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1、第四章 三相交流电1.关于三相交流电大型发电,输配电系统,均采用三相制。大型交流电动机也是三相制。三相交流电有A、B、C三相,它们的相量关系如图3-1所示。图 3-1ABCN在低压配电系统中,相电压(火线与中线之间的电压),线电压(火线与火线之间的电压),其相量关系如图3-2所示。lUpUo30图 3-22.负载的联接如果电器设备属于单相制,额定电压为220V时,应接在火线与中线之间,额定电压为380V,则应接在火线与火线之间。当电器设备采用三相制时(如三相电机等),设备的三个端第(36)页钮均应接火线。具体联接形式(型或Y型),在电器设备标牌上均有说明。对于对称的三相负载,流过中线的电流为零
2、,因而可以省去中线。第五章 非正弦周期电流的电路5.1 非正弦周期量的分解 矩形波,锯齿波,整流波,脉冲波以及语言,音乐,图象,数据等电信号均属于非正弦周期波形。图5-1中电阻两端的电压u是直流E0与正弦交流电e1的叠加:显然,电压u不是纯粹的正弦周期电压,由此产生的电流也不是纯粹正弦波,而是单向电流。图5-1图5-2(b)是二个不同频率正弦波的叠加图5-2(c)是三个不同频率正弦波的叠加波形图5-2(d)是四个不同频率正弦波的叠加波形我们再看图5-2(a)是一个纯粹的正弦波图5-2正弦波的合成由此可见,非正弦周期信号是若干个正弦波信号(有时亦包括直流)按不同幅度叠加的结果。反过来,一个非正弦
3、周期量也可以分解为直流,基波及各次谐波。设周期函数为f(t),其角频率为,则由高等数学中傅里叶三角函数展开公式可知式中第(37)页例5-1 图5-3中有四种非正弦周期信号,现分别对它们进行波形的分解。图5-3 非正弦周期量(a)对矩形波进行分解由此求出此分解结果,正好印证了图5-2(d)波形叠加所得出的结论。各频谱分量的幅度表示在同一频率轴上,便得图5-4所示频率图。图5-4 矩形波频谱图(令Um=1)对于图5-5所示开关函数,同样可以分解为图5-5 开关函数(b)三角波分解图5-6 三角波频谱图令(Um=1)(c)锯齿波分解图5-7 锯齿波频谱图(令Um=1)第(38)页(d)全波整流波分解
4、图5-8 全波整流波频谱图(令Um=1)5.2 非正弦周期信号激励下线性电路的响应 如前节所述,一个非正弦周期信号可以看成是直流与各次谐波的叠加,因此,线性电路对非正弦周期信号的响应就是电路对这些信号(直流及各次谐波)的响应的叠加。图5-9 非正弦信号激励下线性电路的响应设u0,u1,u2,是u分解后所得各电压分量,即而这些电压分量单独作用该线性电路所得输出电流分别为i0,i1,i2,i3,则根据叠加原理,在非正弦周期信号激励下,该线性电路总的输出电流为 因此,计算非正弦周期信号激励下线性电路的响应,步骤如下:(1)将非正弦周期信号分解成傅里叶级数,从而得到直流及各 次正弦谐波分量。(2)分别
5、计算直流及各次正弦谐波分量单独作用时,电路的响 应。(3)将所得电路的响应(电压或电流)叠加起来,即为所需的 结果。注意:不同频率的正弦量的相加,必须用三角函数式或正弦波 形来进行,不能用相量图或复数式。因为后两种方法是 对同频率的正弦量而言的。例5-1 已知图510输入电压u为非正弦周期电压基波角频率,求电路响应(电流i)。解:运用叠加原理(1)直流分量:因为电路有电容元件,故直流响应电流I0=0(2)基波:第(39)页(3)三次谐波:图5-10 RLC串联电路对 非正弦电压的响应(4)五次谐波:(电感性)所以电流为第六章 电路的暂态分析6.1 换路定则及初始值的确定 图6-1电路根据开关的
