教育专题：131单调性与最大（小）值第2课时函数的最大值、最小值.ppt

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1、第2课时 函数的最大值、最小值 喷泉喷出的抛物线型水柱到达喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点最高点”后便下落，后便下落，经历了先经历了先“增增”后后“减减”的过程，从中我们发现单调的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种性与函数的最值之间似乎有着某种“联系联系”，让我们，让我们来研究来研究函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值.1.1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点）重点）2.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）（难点）观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：yxox0图

2、图2MB探究点探究点1 1 函数的最大值函数的最大值【解答解答】第一个函数图象有最高点第一个函数图象有最高点A A,第二个函数图第二个函数图象有最高点象有最高点B B,也就是说也就是说,这两个函数的图象都有最高这两个函数的图象都有最高点点.思考思考2 2 设函数设函数y=f(x)y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M,M,则则对函数定义域内任意自变量对函数定义域内任意自变量x,f(x)x,f(x)与与M M的大小关系如的大小关系如何何?【解答解答】f(x)M f(x)M思考思考1 1 这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？最高点的纵坐标即最高点的纵坐标即是

3、函数的最大值！是函数的最大值！函数最大值定义函数最大值定义：一般地，设函数：一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定义的定义域为域为I I，如果存在实数，如果存在实数M M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的xIxI，都有，都有_；（2 2）存在）存在x x0 0II，使得，使得_。那么，我们称那么，我们称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最大值的最大值.请同学们仿此给请同学们仿此给出函数最小值的出函数最小值的定义定义f(x)Mf(x)Mf(xf(x0 0)=M)=M函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高函数图象在最高点处的函数值是函

4、数在整个定义域上最大的值点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函对于函数数f(x)=-xf(x)=-x2 2而言，即对于函数定义域中任意的而言，即对于函数定义域中任意的xRxR，都有都有f(x)f(0)f(x)f(0)函数最大值的函数最大值的“形形”的定义：的定义：当一个函数的图象有最高当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最大值点时，我们就说这个函数有最大值.当当一个一个函数函数的的图象无图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值最高点时，我们就说这个函数没有最大值.图图1yox0 xmxyox0图图2m观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：探究点探究点2 2 函数

5、的最小值函数的最小值思考思考1:1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？上最低点的纵坐标叫什么名称？提示：提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值的最小值,即函数的最小值即函数的最小值.思考思考2:2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？提示：提示：一般地，设函数一般地，设函数y y=f f(x x)的定义域为的定义域为A A，如果存在，如果存在x x0 0A A,使得对于任意的使得对于任意的x xA A，都有，都有f f(x

6、x)f f(x x0 0),),那么称那么称f f(x x0 0)为函数为函数y y=f f(x x)的最小值，记为的最小值，记为y yminmin=f f(x x0 0).).函数最小值的定义：函数最小值的定义：一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定的定义域为义域为I I，如果存在实数，如果存在实数N N满足：满足：（1 1）对任意的）对任意的 ，都有，都有_；（2 2）存在）存在 ，使得，使得_._.那么，我们就称那么，我们就称N N是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最小值的最小值.f(x)f(x)N Nf(xf(x0 0)=N)=N函数图象最低点处的函数值的刻画：函

7、数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于对于函数函数f(x)=xf(x)=x2 2而言，即对于函数定义域中任意的而言，即对于函数定义域中任意的xRxR，都有，都有f(x)f(0).f(x)f(0).最小值的最小值的“形形”的定义：的定义：当一个函数的图象有最低点当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值时，我们就说这个函数有最小值.当当一个一个函数函数的的图象图象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.对函数最值的理解对函数最值的理解1.1

8、.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 使得使得 .并不是所有满足并不是所有满足 的函数都有的函数都有最大值最大值M.M.如函数如函数 ,虽然对定义域上虽然对定义域上的任意自变量都有的任意自变量都有 ，但，但1 1不是函数的最大值不是函数的最大值.2.2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小最大的函数值或者是最小的函数值的函数值.例例3.“3.“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般制造时一般是

