大学物理实验理论误差与数据处.ppt

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1、大学物理实验理论误差与数据处理理工学院物理实验教学中心内容分为四部分测量误差不确定度有效数字数据处理第一部分 测量误差第一节 测量与误差1.1 测量分类1、按照得到测量结果的方式分2、按照测量条件分（1）直接测量：由仪器直接得到测量值（2）间接测量：由仪器间接得到测量值举例：VRAE测量电流 I 为 测量？测量电阻R 为 测量？测量电压V 为 测量？注：注：直接还是间接测量取决于所用仪器，例如电桥测电阻为直接测量。直接直接间接（返回）（1）等精度测量：（2）不等精度测量：对同一物理量在相同条件（指测量仪器、方法、环境、观测者等）下进行的多次测量；在不同测量条件下进行的多次测量。例如：用多档位电

2、流表测电流时，为防止烧坏电表，总是先用大档位粗测电流后，在用小档位细测，这种测量便是不等精度测量。1.2 误差 误差定义：误差定义：指测量值x与真值A之间的差异。误差表示方式误差表示方式有两种：（1）绝对误差：=x-A；有单位，可正可负，不能反映准确度。（2）相对误差：，无单位，可正可负，能反映准确度。例如：两电阻 ，绝对误差均为 ，无法判断哪一个测量更准确。但从相对误差 便可判断准确度。1.3 误差分类（1）系统误差：（2）随机误差：在相同条件下多次测量同一物理量时，误差的大小、符号恒定；或在测量条件改变时，误差的大小和符号按一定规律变化。在相同条件下多次测量同一物理量时，由于不可预知的随机

3、因素，出现时大时小、时正时负的误差。第二节 系统误差 2.1 系统误差的来源（1）仪器本身的缺陷（如天平不等臂）或安装调试不当（零位不在零点）；（2）实验原理或方法不完善，如伏安法测电阻时未考虑电表电阻引起的误差；（3）环境引起的，如温度产生的零漂；（4）主观误差，由观测者的习惯造成的。2.2 系统误差的发现1、实验对比法（1）采用不同的测量方法测同一物理量，看结果是否一致；（如伏安法和电桥法）（2）更换不同的仪器、仪表测同一物理量；（3）改变测量步骤；如升温和降温（4）改变实验条件或测量者。2、理论分析：3、数据分析法：分析理论公式的条件和仪器的使用条件是否与本实验相符。一旦条件不符，必然会

4、出现偏差，甚至是错误（真理的条件性）。系统误差不满足概率分布，因此误差总是偏向一侧。2.3 系统误差的处理1、对于已知的系统误差，给结果加一个负误差或给出一个修正公式即可；2、对于难以找出的系统误差，要采用下面的办法尽量抵消：L1L2xT(1)替代法：对未知量测量后，再用标准量代替未知量所得的结果即为所测量。如图：为不等臂天平，用砝码P代替未知量x，使天平再次平衡，则P即为待测值。当臂长L1和L2测出时，可用力矩修正公式 （此为？测量）（2）抵消法：（3）交换法：正误差和负误差方向各测一次，取平均；如居里温度测试。将被测量与标准量互换进行两次测量，取平均值；如（1）中的不等臂天平。（4）半周期

5、偶数观测法：偶数次观测后取平均；如分光计。（5）对称观测法：随时间线性变化的系统误差，可将观测程序相对某时刻对称地再测一次，然后取平均；如灵敏电流计测前和测后分别校对一次零点，然后对零点取平均。（返回）3.1 统计规律 第三节 随机误差的数学处理随机误差是随机因素产生的，因此很难预料，也无法消除，只能按其满足的统计规律进行数学处理。多次测量的误差满足正态分布，具有以下特点：（1）对称性：正负误差出现的概率基本相同；（2）有界性：存在绝对值最大的误差；（3）单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝 对值大的误差出现的概率小；（4）抵偿性：当测量次数足够多时，绝对值相等 的正负误差出现的概率大致相等

