晶体振动与晶体的热学性质.ppt

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1、第三章第三章晶格在振动与晶体的热学性质晶格在振动与晶体的热学性质3.1 3.1 连续媒质中的弹性波连续媒质中的弹性波连续媒质中弹性波的波动方程：连续媒质中弹性波的波动方程：其中其中为拉普拉斯算符，在笛卡儿为拉普拉斯算符，在笛卡儿 直角坐标系中直角坐标系中方程解的形式方程解的形式：为波矢量，方向为波的传播方向；为波矢量，方向为波的传播方向；为波的角频率或圆频率为波的角频率或圆频率.色散关系：色散关系：3.1.1 3.1.1 描写波的几个物理量描写波的几个物理量1.周期和频率周期和频率周期：周期：质点完成一次全振动的时间，用质点完成一次全振动的时间，用T表示表示质点角频率质点角频率把把 称为相位，

2、则周期可表述为同一质点相位变化称为相位，则周期可表述为同一质点相位变化所需要的时间所需要的时间.频率：频率：单位时间内完成全振动的次数，等于周期的倒数，用单位时间内完成全振动的次数，等于周期的倒数，用v表示表示所以：所以：角频率的意义就是角频率的意义就是 秒内完成全振动的次数秒内完成全振动的次数.2.波矢和波长波矢和波长等相面等相面（波阵面）（波阵面）：位相相同的点组成的面，它与波矢垂直位相相同的点组成的面，它与波矢垂直.波矢：波矢：q波的传播方向波的传播方向平面波：平面波：等相面为平面的波等相面为平面的波.波长：波长：同一时刻相位相差同一时刻相位相差 的两点之间的长度，用的两点之间的长度，用

3、 表示表示.波矢与波长的关系：波矢与波长的关系：3.相速度和群速度相速度和群速度沿波的传播方向，等相面传播的速度称为相速度，记为：沿波的传播方向，等相面传播的速度称为相速度，记为：对于弹性波，等相面满足对于弹性波，等相面满足常数常数，求其微分得：，求其微分得：由于连续媒质中的弹性波的色散关系是线性的，以致相速度为常数由于连续媒质中的弹性波的色散关系是线性的，以致相速度为常数.群速度：群速度：振幅传播的速度振幅传播的速度.大小为：大小为：对于连续媒质弹性波，对于连续媒质弹性波，而，而与与无关无关.所以：所以：群速度等于相速度群速度等于相速度.在晶体中传播的格波，色散关系在晶体中传播的格波，色散关

4、系 不是简单的线性关系，不是简单的线性关系，群速度和相速度不再相等群速度和相速度不再相等.当当 不是常数时不是常数时晶体周期性边界条件晶体周期性边界条件一维链的波恩一维链的波恩卡卡曼边界条件曼边界条件3.1.2 3.1.2 周期性边界条件和状态密度周期性边界条件和状态密度1.周期性边界条件周期性边界条件波恩卡门边界条件波恩卡门边界条件所以波矢只能取所以波矢只能取的整数倍，即只能是一系列分立的值的整数倍，即只能是一系列分立的值.所以：所以：在在q空间中一个分立的波矢量占据的体积为空间中一个分立的波矢量占据的体积为：注意：这里的注意：这里的 不是波矢量的增量，而是表示不是波矢量的增量，而是表示 空

5、间的一个体积空间的一个体积元，式中元，式中 为所处理的晶体的体积为所处理的晶体的体积.把媒质分成原胞，在把媒质分成原胞，在x，y，z方向上的基矢长度分别为方向上的基矢长度分别为a，b，c，原原胞数分别为胞数分别为则：则：为原胞总数为原胞总数为每个原胞体积为每个原胞体积所以：所以：倒格子原倒格子原胞的体积胞的体积倒格子原胞得体积与第一布里渊区得体积相等倒格子原胞得体积与第一布里渊区得体积相等.所以第一布里渊区所以第一布里渊区内分立波矢量的数目为：内分立波矢量的数目为：所以：第一布里渊区内分立波矢量的数目等于晶体中原胞的数目所以：第一布里渊区内分立波矢量的数目等于晶体中原胞的数目.虽然它是在直角坐

6、标系中推出的，但是它普遍成立虽然它是在直角坐标系中推出的，但是它普遍成立.2.状态密度状态密度状态密度：状态密度：单位频率间隔内的状态数目单位频率间隔内的状态数目.用用表示表示.状态是用角频率表示，而角频率往往是波矢量的函数状态是用角频率表示，而角频率往往是波矢量的函数色散关系色散关系所以：所以：为单位波矢间隔内的状态数为单位波矢间隔内的状态数.对于弹性波，一个波矢对应对于弹性波，一个波矢对应一个状态，则它可一个状态，则它可 由由q空间中的波矢大小为空间中的波矢大小为q的球体内的分立波的球体内的分立波矢数矢数Z求出求出:所以：所以：对于弹性波，对于弹性波，则则:代入代入得：得：弹性波的状态密度