6、位置不同,有二种可能的稳定状态。当开关S处于1的位置,电路最终达到下列稳定状态(第一种稳定状态):电容上没有电荷。一、稳态与暂态一、稳态与暂态当开关S处于2的位置,电路最终达到下列稳定状态(第二种稳定状态):(因电容元件不能通过直流电流)电容上储存有电荷Q=CU图6-1 显然,当开关S的位置发生变化时,电路将从一个稳定状态转变为另一个稳定状态,这种转变往往不能跃变,而是需要一定的时间,经历一个过程,这个物理过程就称为过渡过程,又称暂态过程。暂态过程的产生是由于物质所具有的能量不能跃变而造成的。例如当S处于2的位置时,电容元件储有电能 ,如果开关S由2转向1,电能不能跃变,这反映在电容上电压uC
7、不能跃变,过渡过程就是使电容上的电能向电阻逐步泄放,最终电能耗尽达到第一种稳定状态。第(40)页 当开关由位置1变为位置2时,电容上的电荷同样需要一个积累过程,是电源U0的电能向电容C逐步充电,最终达到第二种稳定状态。与电容元件相似,作为储能元件的电感,其上的能量同样不能突变。图6-1 设t=0为换路瞬间,以t=0-表示换路前的终了瞬间,t=0+表示换路后的初始瞬间。从t=0-到t=0+瞬间,电感元件中的电流不能跃变,电容元件上的电压不能跃变,这称为换路定则,用公式表示,即:开关位置的变动,电路的接通,切断等统称为换路。(6-1)二、换路定则 换路定则仅适用于换路瞬间,根据换路定则可以确定t=
8、0+时电路中电压和电流之值,即暂态过程的初始值。三、初始值的确定 步骤如下:1.由t=0-的电路求出 或 。2.根据式(6-1)及t=0+的电路,求出其他电 压和电流的初始值。例6-1 对于图6-2的电路,试确定开关S闭合后的初始瞬间电压 uc,uL 和电流iL,ic,iR 及 is 的初始值。假设S闭合前电路已处于稳态。图6-2 例6-1的电路解:电路分析:S闭合前瞬间,直流恒流源电流仅流经R支路与L支路,电容支路不允许直流通过,C可以认为开路,而L对直流可以认为短路,R支路与L支路所含电阻值均为2K,故iR=iL=10mA/2=5mA,支路端电压u=5mA 2K=10V。电容上电压10V。
9、R因而 根据图6-3(a),在S闭合前瞬间(t=0-)iS=0 ,iC=0 ,iR=iL=5mA uC =uR=5mA 20K=10V ,uL=0再根据t=0-的值及图6-3(b)的电路,可求出S闭合后瞬间(t=0+)画出t=0-瞬间的等效电路如图6-3(A)所示。图6-3iS=15mA ,uL=-10V iC =-10V/1K=-10mA,uC =10V ,iL=5mA,iR=0第(41)页 S闭合后瞬间,各电压电流的实际方向及数值,如图6-4所示:注意:由以上计算可以看到,电感元件中的电流iL是不能突变的,但其电压uL可以跃变,电容元件上的电压uC不能突变,但其电流iC可以跃变,而纯电阻元
10、件其电压uR与电流iR均可突变,因为电阻只消耗电能,不储存电能。图6-4 t=0+瞬间各电压电流的实际方向 6.2 RC电路的响应一.RC电路的放电过程假设:换路前S放于位置2,电路已处于稳定状态,电源对C充电至uC=U,在t=0时S从2合到位置1,电容C即经R开始放电。下面求 根据克希荷夫电压定律及图6-5(a)假定电流方向,t0时的电路方程为 iR+uC =0 或 (6-2)令式(6-2)的通解为 (6-3)代入式(6-2)可得特征方程RCP+1=0 故图6-5RC电路的放电 式(6-3)变为:(6-4)由于t=0+时,uC=U,因而 A=U 这样 式(6-4)变成:(6-5)这就是电容C
