常微分方程28一阶微分方程习题.ppt

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一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解 关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法 代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法 选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程 1例1.求下列方程的通解求下列方程的通解提示提示:(1)故为分离变量方程:通解2方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为3方法方法 1 这是一个齐次方程.方法方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程.4例2.求下列方程的通解求下列方程的通解:提示提示:(1)令 u=x y,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为5令 y=u t(齐次方程)令 t=x 1,则可分离变量方程求解化方程为6变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:7例3.设 F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:8(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是 9