7、曲线弹性波的状态密度曲线3.2 3.2 晶格振动的经典理论晶格振动的经典理论3.2.1 3.2.1 简谐振动简谐振动在平衡位置附近在平衡位置附近当振动很微小时，当振动很微小时，很小，上式只保留到很小，上式只保留到项，则原子间的相互作用力可表示为：项，则原子间的相互作用力可表示为：其中其中 对于微小振动，原子间的相互作用可以视为与位移对于微小振动，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近的简谐振动成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近的简谐振动.所以所以称这个近似为简谐振动称这个近似为简谐振动3.2.2 3.2.2 一维单原子链的振动一维单原子链的振动模型

8、：模型：一维无限长的单原子链，原子间距一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量晶格常量)为为a，原子质量原子质量为为m.试探解试探解:求色散关系求色散关系 :性质：性质：(1)长波长波时时,格波成为弹性波格波成为弹性波解释解释:很大很大,本来不连续的晶格可视为连续的了本来不连续的晶格可视为连续的了.随着 q的增长，数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里渊区边界，格波频率达到极大值。截止频率截止频率一维单原子就像一个低通滤波器，它只能传播 的弹性波，高于 频率的弹性波被强烈衰减。在布里渊区边界处在布里渊区边界处：群速度为零群速度为零，这是因为此时近邻原子散射的子波与入射波位相相差，由 B原子反射

9、的子波到达近邻 A原子处时恰好和 A 原子反射的子波同位相，对所有原子的散射波都满足上述条件，所以当 时，散射子波之间发生相长干涉，结果反射达到最大值，并与入射波相结合，形成驻波，群速度为零。这和X射线衍射的Bragg 条件是一致的，也同也同样显示了布里渊区示了布里渊区边界的特征。它界的特征。它们都是由于入射波的波都是由于入射波的波动性和性和晶格的周期性所晶格的周期性所产生的生的结果。果。入射波入射波反反 射射 波波 相邻原子振动相位相反，波既不向右传播，也相邻原子振动相位相反，波既不向右传播，也不向左传播，形成驻波不向左传播，形成驻波(2)驻波特征驻波特征所以：所以：而此时而此时即当即当时，

10、时，能量不向外边传播能量不向外边传播 驻波驻波原因：入时波和反射波的迭加原因：入时波和反射波的迭加（3）周期性）周期性 周期为一个倒格子矢量周期为一个倒格子矢量所以把所以把q限制在第一布区限制在第一布区目录目录解释：解释：q与与q+分别对应不同的波长，为什么它们都描写同一运动状态呢？分别对应不同的波长，为什么它们都描写同一运动状态呢？从图可以看出：两条曲线描写的格点的运动状态完全不同从图可以看出：两条曲线描写的格点的运动状态完全不同.唯一唯一 不同的就是两格点不同的就是两格点之间的运动状态之间的运动状态.而这些中间状态的差异并不影响物理实质而这些中间状态的差异并不影响物理实质.所以为了使所以为

11、了使xq（q）的关系成为单值，限制的关系成为单值，限制q在第一布区，对一维来说在第一布区，对一维来说q的取的取值值（4）第一布区里的分立波矢数晶体原胞数）第一布区里的分立波矢数晶体原胞数.晶体内独立状态数（振动频率数）晶体自由度数晶体内独立状态数（振动频率数）晶体自由度数证：使用周期性边界条件（图形）证：使用周期性边界条件（图形）第一布区的长度：第一布区的长度：第一布区分立波矢数：第一布区分立波矢数：第二个结论显然是成立的第二个结论显然是成立的.（5）状态密度）状态密度连续介质连续介质格波格波格波有截止频率格波有截止频率22max12wwp-=N2cos2maxqaNwp=)2cos(1qam

12、aLbp=)(wr)(maxwwm代入得到：代入得到：整理得：整理得：二元一次齐次方程有解的条件：系数行列式为零二元一次齐次方程有解的条件：系数行列式为零:解得：解得：2支格波的最大频率和最小频率及相应得波矢分别为：支格波的最大频率和最小频率及相应得波矢分别为：声学支声学支光学支光学支0q一维双原子晶格得色散关系一维双原子晶格得色散关系讨论讨论：（1），声频支退化为弹性波，声频支退化为弹性波（2），声学波描写原胞质心运动，光学波，声学波描写原胞质心运动，光学波描写原描写原胞中各原子之间得相对运动，并且质心保持不动胞中各原子之间得相对运动，并且质心保持不动.a.声频支声频支同向运动同向运动波长很

13、长，相邻原子的位相差很小波长很长，相邻原子的位相差很小.表示质心的表示质心的运动运动质心不动质心不动b.光频支：光频支：相邻原子反相邻原子反向运动向运动光学支振动的说明光学支振动的说明：如果原胞内为两个带相反电荷的离子（如离子晶体），那么正负离子的相对振动必然会产生电偶极矩，而这一电偶极矩可以和电磁波发生相互作用。在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。实际晶体的长光学波的对应远红外的光波，因此离子晶体的长光学波的共振能够离子晶体的长光学波的共振能够引起远红外光在引起远红外光在 附近的强烈吸收附近的强烈吸收，正是基