6、，可相互抵消。3.2 随机误差的估算正态分布图：横坐标为误差，纵坐标 为误差概率密度，误差的总概率为1：。图中称为标准误差，是曲线拐点的横坐标。越小，曲线越窄，误差分布越集中，可靠性高（黑线）；反之，可靠性低（蓝线）。数学理论 概率函数满足高斯分布：。令此函数的二阶导数为零，所求得的值即为概率曲线拐点的横坐标。误差在-，区间的概率为 ，把该区间称为置信区间，在此区间上的误差是可信的。经计算 ，说明标准误差即是均方根误差，即3.3 算术平均值与标准偏差1、算术平均值一组测量数据 的算术平均值为：算术平均值是真值的最佳近似值，因为2、标准偏差真实值是无法测得的，常用算术平均值来代替。测量值与算术平

7、均值的差 ，称为偏差，即 。对上式平方求和整理得：又考虑到正态分布的对称性，故类比标准误差，定义标准偏差为表示这组数与其平均值的离散性。3、算术平均值的标准偏差 因为一组数据不可能有无限多，所以在相同条件下，测得的不同组数据的平均值也不完全相等，即它们与真值之间存在离散性，我们引入算术平均值的标准偏差，可证明其为：4、测量次数很少时置信区间的确定 当测量次数较少时，戈塞特提出一套t分布理论，可使置信率仍保持0.683。其中因子 ，以 作为置信区间，便可保证置信率。n234567891015 20t1.841.32 1.201.141.111.091.081.071.061.04 1.031下面

8、给出测量次数与t因子的对应关系：（返回）第二部分 不确定度表示 误差理论中提出的误差对于评介测量结果质量并不科学，因此人们又提出了不确定度，作为评介测量结果质量的国际惯例。测量的不确定度表示是一个比较复杂的理论问题，在物理实验中仅是一中简化表示。1.1 直接测量不确定度的评定 测量不确定度简称不确定度，是测量结果带有的一个参数，用以评定测量结果的可靠性，它是被测量的真实值在某个量值范围内的一个评定，即测量结果写成：，称做不确定度，称置信区间，表达式的含义为被测量的真实值以一定的概率P落在该区间内，P称为置信概率。直接测量不确定度分为：A类不确定度：B类不确定度：由观测数列用统计方法评定的；由观

9、测数列用非统计方法评定的。A类标准不确定度的评定 在等精度条件下对同一被测量多次测量，考虑所有已知的误差，并做出修正，用算术平均值表示测量结果，由一组测量数列用统计分析方法计算算术平均值的标准偏差 ，结果表示为 ，即其统真实值落在 区间的概率是68.3，与不确定度的含义是一致的。因此用 作为不确定度的A类评定，记作：。当测量次数较少时，仍需将不确定度 乘以一个t因子。（返回）B类不确定度的评定 在测量过程中，必然涉及所用材料的一般特性参数、制造说明书、检定证书、所用仪器所提供的检定数据以及取自手册的一些参数，这些都会造成测量结果的不确定性。这类不确定性不能用统计分析的方法加以评定，这称为B类评

10、定，评定的依据就是上述内容提供的一些信息。应该强调的是这些信息造成的不确定性仍具有概率分布特性，所以B类不确定度仍可估算标准偏差，只不过不能用统计分析的方法估算。例如以下几种情形：（1）不确定度给出为标准差的若干倍(2)不确定度给出较大的置信率区间例如：一标值为1000g的标准砝码，检定证书给出信息：“质量1000.000325g，该值的不确定度按三倍标准差为240mg”。则该值的B类标准不确定度SB=240mg/3=80mg。例如，标值为10的标准电阻，标准证书给出“在23时，为10.000742+129m(P=O.99)”。则置信率为99，所以129m不是标准不确定度，它是展伸不确定度（即

