教学课件第三节雅克比迭代法和高斯-塞德尔迭代法.ppt

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1、第三节第三节 向量范数和矩阵范数向量范数和矩阵范数一、一、向量范数向量范数非负性：非负性：齐次性：齐次性：三角不等性：三角不等性：且且则称则称 为为 中向量中向量 的的范数范数。非负实值非负实值函数函数存在唯一实数存在唯一实数 与之对应，且满足与之对应，且满足定义：定义：设设 是是 的一个映射，若对的一个映射，若对 常用的几种常用的几种向量范数：向量范数：设设 1-范数：范数：2-范数：范数：-范数：范数：上述上述3种向量范数统称为种向量范数统称为P-范数范数二、二、矩阵范数矩阵范数非负性：非负性：齐次性：齐次性：三角不等性：三角不等性：且且定义：定义：设设 是是 的一个映射，若对的一个映射，

2、若对，存在唯一实数存在唯一实数 与之对应，且满足与之对应，且满足则称则称 为为 中矩阵中矩阵 的的范数范数。列范数：列范数：记记行范数：行范数：谱范数：谱范数：其中其中 是是 的的最大最大特征值特征值谱半径谱半径 常用的几种常用的几种矩阵矩阵范数：范数：第第四节四节 解解线性方程组的迭代法线性方程组的迭代法求解求解迭代法迭代法从一个从一个初始向量初始向量出发出发,按照一定的按照一定的递推递推格式格式,产生逼近方程组的产生逼近方程组的近似解序列近似解序列。迭代法迭代法是一种是一种逐次逼近逐次逼近的方法的方法,与直接法比较与直接法比较,具有具有:程序简单程序简单,存储量小的存储量小的优点。优点。特

3、别适用于求解系数特别适用于求解系数矩阵为矩阵为大型稀疏矩阵大型稀疏矩阵 的方程组的方程组。思思路路与与不动点迭代相似不动点迭代相似，将方程组将方程组 等价改写成等价改写成 形式，从而建立形式，从而建立迭代格式迭代格式，从从 出发，生成迭代序列出发，生成迭代序列一一、雅克比雅克比迭代法迭代法设方程组设方程组将系数矩阵将系数矩阵分裂分裂为为：其中其中如果如果原方程组可化为原方程组可化为其中其中相应的迭代格式相应的迭代格式上述方法称为上述方法称为雅克比雅克比迭代法，简称迭代法，简称J法或法或简单简单迭代法迭代法分量形式：分量形式：二二、高斯高斯-塞德尔塞德尔迭代法迭代法高斯高斯-塞德尔塞德尔迭代法是

4、迭代法是雅克比雅克比迭代法的一种改进迭代法的一种改进。在在雅克比雅克比迭代公式中，计算迭代公式中，计算 时，利用已经算时，利用已经算 高斯高斯-塞德尔塞德尔迭代法迭代法的分量形式：的分量形式：出来的出来的新的新的 值，从而得到值，从而得到 高斯高斯-塞德尔塞德尔迭代法。迭代法。例例1 1：利用利用雅克比雅克比和和高斯高斯-塞德尔塞德尔迭代法求解方程组迭代法求解方程组解：解：雅雅克克比比迭迭代代格格式式高高斯斯-塞塞德德尔尔迭迭代代格格式式计计算算结结果果取初值取初值雅克比雅克比迭代法迭代法方方 程程 组组 的的 近近 似似 解解计计算算结结果果高斯高斯-塞德尔塞德尔迭代法迭代法方方 程程 组组 的的 近近 似似 解解取初值取初值