14、于此性质，支被称作光学支。fcc Pb 的振动谱Fcc Cu 的振动谱Kohn anomaly:strong lattice-electron coupling induced phonon softening金刚石的振动谱金刚石的振动谱锗的格波谱 见Kittel p72硅的格波谱 见黄昆书 p102 GaAs 的格波谱 见黄昆书p103NaCI 的色散曲线MgB2:Tc=39 K,simple hexagonal（3）晶格中振动的波矢数晶体的原胞数）晶格中振动的波矢数晶体的原胞数 晶格振动的频率数晶体的自由度数晶格振动的频率数晶体的自由度数证：加周期性边界条件证：加周期性边界条件N为原胞数为

15、原胞数第一布区：第一布区：波矢数：波矢数：波矢数为原胞数，波矢数为原胞数，每个原胞中有两每个原胞中有两个原子，对每个个原子，对每个q对应两个频率，对应两个频率，显然第二条规律显然第二条规律也是满足的也是满足的.这这两条规律对三维两条规律对三维也是适用的也是适用的.同样方法也可以得到一维双原子链晶格振动的态密度，它们共同的特点是：在布里渊区边界，范霍夫奇点3.3 3.3 晶格中振动的量子化和声子晶格中振动的量子化和声子3.3.1 3.3.1 晶格振动的哈密顿量晶格振动的哈密顿量一维单原子链，在简谐近似和最近邻近似下：一维单原子链，在简谐近似和最近邻近似下：晶体势能：晶体势能：晶体动能：晶体动能：

16、其中其中 表示位移对时间的一次导数，也就是速度表示位移对时间的一次导数，也就是速度.格点位移格点位移系统的总的哈密顿量为：系统的总的哈密顿量为：H为非对角化的，对角化后应用谐振子的量子力学结为非对角化的，对角化后应用谐振子的量子力学结论论.为此引进简正坐标为此引进简正坐标Q.单个谐振子的哈密顿量单个谐振子的哈密顿量逆变换：逆变换：证明利用了正则坐标证明利用了正则坐标Q的正交关的正交关系，参见系，参见P67系统总能量：系统总能量：由量子力学，一个谐振子的能量与由量子力学，一个谐振子的能量与 的关系为：的关系为：三维复式格子三维复式格子N个原胞，每个原胞中含有个原胞，每个原胞中含有n个粒子个粒子结

17、论：结论：（1）独立波矢数原胞数）独立波矢数原胞数N振动状态数晶体自由度数振动状态数晶体自由度数3nN（2）3nN独立振动分为独立振动分为3n支，声学支支，声学支3支，光支，光学支学支 3(n-1)支支.3支声学波中有一支纵波，两支支声学波中有一支纵波，两支横波横波.N=1没有光学波，即没有光学波，即Bravais格子中不格子中不含有光学波含有光学波.N=2，3既有声学波，又有光学既有声学波，又有光学波波用声子代表真实晶体如同用光子代替电磁波一样用声子代表真实晶体如同用光子代替电磁波一样.光子可光子可以解释光电效应，声子则可以解释固体热容量，而且能解以解释光电效应，声子则可以解释固体热容量，而

18、且能解释晶体导电导热的性质，晶体吸收就可以理解为声子吸收释晶体导电导热的性质，晶体吸收就可以理解为声子吸收光子的能量而变热，晶体散射则可以理解为声子与光子的光子的能量而变热，晶体散射则可以理解为声子与光子的碰撞碰撞.电子与晶格的相互作用可以理解为电子与声子的相电子与晶格的相互作用可以理解为电子与声子的相互作用互作用声子是玻色声子是玻色(bose)子，满足玻色分布子，满足玻色分布喻住房高层人喻住房高层人少，底层人多少，底层人多3.3.2 声子（声子（phonon)声子声子晶格振动的能量量子晶格振动的能量量子(准粒子准粒子)能量能量动量动量三三、声子的性质、声子的性质1.声子的粒子性声子的粒子性光

19、子光子-电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光子流，光子携带电磁波的能量和动量子流，光子携带电磁波的能量和动量。声子声子-声子携带声波的能量和动量。若格波频率声子携带声波的能量和动量。若格波频率为为，波矢，波矢q为，则声子的能量为为，则声子的能量为 ，动量为，动量为q。声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如同具有能量同具有能量 和动量和动量 q的粒子一样。的粒子一样。可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和物质的碰撞过程，使问题大大简化，得出的结论物质的碰撞过程，使问