11、置信率不是O.683的不确定度，它是由标准不确定度乘以一个称作包含因子的系数KP得到的。包含因子与置信率的关系是：(3)通常信息给出的是仪器误差限 P50%68.3%90%95%99%99.7%KP0.6745 11.6451.962.5763许多仪器给出的不是不确定度，而是误差限，则B类标准不确定度为 。其中系数K视的概率分布而定，若为正态分布，则K=3；若为均匀分布，则 ；若为三角分布 。高级别的仪器可视为正态分布，通常均视为均匀分布。由表可知，129m是由标准不确定度乘以2.576得到的，所以电阻R的B类标准不确定度SB=129mg/2.576=50mg。不同性质不确定度的合成 一个测量

12、结果，一般情况下总是存在不同性质的A类和B类标准不确定度，它们的评定方法虽然不同，但都具有概率特性，所以可以把它们直接合成为：。在很多情况下，被测量Y不能直接测得，而是由N个其他量X1，X2，XN决定，即 。设X1，X2，XN的测量值分别为x1，x2，xN，被测量Y的测量值可表示为 。各测量值的不确定度 必然造成y的不确定度 。各xi的不确定度 可得自于A类和B类评定，y的不确定度记为：1.2 间接测量标准不确定度的传递公式 或1.3 举例 例1 使用精度为 的分光计测量一块三棱镜的顶角10次，其结果列于表中，试表达测量结果。n123456789100分 4-3156-2-7-3-101691

13、253644991解：算术平均值为算术平均值的A类标准不确定度为：该分光计的误差限=1分，故A类和B类不确定度的合成为相对不确定度为对三棱镜顶角的测量结果表示为 注：通常绝对不确定度只保留一位有效数字，对于中间过程可保留两位,比如求E时的S便取两位。而相对不确定度通常取两位。例2 用0125mm、分度值为0.02mm的游标尺测量一个钢球的直径d，进而求钢球体积V的间接测量结果。解：实验所测得的原始数据如下表：B类不确定度测量次数123数值mm5.885.865.88钢球直径平均值为A类不确定度注：上式中3次测量的因子 ，今后无特别说明t都取为1。直径的总不确定度为钢球体积的不确定度为（返回）钢

14、球体积为钢球体积的测量结果为注意注意：p作为中间量，所取的有效位应比最终结果多一位；同理，直径的不确定度作为中间变量也应取两位有效数字。如何决定有效数字的位数将在下面的章节中作详细说明。即直径的测量结果为第三部分 有效数字1.1 基本概念 所有可靠数字和末位的一位有疑问的数字（存疑数字）统称为测量结果的有效数字。如右图：（厘米尺）图a测量的有效数字为2.4cm图b测量的有效数字为2.43cm注：存疑数字与不确定度数对齐，多余位需舍弃。1.2 多余尾数的舍入规则1、不确定度的舍入规则 不确定度一般只保留一位有效数字。为了保险，多采用全入的办法。对相对不确定度，通常保留两位有效数字，结尾部分按下面

15、一般数据的舍入规则进行舍入。2、一般数据的舍入规则 “四舍五入”规则入的机会总是大于舍的机会，因而不合理。现在通用的规则是：“四舍六入五凑偶”，即被舍位数字小于五舍大于五入；等于五时，若保留的末位数字为奇数时，则加1，为偶数时则不变，即把保留的末位数凑为偶数。例如：对下面数保留4位有效数字。3.510593.5103.511593.5121.3 有效数字的几个注意问题1、“0”在数据中的作用 “0”在其他数字之间或之后为有效数字，在之前则不是有效数字。例如：O.3和0.03都是一位有效数字，而103.00则是五位有效数字。2、单位换算对有效数字的影响 非十进制单位换算时，有效数字位数可以改变。

16、例如时间 min，1.8为两位有效数字，误差位在O.1min=6s位上。若以秒为单位，应写成：s，误差位仍在秒位上，并未改变数据的精度，但180为三位有效数字。十进制单位换算不影响有效数字 例如80.20g是四位有效数字，若用千克单位表示则为O.08020kg，仍为四位有效数字。但是用毫克单位表示写成80200mg，就有问题了，因为按有效数字规定，最后一位也有误差的数，原来数据80.20g有误差数是在1/100g位上，当写成80200mg时有误差数是在1/1000g位上，则数据的准确性变了。为了解决这个矛盾，应使用所谓科学记数法，即把数据写成小数点前只有一位，再乘以lO的幂次来表示。如上述质量

