导数及其应用3-2利用导数研究函数的性质.ppt

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1、n重点难点n重点：1.用导数判定函数单调性的方法n2函数极值的概念及求法、函数的最值n难点：导函数的图象与函数单调性的关系n知识归纳n1函数的单调性n(1)设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，如果f(x)0，则f(x)在区间(a，b)内为增函数；如果f(x)0，则f(x)在区间(a，b)内为减函数n(2)如果在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)等于常数n对于可导函数f(x)来说，f(x)0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的充分不必要条件，f(x)0是f(x)在(a，b)上为单调减函数的充分不必要条件，如f(x)x3在R上为增函数，但f(0)0，所以在x0处不满足f(x)0.n(3)利

2、用导数判断函数单调性的一般步骤n求导数f(x)；n在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0；n根据的结果确定函数f(x)的单调区间n2函数的极值n(1)函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，称x0为函数f(x)的一个极小值点极大值与极小值统称为极值n(2)判断极值的方法：当函数f(x)在点x0处可导且f(x0)0.n如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)为极大值；n如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值n3函数的最大值与最小值n(1)

3、函数的最大值与最小值：在闭区间a，b内可导的函数f(x)必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值n(2)求极值与最值的步骤：n第1步求导数f(x)；n第2步求方程f(x)0的所有实数根；n第3步考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值n第4步将f(x)的各极值及f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值n注：据新课标的要求，有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个

4、极值点，那么不与端点值比较，就可以知道这一点就是最大(小)值点n误区警示n1利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题n(1)利用导数值的符号来求函数的单调区间，必须在函数的定义域内解不等式f(x)0(或f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件n2若yf(x)在(a，b)内可导，f(x)0或f(x)0，且yf(x)在(a，b)内导数f(x)0的点仅有有限个，则yf(x)在(a，b)内仍是单调函数n3讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论n4极值与最值的区别和联系n(1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单

5、调性.n例1函数yxcosxsinx,0 x2的单调减区间为_n解析：ycosxx(sinx)cosxxsinx，n当x(0，)时，y0.n此函数的单调减区间是(0，n答案：(0，n(文)函数yx3axb在(1,1)上为减函数，在(1，)上为增函数，则()nAa1，b1Ba1，bRnCa3，b3 Da3，bRn解析：f(x)3x2a，由条件f(1)0，na3，bR.n答案：Dn(理)(09广东)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()nA(，2)B(0,3)nC(1,4)D(2，)n解析：f(x)ex(x3)exex(x2)，n由f(x)0得，x2.nf(x)在(2，)上是增函数n答案：D

6、n例2(文)求函数yx3x2x在区间2,1上的最大值与最小值n点评：注意体会掌握用导数求函数极(最)值的方法步骤n(理)已知函数f(x)x36x29xm.n(1)求f(x)的单调递增区间n(2)若f(x)在区间0,4上的最小值为2，求它在该区间上的最大值n解析：(1)f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)0得，1x3.nf(x)在区间(1,3)上单调递增n(2)由f(x)0得x3，nf(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增，在3,4上单调递减，f(0)m，f(1)m4，f(3)m，f(4)m4，且m40，f(x)为增函数，x(0,2)时，f(x)0，f(x)为增函数n只有C

7、符合题意，故选C.n答案：Cn(文)已知函数yxf(x)的图象如右图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，yf(x)的图象大致是()n分析：导函数f(x)与原函数f(x)的图象之间的关系，应抓住f(x)0时，f(x)单调增，f(x)0时，f(x)单调减f(x)的极值点是f(x)0的点n解析：当0 x1时，xf(x)0nf(x)1时，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(1，)上为增函数，因此否定A、B、D.故选C.n答案：Cn(理)(2010广东省东莞市模拟)已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是()n解析：由图可知，当x0

8、时，f(x)0，函数f(x)的图象在(0，)上是单调递减的；当x2时，f(x)0时，若x0；若x0，则f(x)3，试判断f(x)在(0,1上的单调性，并证明你的结论；n(3)是否存在实数a，使得当x(0,1时，f(x)有最大值1?n分析：先用转化的方法求出f(x)在(0,1上的解析式，然后求其导数f(x)，判断f(x)的符号得出其单调性，再结合单调性讨论其最值的存在性，判断能否取得最大值1.n解析：(1)当x(0,1时，x1,0)，nf(x)x3ax，n函数f(x)是偶函数，nf(x)x3ax(x(0,1)n(2)f(x)3x2a，nx(0,1，3x23,0)，n又a3，3x2a0.n即f(x

9、)0，f(x)在(0,1上是增函数n设曲线yex(x0)在点M(t，et)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t).n(1)求切线l的方程；n(2)求S(t)的最大值.n解析：(1)因为f(x)(ex)ex，n所以切线l的斜率为et，n故切线l的方程为yetet(xt)，n即etxyet(t1)0.n(2)令y0得xt1，n又令x0得yet(t1)，nt0，t10，et(t1)0，nS(t)(t1)et(t1)(t1)2et，n从而S(t)et(1t)(1t)n当t(0,1)时，S(t)0，n答案Cn(理)已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值为3，那么此函数在2,

10、2上的最小值是()nA37 B29nC5 D以上都不对n答案An解析f(x)6x212x，由f(x)0得x0或x2，当x2时，f(x)0，当0 x2时，f(x)0，nf(x)在2,0上单调增，在0,2上单调减，n由条件知f(0)m3，f(2)5，f(2)37，故选A.n答案Dn答案An(理)(2010重庆文，19)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数n(1)求f(x)的表达式：n(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值n1函数yax3bx2取得极大值或极小值时的x的值分别为0和，则()nAa2b0 B2ab0nC2ab0 Da2b0n答案Dn2(2010厦门三中阶段测试)已知f(x)lnxx2bx.n(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；n(2)当b1时，设g(x)f(x)2x2，求证函数g(x)只有一个零点n当0 x0；当x1时，g(x)0，n函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减，n当x1时，g(x)g(1)，而g(1)0，g(x)0，n函数g(x)只有一个零点