20、题大大简化，得出的结论也正确。如，电子、光子、声子等。也正确。如，电子、光子、声子等。准粒子性的具体表现：声子的动量不确定，波矢准粒子性的具体表现：声子的动量不确定，波矢改变一个周期（倒格矢量）或倍数，代表同一振改变一个周期（倒格矢量）或倍数，代表同一振动状态，所以不是真正的动量；动状态，所以不是真正的动量；系统中声子的数目一般用统计方法进行计算，具系统中声子的数目一般用统计方法进行计算，具有能量为有能量为Ei的状态用出现的几率来表示。的状态用出现的几率来表示。2.声子的准粒子性声子的准粒子性3.声子概念的意义声子概念的意义黄昆黄昆(19192005)(19192005)世界著名物理学家、我国

21、固体物理学和半世界著名物理学家、我国固体物理学和半导体物理学的奠基人、中国科学院院士、导体物理学的奠基人、中国科学院院士、20012001年度国家最高科学技术奖获得者年度国家最高科学技术奖获得者 四十年代，提出固体中杂质缺陷导致光四十年代，提出固体中杂质缺陷导致光漫散射的理论，六十年证实并得到应用，漫散射的理论，六十年证实并得到应用，被称为被称为“黄漫散射黄漫散射”。19501950年同其夫人艾夫合作，首次提出多声年同其夫人艾夫合作，首次提出多声子无幅射跃迁理论子无幅射跃迁理论“黄黄里斯理论里斯理论”。19511951年，首次提出描述晶体中光学位移、年，首次提出描述晶体中光学位移、宏观电场与电

22、极化三者关系的宏观电场与电极化三者关系的“黄方程黄方程”，19631963年拉曼散射实验所证实。年拉曼散射实验所证实。绪绪 论论1954年，年，Born（1882-1970）和黄昆合作的和黄昆合作的晶格动力论晶格动力论一部有世界影响的经典科一部有世界影响的经典科学专著。学专著。波恩在给爱因斯坦的一封信中写道：波恩在给爱因斯坦的一封信中写道：“我现在我现在正在同一个中国的合作者黄昆博士完成一本晶正在同一个中国的合作者黄昆博士完成一本晶格的量子力学的书。书稿内容已完全超越了我格的量子力学的书。书稿内容已完全超越了我的理解，我能懂得年轻的黄昆以我们两人的名的理解，我能懂得年轻的黄昆以我们两人的名义所

23、写的东西，就很高兴义所写的东西，就很高兴”。绪绪 论论3.4 3.4 离子晶体中的长光学波离子晶体中的长光学波3.4.1 3.4.1 黄昆方程黄昆方程长波极限下的声学波和光学波反映不同支格波的特点长波极限下的声学波和光学波反映不同支格波的特点,即即长声学波描述原胞质心的运动长声学波描述原胞质心的运动,长光学波描述原胞中不同长光学波描述原胞中不同原子间的相对运动原子间的相对运动.但波长较短时但波长较短时,不同支格波的上述特点不同支格波的上述特点变得不明显变得不明显.我们还将看到我们还将看到,对晶体性质影响最大的格波往对晶体性质影响最大的格波往往是长声学波和长光学波往是长声学波和长光学波.如果如果

24、 表示表示 的正离子的位移，的正离子的位移，表示质量表示质量 的负离子的位的负离子的位移移.有正负离子相对位移所引起的宏观电场强度设为有正负离子相对位移所引起的宏观电场强度设为 ，这时作，这时作用在离子上的除了准弹性恢复力外，还有电场的作用用在离子上的除了准弹性恢复力外，还有电场的作用.但是作用在但是作用在某离子上的电场不能包括该离子本身所产生的电场某离子上的电场不能包括该离子本身所产生的电场.从宏观场强从宏观场强 中减去该离子本身所产生的场强，这叫有效场强中减去该离子本身所产生的场强，这叫有效场强 .得到：得到：这组方程是黄昆于这组方程是黄昆于19511951年讨论光学波得长波长近似时引进年

25、讨论光学波得长波长近似时引进的，称为的，称为黄昆方程黄昆方程.物理意义：物理意义：第一个方程代表振动方程第一个方程代表振动方程.第二个方程代表极化方程第二个方程代表极化方程.3.4.2 3.4.2 LSTLST关系关系设黄昆方程的解具有设黄昆方程的解具有平面波形式，即：平面波形式，即：其中其中 为波矢为波矢.位移位移 与波矢与波矢 相垂直的部分构成横波，记为相垂直的部分构成横波，记为 .位移与波矢平行的部分构成纵波位移与波矢平行的部分构成纵波,记为记为 .存在下列关系：存在下列关系：在所讨论的电介质中，没有自由电荷，电位移在所讨论的电介质中，没有自由电荷，电位移D D无散，即：无散，即：又因为

