教学课件第三节全概率公式与逆概率公式.ppt

《教学课件第三节全概率公式与逆概率公式.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教学课件第三节全概率公式与逆概率公式.ppt（39页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、医药数理统计方法医药数理统计方法复习：复习：1 1、概率的加法公式。、概率的加法公式。2 2、概率的乘法公式。、概率的乘法公式。（若（若A，B互不相容时）互不相容时）独独=P(B)P(A|B)P(AB)=P(A)P(B|A)医药数理统计方法医药数理统计方法*3 3、事件的独立性、事件的独立性显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的发生的概率概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.A=第二次掷出第二次掷出6点点，B=第一次掷出第一次掷出6点点，例如例如 将将一颗均匀骰子连掷两次，一颗均匀骰子连掷两次，设设医药数理统计方法医药

2、数理统计方法定义定义 若两事件若两事件A、B满足满足P(AB)=P(A)P(B)则称则称A、B独立，或称独立，或称A、B相互独立相互独立.1）设设A、B是两事件，是两事件，若若A、B独立，则独立，则 P(A|B)=P(A)或或P(B|A)=P(B).反之亦然反之亦然.性质性质2 2）若事件）若事件 相互独立，则相互独立，则也相互独立也相互独立.3 3）若）若 个事件个事件是相互独立的，是相互独立的，则有则有医药数理统计方法医药数理统计方法例例6 6 如果幼儿在学语前就失聪，则很难学会说话，故有如果幼儿在学语前就失聪，则很难学会说话，故有“十十聋九哑聋九哑”一说，表明失聪与失语的关系一说，表明失

3、聪与失语的关系.那么，辨音能力是否那么，辨音能力是否也影响辨色能力呢？临床积累的资料见表：也影响辨色能力呢？临床积累的资料见表：耳聋（A）非聋（）合计色盲（B）0.00040.07960.0800非色盲（）0.00460.91450.9200合计0.00500.99501.0000解解 两者是否相互联系可由事件两者是否相互联系可由事件A和和B是否相互独立是否相互独立 来判断来判断.已知已知由于由于故故A与与B相互独立，从而推断两种状态无联系相互独立，从而推断两种状态无联系.医药数理统计方法医药数理统计方法例例7 7 甲、乙两名射手同时向一个目标进行射击，甲命中率甲、乙两名射手同时向一个目标进行

4、射击，甲命中率为为0.60.6，乙命中率为，乙命中率为0.50.5，求目标被击中的概率。，求目标被击中的概率。解解 设设另解另解 医药数理统计方法医药数理统计方法例例8 8 某种彩票每周开奖一次，每次中大奖的概率是十某种彩票每周开奖一次，每次中大奖的概率是十万分之一万分之一 ，若你每周买一张彩票，尽管你坚持买了十，若你每周买一张彩票，尽管你坚持买了十年，（每年年，（每年5252周），试求你从未中过大奖的概率。周），试求你从未中过大奖的概率。解解 设设医药数理统计方法医药数理统计方法主要内容n一、全概率公式n二、逆概率公式医药数理统计方法医药数理统计方法一、全概率公式一、全概率公式定理定理 设事

5、件设事件两两互不相容，且两两互不相容，且若若则对任一事件则对任一事件B都有都有-全概率公式全概率公式B医药数理统计方法医药数理统计方法在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(B)不易不易,但但B总是伴随总是伴随着某个着某个Ai出现，适当地去构造这一组出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简往往可以简化计算化计算.全概率公式的来由全概率公式的来由,不难由上式看出不难由上式看出:“全全”部概率部概率P(B)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:医药数理统计方法医药数理统计方法 某某 一一 事事 件件 B的的 发发 生生 有有 各各 种种

6、可可 能能 的的 原原 因因(i=1,2,n)，如如果果B是是由由原原因因Ai所所引引起起，则则B发发生的概率是生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生发生的概率是各原因引起的概率是各原因引起B发生概率的总和，发生概率的总和，即即全概率公式全概率公式.P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解医药数理统计方法医药数理统计方法 由此可以形象地把全概率公式看成为由此可以形象地把全概率公式看成为“由由原原因因推推结结果果”，每每个个原原因因对对结结果果的的发发生生有有一一定定的的“作作