9、期望在它达到最高点时爆裂是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高如果烟花距地面的高度度h mh m与时间与时间t st s之间的关系为之间的关系为h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+14.7t+18+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到距地面的高度是多少（精确到1 m1 m）？）？分析：分析：烟花的高度烟花的高度h h是时间是时间t t的二次函数，根据题的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少

10、以及这个最大值是多少.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度这时距地面的高度.解：解：画出这个函数画出这个函数h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+14.7t+18+14.7t+18的图象的图象.由二次函数的知识，对于函数由二次函数的知识，对于函数 我们有：我们有：于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5s1.5s是它爆裂的最佳时刻，是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为这时距地面的高度约为29m.29m.例例4.4.已知函数已知函

11、数 ，求函数的最大，求函数的最大值和最小值。值和最小值。解：解：设设x x1 1,x,x2 2是区间是区间2,62,6上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且x x1 1xx2 2 单调性求单调性求最值最值所以，函数所以，函数 是区间是区间2,62,6上的减函数上的减函数.因此，函数因此，函数 在区间在区间2,62,6的两个端点上分的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在别取得最大值与最小值，即在x=2x=2时取得最大值，最时取得最大值，最大值是大值是2 2，在，在x=6x=6时取得最小值，最小值是时取得最小值，最小值是0.4.0.4.【提升总结提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明，函

12、数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此因此解题过程分为两个部分，先证明函数在解题过程分为两个部分，先证明函数在22，66上是减上是减函数，再求这个函数的最大值和最小值函数，再求这个函数的最大值和最小值.例例5 5 已知函数已知函数y y=f f(x x)的定义域是的定义域是 a a，b b，a a c c b b当当x x a a，c c 时，时，f f(x x)是增函数；当是增函数；当x xc c，b b 时，时，f f(x x)是减是减函数，试证明函数，试证明f f(x x)在在x x=c c时取得最大值时取

13、得最大值【证明证明】因为当因为当x xa a，c c 时，时，f f(x x)是增函数，所是增函数，所以对于任意以对于任意x xa a，c c，都有，都有f f(x x)f f(c c).).又因为当又因为当x x c c，b b 时，时，f f(x x)是减函数，所以对于任意是减函数，所以对于任意x xc c，b b，都有，都有f f(x x)f f(c c).).因此对于任意因此对于任意x xa a，b b,都都有有f f(x x)f f(c c)，即，即f f(x x)在在x x=c c时取得最大值时取得最大值1 1设二次函数设二次函数f(x)=xf(x)=x2 2+4x-3+4x-3，

14、函数值，函数值f(2),f(1),f(2),f(1),f(-1),f(5)f(-1),f(5)中，最小的一个是中，最小的一个是()()A.f(2)B.f(1)C.f(-1)D.f(5)A.f(2)B.f(1)C.f(-1)D.f(5)【解析解析】由题意知抛物线的对称轴为由题意知抛物线的对称轴为x=-2x=-2，函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+4x-3+4x-3在在-2,+)-2,+)上是增函数，有上是增函数，有f(-1)f(-1)f(1)f(1)f(2)f(2)f(5).f(5).C C2.2.函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+4ax+2+4ax+2在区间在区间 (-(-，66内

15、递减，内递减，则则a a的取值范围是的取值范围是()()A.a3 B.a3A.a3 B.a3C.a-3 D.a-3C.a-3 D.a-3D D【解析解析】二次函数的对称轴为二次函数的对称轴为x=-2ax=-2a 故只需故只需-2a 6,-2a 6,即即a-3a-33.3.函数函数y=xy=x2 2,x,x-1-1，2 2的最大值为的最大值为_._.【解析解析】函数函数y=xy=x2 2在在-1,0-1,0上为减函数，在上为减函数，在0,20,2上为增函数上为增函数.当当x=-1x=-1时，时，y=1y=1；当；当x=2x=2时，时，y=4y=4，所以函，所以函数数y=xy=x2 2在在xx-1,2-1,2上的最大值为上的最大值为4.4.4，.1.1.函数的最值是函数在其定义域上的整体性质函数的最值是函数在其定义域上的整体性质.2.2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性可以直接使用函数的单调性.3.3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决.在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是后退。亚里士多德