26、纵向的旋度为又因为纵向的旋度为0 0，即：，即：将式子将式子代入代入得：得：将将和和代入代入得：得：代表横向振动方程代表横向振动方程代表纵向振动方程代表纵向振动方程所以：所以：（1 1）对于静电场）对于静电场这时这时可化为：可化为：代入代入（2 2）对于光频电场，）对于光频电场，W W0 0，晶体静电介电常数晶体静电介电常数可化为：可化为：晶体光频介电常数晶体光频介电常数得：得：这就这就LSTLST关系关系.由于静电介电常数恒大于光频介电常数，所以长光由于静电介电常数恒大于光频介电常数，所以长光学纵波的频率恒大于长光学横波频率，这是由于长光学学纵波的频率恒大于长光学横波频率，这是由于长光学纵波

27、伴随有宏观电场，增加了恢复力，从而提高了纵波纵波伴随有宏观电场，增加了恢复力，从而提高了纵波的频率的频率.1 1结论结论：当当 ，而，而 时，则意味着晶体内时，则意味着晶体内部出现自发极化部出现自发极化.把趋向于零的把趋向于零的 称为光学软模称为光学软模.由由LSTLST关关系所发展出来的自发极化理论，叫做系所发展出来的自发极化理论，叫做“铁电软模理论铁电软模理论”.”.2 2 介电常数与频率的关系介电常数与频率的关系消去消去W W得：得：另外：另外：从而有：从而有：得到：得到：联立：联立：利用利用LSTLST关系，上式可表示为：关系，上式可表示为：这个表达式表明：这个表达式表明：是介电常数是

28、介电常数 的极点，的极点，是介电常数是介电常数 的零点的零点.激化激元激化激元实际上，离子晶体的长光学横波振动总是伴随着交变电磁场，实际上，离子晶体的长光学横波振动总是伴随着交变电磁场，因而，应当将黄昆方程与麦克斯韦方程联立求解这个振动系统的振因而，应当将黄昆方程与麦克斯韦方程联立求解这个振动系统的振动模动模.真空中的电磁波色散关系：真空中的电磁波色散关系：介质中的电磁波色散关系：介质中的电磁波色散关系：求解黄昆方程与电磁波方程的联立方程组就可得到：求解黄昆方程与电磁波方程的联立方程组就可得到：将将代入代入从而可求得从而可求得2 2支振动的色散关系支振动的色散关系和和这种耦合称为极化激元这种耦

29、合称为极化激元.由图可以看出：由图可以看出：一支耦合振动模一支耦合振动模时为纯时为纯TO振动模，频率即为无耦合时的横光学波振动模，频率即为无耦合时的横光学波为纯为纯TO振动模，但频率为振动模，但频率为时为高频电磁时为高频电磁频率频率.在中间的在中间的k值区域，值区域，代表的振动模是电磁波代表的振动模是电磁波与横光学格波的混和模式，无法哪个模是格波，哪个模是电磁波与横光学格波的混和模式，无法哪个模是格波，哪个模是电磁波.是频率的禁区，这样的频率不能穿过晶体是频率的禁区，这样的频率不能穿过晶体.满足满足时为低频电磁波，时为低频电磁波，波波.另一支耦合模另一支耦合模3.5 3.5 晶格比热容的量子理

30、论晶格比热容的量子理论固体物理学中的比热容一般指定容热容：固体物理学中的比热容一般指定容热容：其中其中 为固体物理在温度为固体物理在温度T时的热力学平均能量时的热力学平均能量.主要由两主要由两分组成：分组成：其中其中 是晶格（离子）热运动的结果，称晶格比热容；是晶格（离子）热运动的结果，称晶格比热容；是电是电子热运动的结果，称为电子比热容子热运动的结果，称为电子比热容.电子比热容仅在低温才起作用电子比热容仅在低温才起作用.3.5.1 3.5.1 经典理论的困难经典理论的困难经典理论经典理论:能量按自由度均分能量按自由度均分(N个粒子个粒子,3N个自由度个自由度)杜隆杜隆-珀替定律珀替定律:摩尔

31、比热容摩尔比热容:是一个与材料性质和温度无关的常数是一个与材料性质和温度无关的常数.实验结果实验结果:当当导体导体绝缘体绝缘体3.5.2 3.5.2 晶格比热容的一般公式晶格比热容的一般公式由于量子化，使得每个振动平均热运动能量不在是由于量子化，使得每个振动平均热运动能量不在是 ，如果忽，如果忽略零点能，而成为略零点能，而成为得：得：晶体的总能量为晶体的总能量为设设表示角频率在表示角频率在 之间的格波数之间的格波数式中：式中：是最大的角频率是最大的角频率，为晶体中的原子数为晶体中的原子数而晶体的比热容称为：而晶体的比热容称为：而晶体比热容成为而晶体比热容成为3.5.2 3.5.2 爱因斯坦模型