7、用用”，即即结结果果发发生生的的可可能能性性与与各各种种原原因因的的“作作用用”大大小小有有关关.全全概概率率公公式式表表达达了了它它们之间的关系们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸诸Ai是原因是原因B是结果是结果医药数理统计方法医药数理统计方法全概率公式的使用全概率公式的使用我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率医药数理统计方法医药数理统

8、计方法例例1 1 设某医院仓库中有设某医院仓库中有1010盒同样规格的盒同样规格的X X光片，已知光片，已知其中有其中有5 5 盒、盒、3 3盒、盒、2 2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的。且甲、乙、丙三厂生产该种产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X X光的次品率依次光的次品率依次为为1/101/10、1/151/15、1/201/20，现从这，现从这1010盒中任取一盒，再盒中任取一盒，再从这盒中任取一张从这盒中任取一张X X光片，求取得的光片，求取得的X X光片是次品的光片是次品的概率。概率。解解医药数理统计方法医药数理统计方法例例1 1 设某医院仓库中有设某医院仓库中

9、有1010盒同样规格的盒同样规格的X X光片，已知光片，已知其中有其中有5 5 盒、盒、3 3盒、盒、2 2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的。且甲、乙、丙三厂生产该种产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X X光的次品率依次光的次品率依次为为1/101/10、1/151/15、1/201/20，现从这，现从这1010盒中任取一盒，再盒中任取一盒，再从这盒中任取一张从这盒中任取一张X X光片，求取得的光片，求取得的X X光片是次品的光片是次品的概率。概率。解解医药数理统计方法医药数理统计方法医药数理统计方法医药数理统计方法例例2 2 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加某药厂

10、用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%40%、35%35%和和25%25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为率分别为0.650.65、0.700.70和和0.850.85，求从该厂产品中任意，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率取出一件成品是优等品的概率.解解 医药数理统计方法医药数理统计方法解解 由全概率公式：由全概率公式：医药数理统计方法医药数理统计方法该该球球取取自自哪哪号号箱箱的的可可能能性性最大最大?实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“

11、已知结果求原因已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小可能性大小.某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，一球，发现是红球发现是红球,求该球是求该球是取自取自1 1号箱的概率号箱的概率.1 12 23 31 1红红4 4白白或者问或者问:医药数理统计方法医药数理统计方法二、逆概率公式二、逆概率公式例例3 3 如果在如果在 例例1 1 中已知抽到的中已知抽到的X X光片是次品，求该光片是次品，求该次品是由甲厂、乙厂、丙厂生产的概率。次

12、品是由甲厂、乙厂、丙厂生产的概率。解解医药数理统计方法医药数理统计方法例例3 3 如果在如果在 例例1 1 中已知抽到的中已知抽到的X X光片是次品，求该光片是次品，求该次品是由甲厂、乙厂、丙厂生产的概率。次品是由甲厂、乙厂、丙厂生产的概率。解解医药数理统计方法医药数理统计方法定理定理 设设完备事件组，且完备事件组，且则在事件则在事件B已发生的情况已发生的情况下，下，的条件概率为的条件概率为上式就是上式就是贝叶斯公式贝叶斯公式，又称为，又称为逆概率公式逆概率公式.医药数理统计方法医药数理统计方法 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事

13、件人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因）发生的最可能原因.该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在它是在观察到事件观察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每发生的每个原因的概率个原因的概率.医药数理统计方法医药数理统计方法BayesBayes公式的使用公式的使用我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件如果已知事件B已经发生，要求此时是由第已经发生，要求

14、此时是由第 i 个原因个原因引起的概率，则用引起的概率，则用Bayes公式公式返回主目录医药数理统计方法医药数理统计方法例例4 4 用血清诊断肝癌，临床实践表明，患肝癌的病人中用血清诊断肝癌，临床实践表明，患肝癌的病人中有有95%95%试验呈阳性，也有试验呈阳性，也有2%2%的非肝癌患者化验呈阳性。若的非肝癌患者化验呈阳性。若将此法用于人群肝癌普查，设人群中肝癌患病率将此法用于人群肝癌普查，设人群中肝癌患病率0.2%0.2%，现某人在普查中化验结果呈阳性，求此人确患肝癌的概现某人在普查中化验结果呈阳性，求此人确患肝癌的概率。率。解解 令令A=被化验者确患肝癌症；被化验者确患肝癌症；B=被化验者