17、数据可写成8.020104mg或8.02010-2kg，它们都是四位有效数字，这样在十进制单位换算时，不会改变有效数字的位数。1.4 运算结果的有效数字规则1、参与运算的物理常量或常数（如p），保留的位数比运算数据中位数最少的多一位即可；2、加减运算f=x+y+z （1）运算结果的有效数字的末位应与小数点位最高的分量末位对齐。（2）由传递公式计算不确定度，中间过程取两位，最终取一位。（3）最后由不确定度决定结果的末位有效数字。例如：求 f=x+y-z，其中解：不确定度为 而故最终结果为4位有效数字注意注意：若 时，则3、乘除法 f=xyz（1）以有效位数最少的分量为准，将其他分量取到比它多一位

18、，计算得到f 的有效位数和有效位数最少的分量相同；（2）若分量给出了不确定度，则（1）的结果还要多保留一位或多位，再用传递公式计算不确定度；（3）由不确定度决定最终结果的有效数字位数。例如：求 ，其中测得 ，。解：所以，最终的结果为：注意：若 ，则 ；若 ，则 。4、乘方和开方结果的有效数字同乘除。5、函数的运算规则及有效数字（1）通常函数的有效数字同自变量的；（2）若自变量给出了不确定度，则（1）的结果多保留一位或几位，再用传递公式计算函数的不确定度；（3）由不确定度决定最终有效数字位数。另外，自变量未给出不确定度，还可以用近似不确定度的办法确定函数的有效数字位数。自变量的近似不确定度即为量

19、具的最小分度值。例1：解：注意：若x未给出不确定度，可取其近似不确定度为量具的最小分度值1分，进而可求出y的不确定度，最后决定y的有效数字位数，如例2。已知 ，计算 。例2：解：x的近似不确定度为 已知 ，计算 。由y的不确定度决定了y的有效数字需保留到小数点后3位。通常对数的小数点后的位数与真数的有效位数相同。总结：当分量未给出不确定度时：加减运算结果的小数位数与分量中小数位数最少的取齐；而其他运算结果的有效数字位数同有效位数最少的分量的位数；函数的有效位数同自变量的有效位数。（返回）当分量给出不确定度时：首先由传递公式求出不确定度，再由不确定度决定结果的有效位数。第四部分 数据处理 常用的

20、数据处理办法有：（1）作图法（2）逐差法（3）最小二乘法第一节 作图法 1.1 图示法1、概念：一组测量数据以及物理量之间的关系在一固定坐标系内以图线的形式表示出来。2、作图规则（1）根据不同需要，选取合适的坐标纸。（2）选择和标定坐标轴。一般以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。坐标轴一定要标明所代表物理量的名称及量度单位。坐标轴标定要利于读数，通常以l代表1，2，4，5，8个单位值，而不要代表3，7，9个单位值。原点坐标可根据实际需要确定，不一定均为(0，0)，这样可使图线协调。(3)数据点的表示。在图纸上，实验点要用一定的符号表示出来。(4)图线的拟合。根据图纸上标出的各点数据，用所谓拟合法

21、拟合成一条较理想的图线，在顾及到各数据点的同时，使拟合成的图线呈光滑的曲线或直线，并不要求图线通过所有数据点，只要通过各数据点的误差矩形即可，但最好使不在图线上的数据点较均匀地分布在图线的两侧。(5)一定要标明图线的名称及获得此图线的实验条件，如可能最好将所测得数据以表格形式列在图纸的适当位置。1.2 图解法图解法就是利用所拟合的图线求解问题。1、确定直线的斜率和截距。例如：电阻温度关系 ，由测量 数据得到的直线的纵轴截距即为 ，而直线的斜率为 ，从而可得到电阻温度系数 。过 、两点直线的斜率为：，其相对误差为 。2、线性转换 实际中遇到的被测量间的关系有些并非线性关系，也就不能直接求斜率和截