32、爱因斯坦模型爱因斯坦假设爱因斯坦假设:晶体中各原子的振动均是相互独立的晶体中各原子的振动均是相互独立的.且振动频率且振动频率相同相同(或者说或者说,晶体中各原子均以一种频率振动晶体中各原子均以一种频率振动)爱因斯坦比热容函数爱因斯坦比热容函数3.5.4 3.5.4 德拜模型德拜模型假设：把晶格视为各向同性的连续介质假设：把晶格视为各向同性的连续介质.即把格波视为弹性波，且即把格波视为弹性波，且纵波与横波的传播速率相等，且均为纵波与横波的传播速率相等，且均为态密度态密度见第一节，见第一节，Vc为晶体体积为晶体体积.上限频率上限频率德拜温度德拜温度:最大波矢量最大波矢量系统总能量：系统总能量：因此

33、：因此：讨讨论论（1）低温）低温说明在低温下只有长波声子被激发，而且只有长声学波说明在低温下只有长波声子被激发，而且只有长声学波.因为只有长声学波才能视晶体为弹性介质因为只有长声学波才能视晶体为弹性介质.（2）高温）高温杜隆珀替定律杜隆珀替定律（4）上限波矢上限波矢:低温被激发的声子：低温被激发的声子：这一性质刚好与电子相反，在第四章我们会注意到首这一性质刚好与电子相反，在第四章我们会注意到首先被激发的电子是波矢比较大的即费米面附近的电子先被激发的电子是波矢比较大的即费米面附近的电子.3.6 3.6 晶体热膨胀晶体热膨胀，对晶格动力学无影响，取对晶格动力学无影响，取令：令：则则：按玻尔兹曼统计

34、，平均位移是：按玻尔兹曼统计，平均位移是：线胀系数线胀系数:在在近似下，线脉系数与温度无关，在更高级近似下，近似下，线脉系数与温度无关，在更高级近似下，线胀系数与温度有关线胀系数与温度有关.Morse 势保留到3次：保留到4次：3.7 3.7 晶体热传导晶体热传导晶格振动理论是一种简谐近似，即在晶体的势能中只晶格振动理论是一种简谐近似，即在晶体的势能中只考虑与原子位移平方有关的简谐项考虑与原子位移平方有关的简谐项.按这种理论，各按这种理论，各种格波是独立的，某一格波处于某一能级不会衰减，种格波是独立的，某一格波处于某一能级不会衰减，这样晶格振动的热平衡就无法实现这样晶格振动的热平衡就无法实现.

35、在实际晶体中，在实际晶体中，势能的非谐振项虽很小，但总存在，由于非谐振项的势能的非谐振项虽很小，但总存在，由于非谐振项的作用，简谐振子不在是独立的，相互间要发生作用，作用，简谐振子不在是独立的，相互间要发生作用，即声子间发生能量交换即声子间发生能量交换.这样，如果开始时只存在某这样，如果开始时只存在某种频率的声子，由于相互作用，这种频率的声子将会种频率的声子，由于相互作用，这种频率的声子将会转换成另一种频率的声子，即一种频率声子要湮灭，转换成另一种频率的声子，即一种频率声子要湮灭，另一种声子要产生，经过一定的时间后，各种声子的另一种声子要产生，经过一定的时间后，各种声子的分布就能达到平衡分布就

36、能达到平衡.3.7.1 3.7.1 声子散射、声子散射、N N过程和过程和U U过程过程2个声子相互作用而湮灭，产生第个声子相互作用而湮灭，产生第3个声子，在这过个声子，在这过程中满足能量守恒和波矢选择定则：程中满足能量守恒和波矢选择定则：的过程称为正常过程（的过程称为正常过程（N过程），过程），称为倒逆过程（称为倒逆过程（U过程）过程）.对于对于N过程，满足能量守恒和准动量守恒；对于过程，满足能量守恒和准动量守恒；对于U过程，满足能量守恒，系统的波矢在相互作用前后过程，满足能量守恒，系统的波矢在相互作用前后可以相差一倒格矢，因而准动量发生明显变化可以相差一倒格矢，因而准动量发生明显变化在在U

37、过程中过程中 已超出第一布区，这个波矢可以约化成已超出第一布区，这个波矢可以约化成第一布区中的波矢加上某个倒晶格矢第一布区中的波矢加上某个倒晶格矢.在一些过程，光有正常过程还不行，还必须考虑非正常在一些过程，光有正常过程还不行，还必须考虑非正常过程过程.（a）正常过程正常过程（b）倒逆过程倒逆过程3.7.2 3.7.2 热导率热导率晶体晶体振动振动格波格波声子气声子气非谐作用非谐作用声子有相互作用声子有相互作用非理想气体非理想气体简谐近似简谐近似晶体理想气体晶体理想气体热传导率之无穷大热传导率之无穷大光考虑正常情况还不行，因为只有它不可能在某一方光考虑正常情况还不行，因为只有它不可能在某一方向

