第22章一元二次方程(教育精品).ppt

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1、第第2222章一元二次方程章一元二次方程欢迎提出宝贵意见和建议，这里表示欢迎提出宝贵意见和建议，这里表示衷心的感谢衷心的感谢.如有不便之处如有不便之处,敬请原谅敬请原谅.引入的例子：引入的例子：某中学在操场中间要建造面积为20 平方米矩形的花坛，且矩形的长比宽长1米，问矩形的长与宽分别是多少米？x+1米x米 则矩形的长为（x+1）米，分析：设矩形的宽这x米,由题意得：问：这个方程以前我们是否学习过？若没有学过？它有什么特征？x x2x2 +x 20=0观察这个方程，问：此方程有几个未知数？2+20=0一个未知数：x问：这个方程中的未知数的最高次数是几次？x +x 20=0最高次数：2引入一元二

2、次方程的概念：引入一元二次方程的概念：只含有只含有一个一个未知数，且未知数的未知数，且未知数的最高次数最高次数是是2的方程的方程叫做一元二次方程。叫做一元二次方程。说明：未知数个数1个。未知数的最高次数是2次。我我们们将将按按此此流流程程学学习习一一元元二二次次方方程程一元一元二次方程的定义二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用可可化为一元二次方程化为一元二次方程的方程的方程直接开平方法直接开平方法配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法一元一元二次方程的根的判别式二次方程的根的判别式一元一元二次方程的根与系数的关系二次方程的根与系数的关系二

3、次二次三项式的因式分解三项式的因式分解列列方程解应用题方程解应用题可可化为一元二次方程的分式方化为一元二次方程的分式方程的解法及应用程的解法及应用简单的二元二次方程组的解法简单的二元二次方程组的解法 一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程定义定义只只只只含有一个未知数，且未知数的最高含有一个未知数，且未知数的最高含有一个未知数，且未知数的最高含有一个未知数，且未知数的最高次数是次数是次数是次数是2 2的方程的方程的方程的方程二次项系数二次项系数二次项系数二次项系数二次项二次项二次项二次项一次项一次项一次项一次项一次项系数一次项系数一次项系数一次项系数常数项常数项常数项常数项一般形式

4、a x2+b x+c=0当当b0,c 0时，时，当当b=0或或c=0时，时，方程方程ax2+b x+c=0(a0)叫一般的叫一般的方程方程ax2+c=0(a0)或或ax2+b x=0都都叫特殊的叫特殊的.(是是一元二次方程一元二次方程)(a 0)下面给出一些常见的一元二次方程下面给出一些常见的一元二次方程（不是整式方程）（不是整式方程）（不是整式方程）（不是整式方程）（不是一元方程）（不是一元方程）下面给出一些常见的方程下面给出一些常见的方程,不是一元二次方程不是一元二次方程(一元二次方程是整式方程一元二次方程是整式方程)一元二次方一元二次方程的一般形式程的一般形式 ax2+bx+c=0 (a

5、0)完全的一元二次方程完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0,b0,c0)特殊的特殊的一元二次方程一元二次方程ax2+c=0(a0,c0)ax2+bx=0(a0,b0)ax2=0 (a0)例、方程是否为一元二次方程？如果不是，说明理由；如果是，指出它的二次项、一次项系数及常数项.解：去括号，得解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8.移项，得移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0.合并同类项，得合并同类项，得 3x2-5x-12=0.原方程是一元二次方程；二次项系数是原方程是一元二次方程；二次项系数是，一次项系数是一次项系数是 -5-5，常数项是常数项是 12 12.当ac=b2

6、-4ac=0 =b2-4ac0 =有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根没有实数根其中 叫做一元二次方程根的判别式例10若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A m 0 B m 0 C m 0 且m1 D m 0且m1解：由题意，得 m-10 =（2m)2-4（m-1）m0解之得，m0且m1，故应选DD 练习1 选择题1 不解方程，判断方程0.2x2-5=1.5x的根的情况是（）A)有两个不相等的实数根 B)有两个相等的实数根C)没有实数根 D)无法确定2.若关于的一元二次方程（k-1）x2+2kx

7、+k+3=0有实数根，则k的取值范围是（）A)k 1.5 B)k 1.5 C)k 1.5 且k1 D)k1.5 AC练一练练一练例11求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根证明：=-（m+7）2-49（m-3）=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157=（m-11）2+36不论m取何值，均有（m-11）20（m-11）2+360，即0不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根练习2 一、填空题1、关于x的方程x+2kx+k-0的根的情况是 _ 二、求证:不论a为任何实数,2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0必有两个不相等

8、的实数根.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根例12已知关于x的一元二次方程 没有实数根，求k的最小整数值。解：将原方程整理，得（2 k-1）x2-8x+6=0 根据题意，得 =（-8）2-4（2k-1）6 k的最小整数值是2练习3若关于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0没有实数根，求证关于y的方程y2+my+12m=1一定有两个不相等的实数根。提示：将y2+my+12m=1化为一般形式 y2+my+12m-1=0达标练习达标练习一、选择题：1、已知关于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）k）k）k0，方程有两个不相等的实根方程有两个不相等的实根,8k+9