11、对R 放电的方程。t0+电路的实际电流电压方向如图 6-5(b)所示。放电曲线如图 6-6 所示。令 则式(6-5)又可写成 (6-6)放电曲线图6-6式中 称为该RC电路的放电时间常数 放电的快慢,决定于时间常数的大小,越大,放电愈慢,如图 6-7所示。图6-7 中,2 1,在一定的初始电压U下,C 越大,储存的电荷愈多,电阻R愈大,放电电流愈小,这都使放电时间延长。放电速度与时间常数的关系图6-7第(42)页例6-2 设开关闭合前电路已处于稳态。t=0 将开关闭合,试求 t0时 电压 uC及电流 iC,i1,i 2在t 0时,S闭合,C 电容上电荷经2及3 放电。放电时间常数:于是放电电压
12、方程:t=0+时,电容上电压解:t=0-时,图6-8例6-2图图6-9t=0+瞬间图6-8的等效电路,电流为实际方向我们把无电源激励,输入信号为零的条件下,电路的响应称为零输入响应。讨论RC电路的放电过程就是研究电路的零输入响应。本节讨论的暂态过程有如下特点:1.外界输入激励电源为零。2.t0+电路的响应(电压或电流)仅由于电容元件(储能元件)的初始状态uC(0+)不为零所产生。故电容放电时的电流方程:二.RC电路的充电过程假定在换路前瞬间(t=0-),电路中所有储能元件均未储有能量,我们把电路的这种初始状态称为零状态。下面讨论的RC电路的充电过程就是分析RC电路的零状态的响应。假设换路前,电
13、路已处于稳定状态,t=0时,将开关S从1合向2,电源U经R对C充电,根据克希荷夫电压定律,列出t0时的电路方程:图6-10 RC充电(6-7)式(6-7)的通解有两个部分:1.特解uC2.补函数uC设uC=k,代入式(6-7)得 k=U于是特解uC=U可见,特解就是uC最终的稳态值。补函数是齐次微分方程(6-8)的通解。令代入式(6-8)得特征方程式第(43)页则再令则因此,式(6-7)的通解为(6-9)图6-11是充电曲线。根据换路定则,t=0+时,uC=0,则A=-U,于是充电电压方程(6-10)图6-11充电曲线全响应是指电源激励和储能元件的初始状态uC(0+)均不为零时电路的响应,也就
14、是零输入响应与零状态响应两者的叠加。现在讨论图6-12的暂态过程。与图6-10不同,图6-12中在换路瞬间(t=0-),电容上已储有电能,因而属于非零状态。我们注意到充电时,电容上电压(即式(6-10)包含两项,第一项U是稳态分量,第二项 是暂态分量。三.RC电路的全响应充电电流(6-11)电阻电压(6-12)所以电压方程(6-13)假定t=0-瞬间uC(0-)=U0,描写 S闭合后电路的暂态过程仍然是方程式(6-9),但起始条件不同,确定积分常数A时,应 根据换路定则,在非零状态下,t=0+时uC=U0,则电容上电压的变化如图6-13所示。图6-12图6-13非零状态下,RC电路的暂态过程如
15、果把式(6-13)改写为方程右边第一项是零输入响应,第二项是零状态响应,足以证明电路全响应是这两种响应的叠加。第(44)页一.基本术语1.稳态与暂态2.换路:电路状态或结构的突然变动3.时间概念:4.换路定则:换路前后,电感中电流不能突变,电容上电压不能突变。小结即意义:可用来确定暂态过程的初始值暂态过程 起点终点起始值稳态值稳态值二.暂态过程分析步骤 1.根据 的电路,确定2.根据换路定则,确定 时的起始值3.根据 电路,列微分方程,求解,得暂态过程的 数学表达式。三.RC电路的放电过程CRU+R+放i(1)(2)式中 RC:时间常数 U:电容上电压起始值第(45)页6.3 微分电路与积分电