38、上形成热流向上形成热流.而考虑倒逆过程存在就有可能在某一而考虑倒逆过程存在就有可能在某一方向上形成热流形成热传导方向上形成热流形成热传导.产生热传导的条件产生热传导的条件:存在温度梯度存在温度梯度能流密度能流密度单位时间内单位时间内通过垂直热流方向上的单位面通过垂直热流方向上的单位面积的能量积的能量.为热传导系数为热传导系数气体热导系数气体热导系数:声子气也声子气也具有同样具有同样的规律的规律声子在声子在x方向上的运动速度方向上的运动速度:平均自由时间平均自由时间:在自由内所走的路程在自由内所走的路程:平均自由程平均自由程为平均速率，为平均速率，证明：证明：单位体积内热容量单位体积内热容量:C

39、单位时间内通过单位面积的热量：单位时间内通过单位面积的热量：3.8 晶格振动的实验观测晶格振动的实验观测参考：黄昆 书 3.6 节,Kittel 8 版 4.5 节P.Bruesch Phonons:Theory and Experiments ,其中第其中第2卷是测量方法。卷是测量方法。一一.一般描述一般描述二二.非弹性非弹性X-射线散射射线散射三三.Raman 散射和散射和Brilouin 散射散射四四.远红外和红外吸收光谱远红外和红外吸收光谱五五.非弹性中子散射非弹性中子散射六六.超声波方法超声波方法 由于多种原因，我国晶格振动的实验观测相对落后，各种固体教材中介绍该内容相对较少，应该予

40、以弥补。一一.一般描述：一般描述：二二.从上面讨论中我们已经看到：晶格振动是影响固体很多三.性质的重要因素，而且只要而且只要 T0K，原子的热运动就是理，原子的热运动就是理解解四四.固体性质时不可忽视的因素固体性质时不可忽视的因素。所以从实验上观测晶格振动的五.规律是固体微观结构研究的重要内容，是固体物理实验方法六.的核心内容之一。（晶体结构测定；晶格振动谱测定；费米七.面测定；缺陷观测；等。）晶格振动规律主要通过晶格振动谱反映晶格振动规律主要通过晶格振动谱反映：1.晶格振动色散关系晶格振动色散关系：2.态密度态密度：实验观测就围绕着这两条曲线的测定进行,包括各种因素对它们的影响以及声子的寿命

41、等。主要通过辐射波和晶格通过辐射波和晶格振动的相互作用来完成振动的相互作用来完成。研究声子的研究声子的实验方法实验方法Far-Infrared and (FIR)Infrared Spectroscope (IR)远红外和红外光谱Raman Spectroscope (R)喇曼光谱Brillouin Spectroscope (B)布里渊散射谱Diffuse X-Ray Scattering X 射线漫散射 Inelastic neutron Scattering (INS)非弹性中子散射 Ultrasonic methods (US)超声技术Inelastic electron tunnel

42、ling Spectroscope（IETS)非弹性电子隧道谱其中最重要、最普遍的方法是：其中最重要、最普遍的方法是：电电磁磁波波几种辐射波的能量关系如下：电磁波：电子或中子：c 是光速,是圆频率。中子质量是电子质量的1836倍声波：辐射波照射晶体后，由于和晶格振动发生了能量交换，吸收或者激发出一个声子而改变能量和方向。测出辐射波的能量和方向的变化量，即可确定出一个声子的能量和波矢。这种过程也可能由几个声子同时参与，但多数情形和一个声子发生相互作用的几率要大的多，称为一级过程。二二.非弹性非弹性X-射线散射：射线散射：三三.在晶体结构的实验研究中，我们已经讨论了 X射线衍射花四.样和结构之间的

43、关系，关注的是入射波被晶体散射后方向的变五.化，实际上 X 射线是在同振动着的晶格发生作用振动着的晶格发生作用，因此除了六.衍射现象外，电磁波还会和晶格发生能量的交换，入射波吸收七.或者发射一个声子而发生能量和波矢的变化，这就是X射线的八.非弹性散射。九.散射前后服从能量、动量守恒定律：为区分清楚，这里电磁波频率和波矢用 表示，声子用 表示。电磁波散射前后频率和波矢变化的测量可以给出某一支声子电磁波散射前后频率和波矢变化的测量可以给出某一支声子的色散关系：的色散关系：X-射线被声子散射的示意图射线被声子散射的示意图振动着的晶格起着一组间距等于的平面的作用，吸收q 声子和发射 q声子导致相同的动

44、量守恒。两个过程在检测器内可以同时观察到，不过他们的频率不同。X-射线频率的频移等于所含声子的频率。正漂移相当于声子的吸收，负漂移是声子的发射。由于 X 射线频率远大于声子频率：我们可以认为：2 2是散射角。是散射角。n n 是折射率。是折射率。处在处在 2方向的检测器方向的检测器测量到频率漂移后，根据此式即可测量到频率漂移后，根据此式即可确定该声子（确定该声子（）相对应的）相对应的 q q 值。值。转动检测器，改变散转动检测器，改变散射角射角2 2，允许不同的声子进入图像，不断测量频率漂移，允许不同的声子进入图像，不断测量频率漂移，即可给出一系列的即可给出一系列的 q q 和和（q q）值，