22、距，这时可通过变量代换将非线性关系转化成线性关系。例如：单摆的周期T与摆长L的关系在0级近似下为 ，二者并非线性，但令 ，则X与L成为线性关系，可用图解法处理。或者对上式两边取对数得：，从而对数lnT与lnL变成了线性关系。（返回）第二节 逐差法 逐差法是把实验测得的数据列成表格，然后进行逐次相减或等间隔相减的处理办法。逐差法计算简便，可以随测随检，及时发现数据差错和数据规律。例如：伸长法测钢丝绳的杨氏模量数据如下加码质量（kg）标尺读数（mm）逐次相减（mm）等间隔减（mm）增码减码平均值099.099.4L0=99.2L1-L0=14.3L1=L3-L0 =43.12113.0114.0L

23、1=113.5L2 L1=14.84128.0128.5L2=128.3 L3 L2=14.0 L2 =L4 L1 =43.56142.0142.5L3=142.3 L4 L3=14.78156.0158.0L4=157.0 L5 L4=13.0 L3 =L5 L2 =41.710170.0L5=170.0由表可知：最后一个伸长量L5 L4=13.0mm，与前几个相差偏大，这是因为最后一个数据为单次测量，所以误差不能被抵消，这种数据在计算中应尽量回避。任取两个数据就可以求出杨氏模量，不过这样不能充分利用数据去抵消掉一部分测量误差的影响。但利用逐次相减值求平均也不行。因为，这样的平均值：实际上仍

24、然只用了两个数据，误差较大。逐差法是将数据分成L0、L1、L2和 L3、L4、L5两组，然后求两组间隔最大的差值，然后再取差值的平均值，即 上述平均值是6kg砝码重量的伸长量，故杨氏模量为：用逐差法求得的结果，还可以估计它们的不确定度。根据不确定度传递关系，在忽略砝码的不确定度后，K的不确定度就由 的不确定度决定，暂不考虑B类不确定度，可根据L的三次结果，计算其A类标准不确度为 由于对L只相当于测了三次，所以需要引入t因子，查得在n=3时，t=1.32，因而L的置信区间应为 。（返回）第三节 最小二乘法（亦称线性回归法）最小二乘法拟合曲线是以误差理论为依据的严格方法，是实际研究工作中采用的正规

25、数据处理方法。3.1 原理 设 是某一待测量的各次测得值，假设存在一个 ，各测值与 的偏差记为 ，计入所有偏差 （为了避免正负偏差相互抵消，此处取平方和）。当和最小时，便是待测量的最可信赖值。这就是最小二乘法原理的数学描述。此式可从等精度测量的误差概率正态分布规律推出，在此不做证明。3.2 最小二乘法原理的应用 1、确定一组等精度测量的最佳值 根据最小二乘法原理，最佳值应满足 。当上式等于0时，即 。说明算术平均值是被测量的最佳逼近值。2、拟合线性方程系数的确定 假设拟合的线性方程为y=ax+b，由于x、y的测量误差的出现，使得a、b值不是唯一的，只能从大量的x、y的测量值中求得a、b的最佳值

26、。假设a、b的最佳值是A、B，则最佳方程（也称回归方程）为 ，其中 是因变量y 的回归值 若测得n组(x,y)值，将有n个回归方程 。必然存在偏差 。根据最小二乘法原理得：根据多元函数极值的必要条件，A与B应满足：令则此即由变量的测得值求线性方程的最佳待定系数的公式。注意注意：只有当x和y之间存在线性关系时，拟合的直线才有意义。为了检验拟合的直线有无意义，在数学上引入一个叫相关系数r的量，它的定义为 当r接近1时，说明数据线性关系良好；若与1相差很多，则表明x、y根本不存在线性关系。3.3 最小二乘法应用举例例 使温度改变，测某铜线的电阻，数据如下表，求铜线的电阻温度系数及其在O时阻值。t/17.826.937.748.258.3R/3.5543.6873.8273.9694.105 由数据粗略作图发现有线性关系，可线性方程令为：方程中R0为0 时电阻，a为电阻温度系数。由所给数据可知：系数电阻温度系数为最终结果讲解完毕 谢谢大家！