15、结果呈阳性；被化验者结果呈阳性；医药数理统计方法医药数理统计方法解解 令令A=被化验者确患肝癌症；被化验者确患肝癌症；B=被化验者结果呈阳性；被化验者结果呈阳性；医药数理统计方法医药数理统计方法现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率P(A)=0.002 若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为是患者的概

16、率为 P(AB)=0.087 从从0.002增加到增加到0.087，将近增加约，将近增加约43倍倍.有意义医药数理统计方法医药数理统计方法2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(AB)=0.087 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有症，这种可能性只有8.7%(平均来说，平均来说，1000个人中个人中大约只有大约只有87人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再试，此时医生常要通过再试验来确认验来确认.医药数理统计方法医药数理统计方法例例5 5

17、 在某一季节，疾病在某一季节，疾病的发病率为的发病率为2%2%，病人中，病人中40%40%表现出症状表现出症状S S，疾病，疾病的发病率为的发病率为5%5%，其中，其中18%18%表现出症状表现出症状S S，疾病，疾病的发病率为的发病率为0.5%0.5%，症状，症状S S 在病在病人中占人中占60%60%。问任意一位病人有症状。问任意一位病人有症状S S 的概率有多大？的概率有多大？病人有症状病人有症状S S时患疾病时患疾病的概率各有多大？的概率各有多大？解解 由全概率公式得：由全概率公式得：医药数理统计方法医药数理统计方法由逆概率公式得由逆概率公式得医药数理统计方法医药数理统计方法贝叶斯公式

18、贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai|B)分别称为原因的先分别称为原因的先验概率验概率和和后验概率后验概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生发生），人们对诸事件发生可能性大小可能性大小P(Ai|B)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。医药数理统计方法医药数理统计方法小结：小结：全概率

19、公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学同学们可通过进一步的练习去掌握它们们可通过进一步的练习去掌握它们.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统贝叶斯统计计”.可见贝叶斯公式的影响可见贝叶斯公式的影响.作 业预习预习 第三章第三章医药数理统计方法医药数理统计方法例例1 1 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到1212岁以上的概率为岁以上的概率为0.80.8，活到，活到2020岁以上的概率为岁以上的

20、概率为0.40.4。如果现在有一个。如果现在有一个1212岁的这种动物，问它能活到岁的这种动物，问它能活到2020岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解解 设设A A表示表示“能活到能活到1212岁以上岁以上”,”,B B表示表示“能活能活到到2020岁以上岁以上”.”.则则由已知由已知从而所求的概率为从而所求的概率为医药数理统计方法医药数理统计方法 例例2 2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为出的概率分别为1/51/5，1/31/3，1/41/4，问三人中至少有一，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？人能将密码译出的概率是

21、多少？解解 将三人编号为将三人编号为1 1，2 2，3 3，所求为所求为 记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3已知已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3)医药数理统计方法医药数理统计方法 练练习习 假假定定患患有有疾疾病病 中中的的某某一一个个的的人人可可能能出出现现症症状状 中中一一个个或或多多个个，其其中中 S S1 1=食欲不振食欲不振 S S2 2=胸痛胸痛 S S3 3=呼吸急促呼吸急促 S S4 4=发热发热现现从从2000020000份份患患有有疾疾病病 的的病病历历卡卡中中统统计

22、计得得到到下下列数字：列数字：疾病疾病人数人数出现出现S S中一个或几个症状中一个或几个症状人数人数 775075005250420070003500医药数理统计方法医药数理统计方法试试问问当当一一个个具具有有S S中中症症状状的的病病人人前前来来要要求求诊诊断断时时，在在没没有有别别的的可可依依据据的的诊诊断断手手段段情情况况下下，诊诊断断该该病病人人患患有有这三种疾病中哪一种较合适？这三种疾病中哪一种较合适？解解 以以A A表示事件表示事件“患者出现患者出现S S中的某些症状中的某些症状”,”,表表示示事事件件“患患者者患患有有疾疾病病 ”（i i=1=1，2 2，3 3），由由于于该该问问题题观观察察的的个个数数很很多多，用用事事件件的的频频率率作作为为概概率率的的近似是合适的，由统计数字可知近似是合适的，由统计数字可知医药数理统计方法医药数理统计方法从而从而医药数理统计方法医药数理统计方法由贝叶斯公式可得由贝叶斯公式可得从而推测病人患有疾病从而推测病人患有疾病 较为合理。较为合理。