45、把这些点连接起来，）值，把这些点连接起来，即是晶体的某支色散曲线。改变入射波进入晶体的方向，即是晶体的某支色散曲线。改变入射波进入晶体的方向，即可测出不同支的色散曲线。即可测出不同支的色散曲线。X射线漫散射测出的射线漫散射测出的Al晶体的色散曲线晶体的色散曲线需要说明的几点：需要说明的几点：1.角度通常不满足Bragg条件，因此监测器中测不到入射2.频率 ，只检测到漂移后的频率，如前面图所示。违背3.Bragg条件的 X 射线散射类型称为漫散射。4.2.用X射线测量晶格振动的主要困难在于频率漂移难以确定，5.因为 。不过 X 光源普遍，且入射光光源强度6.大，特别是同步辐射光源的建立为晶格振动

46、的研究带来很7.多方便。8.3.我国在这方面开展的工作尚不多，应该引起重视。电磁波波谱图电磁波波谱图X射线射线可见光：400760 nm三三.Raman 散射和散射和 Brilouin 散射：散射：X 射线用于测量声子能量太高的缺点，可以通过改用能量低的多的可见光光源来实现。随着强度高、单色性好的激光可见光源的出现，大大提高了光散射的灵敏度。例如使用蓝绿光：入射光能量虽然降低了很多，但波矢也降低了，和晶体第一布里渊区半宽度相比又太小了：因而，光散射只能和长波声子，即接近布里渊区心的声子光散射只能和长波声子，即接近布里渊区心的声子发生相互作用，涉及光学声子的称发生相互作用，涉及光学声子的称 Ra

47、man 散射，涉及声散射，涉及声学声子的称学声子的称Brilouin散射。散射。非反射方向！非反射方向！上图中的没有发生频率变化的中心线不是被声子散射的，而是样品中静态杂质引起的瑞利散射。漂移小的显然是声学声子引起的布里渊散射，在长波阶段，声学声子的色散关系是：代入式后，有：为避免入射光的干扰，测量常常在是在垂直入射束的角度下进行，即：。注意到：所以，布里渊散射的频率漂移亦很小布里渊散射的频率漂移亦很小，测量也比较困难。注意，布里渊散射测出的声速与通常测量的不同，这里的声波布里渊散射测出的声速与通常测量的不同，这里的声波不是由外部输入的，而是热激发的、固体中自然存在的。不是由外部输入的，而是热

48、激发的、固体中自然存在的。Raman 散射是和光学声子的相互作用，因而：1.产生较大的漂移，Raman 散射：2.Brilouin 散射：2.因为长光学声子的频率基本上与q无关，所以Raman 漂移不明显的依赖于散射角。3.极化激元虽然是20世纪50年代从理论上预言的，但直到60年代激光喇曼技术出现后才从实验上证实并测定出它的色散关系。光散射技术和入射光源的质量有很大关系，激光的发展推动了光散射的应用，反过来，声波引起的光散射也对激光声波引起的光散射也对激光技术做了有益贡献技术做了有益贡献，例如布里渊散射应用于 Q 开关中的光束偏转等。单晶硅 q0 的长光学模在不同温度下的一级喇曼光谱。明显看

49、出发射声子的反应截面要高于吸收声子的反应截面红移红移四四.远红外和红外吸收光谱：远红外和红外吸收光谱：电磁波能量进一步降低是红外和远红外光，它们的能量和晶格振动光学支处于同一量级，因此它们和晶格振动的相互作用就可能变为对入射光的吸收。红外吸收一般发生在极性晶体中，是横光学支（TO）声子的吸收，它测出的是 红外吸收谱的宽度与阻尼系数有关，吸收谱的宽度可以用来衡量阻尼作用的大小。纵向光学声子 一般不参加一级红外吸收过程，这是因为光的横波性，光只能和横光学声子发生耦合。在研究晶体光学支振动上，红外吸收和喇曼散射光谱相互补充、相辅相成。吸收发生在TO声子处，307 cm-1NaCl晶体的吸收峰：162

50、 cm-1红外吸收和喇曼散射过程能量关系比较 光散射和红外吸收技术的最大优点是设备相对普遍，灵敏度较高，在我国已经普及，通过对晶格振动的研究，可以了解固体的微结构、相变、以及与杂质和缺陷有关的问题。但光与晶格振动的耦合主要发生在布里渊区中心附近，因此红外吸收和喇曼散射光谱只能研究布里渊区中心附近的红外吸收和喇曼散射光谱只能研究布里渊区中心附近的光学振动模光学振动模，而不能研究整个布里渊区内全部的振动模。后者要由非弹性中子散射来实现。五五.非弹性中子散射非弹性中子散射六六.中子的能量波矢关系可以表示为：所以0.1nm 的中子，能量约为 82 meV，即波长和原子间距相当的中子，其能量也和原子振动