(管理)第八章 第8节多元函数的极值及其求法.ppt

《(管理)第八章 第8节多元函数的极值及其求法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(管理)第八章 第8节多元函数的极值及其求法.ppt（30页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第七节第七节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值11 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义2(1)(2)(3)例例1 1例例例例32 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证45 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的时为零的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：67例例4 4.求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点(1,0)处为极小值;在点(

2、1,2)处不是极值;解方程组的极值.求二阶偏导数8例例4 4 求函数驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.的极值.9例例5.讨论函数及是否取得极值.解解:显然(0,0)都是它们的驻点,并且在(0,0)都有在(0,0)点邻域内的取值可能为因此 z(0,0)不是极值.因此当时,为极小值.正正负负0在点(0,0)1011求最值的一般方法求最值的一般方法：将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者

3、即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值12解解如图如图,131415解解 由由1617例例8.8.解解:设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x,y m,则高为则高为水箱所用材料的面积为水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最

4、省？问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？因此可断定因此可断定此唯一驻点就是最小值点此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为即当长、宽均为,高为高为时，水箱所用材料最省。时，水箱所用材料最省。18三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法极值问题极值问题无条件极值无条件极值:对自变量只有定义域的限制对自变量只有定义域的限制条件极值条件极值:对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有还有 其它条件限制其它条件限制 19条件极值的求法条件极值的求法.在条件在条件 下下,求函数求函数 的极值的极值.方法一方法一 代入法代入法从条件从条件 中解出中解出 求一元函数求一元函数在

5、条件在条件 下下,求函数求函数 的极值的极值转转化化的无条件极值问题的无条件极值问题20方法二方法二.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法在条件在条件 下下,求函数求函数 的极值的极值.分析分析:设条件方程设条件方程 则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数极值点必满足极值点必满足可确定隐函数可确定隐函数极值问题极值问题,极值点必满足极值点必满足故故21在条件在条件 下下,求函数求函数 的极值的极值.引入辅助函数引入辅助函数极值点极值点必满足必满足辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日(Lagrange)函数函数.利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格

6、朗日乘数法.22推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形束条件的情形.设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 .例如例如,求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件23例例9 要设计一个容量为要设计一个容量为 的长方体开口水箱的长方体开口水箱,试问试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？使使则问题为求则问题为求令令解方程组解方程组得得由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的2倍时，所用材料最省。倍时，所用材料最省。解解:设设分别表示长分别表示长,宽宽,高高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.在条件在条件因此因此,当高为当高为24解解则则25解解262728可得可得即即由实际问题及驻点唯一性知由实际问题及驻点唯一性知2930