB=80，所以，所以BCE=50.BCE=50.答案：答案：50504.(20104.(2010宜宾中考宜宾中考)已知：如图，已知：如图，在在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，过点，过点B B作作BDACBDAC，且，且BD=2ACBD=2AC，连接，连接AD.AD.试试判断判断ABDABD的形状，并说明理由的形状，并说明理由.【解析】【解析】ABDABD是等腰三角形是等腰三角形.理由：过点理由：过点A A作作AEBDAEBD，垂足为，垂足为E,E,C=90,BDAC,C=90,BDAC,CBE=90,CBE=90,

32、C=CBE=AEB=90,C=CBE=AEB=90,四边形四边形ACBEACBE是矩形是矩形,BE=AC,BE=AC,BD=2ACBD=2AC，BE=ED,BE=ED,即即AEAE垂直平分垂直平分BD,BD,AB=AD,AB=AD,即即ABDABD是等腰三角形是等腰三角形.5.(20105.(2010衡阳中考衡阳中考)已知：如图，已知：如图，在等边三角形在等边三角形ABCABC的的ACAC边上取中边上取中点点D D，BCBC的延长线上取一点的延长线上取一点E E，使使CE=CD.CE=CD.求证：求证：BD=DE.BD=DE.【证明】【证明】ABCABC是等边三角形，是等边三角形，ABC=ACB=60ABC=ACB=60，DD为为ACAC中点，中点，DBC=30DBC=30，BCD=60,BCD=60,CE=CDCE=CD，E=30E=30，DBC=EDBC=E，BD=DE.BD=DE.