9、 0,即即 (2).当当=0，方程有两个相等的实根方程有两个相等的实根,8k+9=0,即即 (3).当当 0，方程有没有实数根方程有没有实数根,8k+9 03、证明方程根的情况说明：说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出，如果不能直接判断情况，就利用配方法把配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断的情况，从而证明出方程根的情况练习练习：1、不解方程，判别下列方程的根的情况不解方程，判别下列方程的根的情况（1）（3）（2）2、已知关于、已知关于x 的方程：的方程：有两个有两个 不相等的实数根，不相等的实数根，k为实数，求为实数，求k 的取值范围。的取值范围。3、设关于、设关于x

10、 的方程：的方程：，证明，不论，证明，不论m为何为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。值时，方程总有两个不相等的实数根。二、一元二次方程根与系数的关系二、一元二次方程根与系数的关系以两个数以两个数x1、x2为根的一元二次方程为根的一元二次方程（二次项系数为（二次项系数为1）是）是 设设 x1、x2是是下列一元二次方程的两个根，填写下表下列一元二次方程的两个根，填写下表 x1 x2 x1+x2一元二次方程56解：设方程的另一个根为x1，那么例例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（两个根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒数和）倒数和解：设方

11、程的两个根是解：设方程的两个根是x1 x2，那么那么例例3 已知方程已知方程x2-5x-2=0，作一个新方程，作一个新方程，使它的根分别是已知方程各根平方的倒数使它的根分别是已知方程各根平方的倒数解：设解：设x1、x2为方程为方程x2-5x-2=0的两根，则的两根，则 x1+x2=5 x1x2=-2设所求方程两根为设所求方程两根为y1、y2则：则：例例6.已知方程已知方程x22(m2)xm240有两个实有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求，求m的值的值解：设解：设x x1 1、x x2 2为方程的两根为方程的两根方程有两个实数根，方程有两个实

12、数根，解得解得m0依题意，得 m0，m1(x12+x22)-x1x2=21例例7.试确定试确定m的值，使关于的值，使关于x的方程的方程8x2(2m2m6)x2m10的两根互为相反数的两根互为相反数解：设此方程的两个根为解：设此方程的两个根为x1、x2,要使方程的两个要使方程的两个根互为相反数根互为相反数,必需满足条件必需满足条件:x1x20,x1x200,得2m2m60当m2时，原方程的两根互为相反数1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？2、已知方程、已知方程 的一个根是的一个根是 1，求它的另一个根和求它的另一个根和m的的值。值。3、设、设 x

13、1、x2是是方程方程 利用利用 根与系数的根与系数的 关系，求下列各式的值：关系，求下列各式的值：三、二次三项式的因式分解三、二次三项式的因式分解中的因式中的因式 千万不能忽略。千万不能忽略。2.在分解二次三项式在分解二次三项式的的因式时，可先用求根公式求出方程因式时，可先用求根公式求出方程的的两个根两个根x1,x2然后然后,写成写成a例题讲解例题讲解例例1 把把分解因式分解因式此步的目的是去掉括号内的分母例例2本题是关于本题是关于x的二次三项式，所以应把的二次三项式，所以应把y看作常数看作常数 在长方形钢片上冲去一个长在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形，制成一个四周宽相

14、等的长方形框。已知长方形钢片的长为方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为宽为20cm,要使制成的长要使制成的长方形框的面积为方形框的面积为400cm2，求这个求这个长方形框的框边宽。长方形框的框边宽。XX30cm20cm解解:设长方形框的边宽为设长方形框的边宽为xcm,依题意依题意,得得3020(302x)(202x)=400整理得整理得 x2 25+100=0得得 x1=20,x2=5当当=20时时,20-2x=-20(舍去舍去);当当x=5时时,20-2x=10答答:这个长方形框的框边宽为这个长方形框的框边宽为5cm四.应用题1月的数量为月的数量为A，3月的数量为月的数量为B，经过两经

15、过两个月，求增长率个月，求增长率x。某某季度数量为季度数量为B，头一个月数量为头一个月数量为A，求后两个月的增长率求后两个月的增长率x.1月的数量月的数量A，经过两个月后数经过两个月后数量增加量增加m%，求增长率求增长率.比较比较A1月月A(1+x)2月月A(1+x)23月月AA(1+m%)增加增加m%=A+A(1+x)+A(1+x)2=Bl大家都知道，中考的命题为了加强对人才的区分度，在题目的新颖性和综合性方面下了很大的功夫.很多大城市的中考把压轴的两题(每题8分)共16分从2006年开始改成三题(每题12分)共36分.而且在21世纪这个信息化的年代，你们的新教材体现“信息化”、“对新问题的探究思想”，自然在中考命题中也体现这种思想。你们学习的时候,应该注意不是把题目背下来,应该学完以后只记得系统的公式是如何推导出来,当然该记的公式也要记.最后在脑海里有第四页的整个流程图,那是你思考的根据.l 随便说说随便说说