16、路 本节讨论在矩形脉冲激励下,RC电路中的充放电过程,以及RC时间常数对输出波形的影响。一.矩形脉冲图6-14 矩形脉冲的产生我们把图6-10电路重画于图6-14中。假定原先开关S在位置 1,在t=0时刻S合到位置2,RC电路与电源接通;在t=t1时,再将S合到位置1,切断电源。这样,RC电路输入端电压u1的波形便是图6-15所示,它是矩形脉冲电压。(但是在实际应用中,可以采用专门的脉冲波发生器,产生脉冲幅度为U,脉冲宽度为tp,脉冲周期为T的脉冲波)。图6-15 RC电路输入脉冲波形如图6-16所示,当该电路参数满足条件:(6-14)且时,可以证明u2与u1具有微分关系。式中 是输入脉冲信号
17、的角频率。下面讨论微分电路充放电过程。二.微分电路图6-16 微分电路1.输入u1上升沿设t=0-时电路已处于零状态。t=0+开始,电路产生零状态的响,应:。电源电压对电容C充电。根据式(6-14)电路条件,电路时间常数很小,充电速度很快,电容上电压UC很快因充电而上升,电阻上电压(即输出电压u2)则很快下降,最终UC =U,u2=uR=0,i=0,充电过程暂告结束,因此根据图6-11充电曲线,只要,输出端便获得如图6-17(b)所示的正向尖脉冲。图6-17微分电路输 入与输出电压波形2.输入u1下降沿在t=tp时刻开始,输入电压u1=0,电路处于零输入响应,电容开始放电,根据图6-7放电曲线
18、,输出端出现负向尖脉冲。3.输入u1平顶期间,电路处于相对稳定状态,在此状态下,电容不允许直流电流流过,故 u2=0。比较u1与u2的波形,在u1上升沿,u2正值且最大,u2 =U;在u1下降沿,u2负值且最大,u2 =-U;u1平顶时,u2 0;所以输出电压是输入电压的微分.下面我们再从电路复数阻抗关系来证明,参阅图6-18。图6-18 由于根据电路参数条件则(6-15)根据正弦时间函数用相量表示后,在数学运算方面具有的基本性质,指出:一个正弦时间函数对时间的求导运算,其对应相量则是乘以j的运算。第(46)页若则它的相量表示为反变换是f(t),就是说的反变换一定为因此式(6-15)的反变换为
19、(6-16)另外,也可以根据电路瞬时电流、电压 的关系来导出式(6-16)。(参阅图6-19)由于根据电路条件,则而(证毕)u1=uC+uRuC所以图6-19三.积分电路使u2与u1具有积分关系的电路参数条件是(6-17)且(6-18)图6-20 积分电路由于条件,电路时间常数很大,充放电速度缓慢,而相对而言,电路换路时间间隔却较短,结果电容两端电压(u2=uC)便如图6-21所示。积分电路输入输出波形图6-21从数学上推导,由于,充放电很缓慢,电容上电压变化很 缓慢,uCuR,u1 uR=iR故(6-19)或者以相量表示由于,故,(6-20)式(6-20)经反变换,得6.4 RL电路的响应换
20、路前S在位置2,电感中有电流,稳态值为一.RL电路的零输入响应(6-21)其特征方程t=0时,S合在位置1,电路处于零输入响应,列出t0时的微分方程图6-22RL电路的零输入响应Lp+R=0根为于是,式(6-21)的通解是第(47)页图6-23是RL电路的放电曲线在t=0+时,根据换路定则式中 是RL电路的时间常数。i(0+)=i(0-)=I0则 A =I0(6-22)由此可求得电阻上电压电感上电压RL电路零输入响应(放电曲线)图6-23二、RL电路的零状态响应在t=0时刻,S合向位置2,相当于RL电路输入 一阶跃电压u=U,根据克希荷夫定理,t0的电路方程为(6-23)该方程的通解有两个部分
21、:特解i 和补函数i。求补函数时,先列出式(6-23)的特征方程LP+R=0其根为于是得特解i 就是电流i最终的稳态值因此式(6-23)的通解(6-24)在 t=0+时,i=0,则得因而(6-25)图6-24RL电路零状态响应(充电)式中=L/R是时间常数。式(6-25)表明RL电路充电电流也由稳态分量与暂态分量两部分组成。所求得的充电曲线如图6-25(a)所示。RL电路充电时 UR 及 UL 为(6-26)(6-27)如图6-25(b)所示。时间常数 越小,暂态过程进行得越快,因为=L/R,L愈小,阻碍电流变化的作用也愈小;R愈大,则在同样电源电压下,充电最后达到的稳态电流I0(或者放电电流
22、的初始值)愈小,储能越少,这都使暂态过程缩短。图6-25RL电路零状态响应(充电曲线)三.RL电路的全响应开关S闭合前,t=0将S闭合后,电路的微分方程和式(6-24)相同,即但初始值不同,这里则积分常数所以(6-28)图6-26RL电路全响应式中,右边第一项为稳态分量,第二项为暂态分量。把式(6-28)改写成:(6-29)式中,右边第一项是零输入响应,第二项为零状态响应,两者叠加即为全响应i。第(48)页第六章 暂态过程(小结)一.基本电路元件:R,L,C1.电容元件q=cuc伏安特性特点:iC正比于uc变化率与uc绝对值无关。uc不能突变,因为“突变”意味着 ,是不可能的。如果激励是电流,
23、响应是电压,则t =t0时刻电容上电压式中第一项uc(0-)是t=0-时刻电容上已经积累的电压,它是该电容过去历史状态的总结,并以此作为起点,即初始电压;第二项是t=0-以后电容上形成的电压。电容元件储存的电场能可见:电容元件不仅是储能元件,而且是记忆元件。2.电感元件磁链:伏安特性感应电压:如果激励是电压,响应是电流,则左边第一项是初始电流,第二项是t=0-以后电感中形成的电流。电感元件储存的电磁能电感元件同样具有双重功能:储能与记忆。电容与电感统称“动态元件”。特点:uL正比于iL变化率与iL绝对值无关;iL不能突变,因为“突变”意味着 ,是不可能的。第(49)页二.暂态过程1.统一表达式
24、:三要素分析法稳态分量 初始值2.初始值f(0+)的确定步骤如下:根据t=0-的稳态电路,求uC(0-)或iL(0-)。画出t=0+的等效电路,求t=0+的值,即初始值。在等效电路中电容可等效为恒压源,电感等效为恒流源。3.稳态分量f()的确定令电感短路,电容开路,画出换路后电路达到稳定状态时的等效电路,求f()。4.求时间常数令原电路中恒压源短路,恒流源开路,画出换路后求的等效电路。例题 6-5(P.264)求i1(t)及uC(t)10mAI解:本题是求零输入响应(1)由t=0-等效电路,求得(2)由t=0+等效电路,求i1初始值t=0C3k6kR2R1R33k2mFuC(t)6k3k+等效
25、电路例题 65 图 10mA(3)稳态分量,(4)画出求的等效电路由于故(5)例题 6-10求uC(t)解:这是分析全响应(1)画出t=0-电路求得6k3k+t=0+等效电路3k60Vi1(0+)6k3k3kR2R1R3C求等效电路例题6-10t=0+等效电路(2)画出t=0+电路列方程:解得(3)求 的值故t=0+等效电路等效电路第(50)页(4)求秒(5)uC暂态方程:(V)例题:求下列电路i1,i2,iC及uL的初始值,假定t=0-时,电路已处于稳定状态。+10V3k2k4kSLCt=0i1i2iCiLuL+解:(1)先画出t=0-的等效电路,由于电路已处于稳定状态,求 等效电路故电感L看成短路,电容C看成开路,由此得(2)画出t=0+的等效电路,求初始值+10V3k2k4ki1(0+)i2(0+)iC(0+)iL(0+)uL(0+)+4Vab2mA下面求iC(0+):对于节点a,得t=0+等效电路t=0-等效电路再列回路方程:得V
限制150内