教育专题：最短路径问题0.ppt

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1、PPT模板下载： 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题引言：引言：前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线两点的所有连线中，线 段最短段最短”、“连接直线外一点与直线上连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最各点的所有线段中，垂线段最短短”等的问题，我们称它们为等的问题，我们称它们为最短路径问最短路径问 题现实生活中经题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，常涉及到选择最短路径的问题，本节本节 将利用数学知识探究数学将利用数学知识探究数学史中著名的史中著名的“将军饮马问题将军饮马问题”如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条地有三条路可供选

2、择，你会选走哪条路路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？最近？你的理由是什么？两点之间两点之间,线段最短线段最短()两点在一条直线异侧 已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的侧，在的侧，在L上上求一点求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。A.A.B.BP思考思考:为什么这样为什么这样就就能得到最短距离呢？能得到最短距离呢？ABl BP 点点P P的位置即为所求的位置即为所求.M 作法：作法：作点作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B.B.连接连接AB,AB,交直线交直线l l于点于点P.P.()()两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧已知：如图已知：如图,A,

3、A、B B在直线在直线L L的同一侧，在的同一侧，在L L上求一上求一点，使得点，使得PA+PBPA+PB最小最小.为什么这样做就能得为什么这样做就能得到最短距离呢？到最短距离呢？zxxkMA+MBPA+PB 即即MA+MBPA+PB 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边问题问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直

4、的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？程最短？Zx,xkBAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 BAl运用新知运用新知练习如图，一个旅游船从大桥练习如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前

5、往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径 Z,xxkABCPQ山山河岸河岸大桥大桥运用新知运用新知基本思路：基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线段段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到一点上找到一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小”Zxx

6、.k ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥问题问题2（造桥选址问题）如图，（造桥选址问题）如图，A和和B两地在一条河的两岸，两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从，桥造在何处才能使从A到到B的的路径路径AMNB最短？最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）问题解决问题解决如图，平移如图，平移A到到A1，使，使A1等于河宽，连接等于河宽，连接A1交交河岸于作桥，此时河岸于作桥，此时路径最路径最短短.理由；另任作桥理由；另任作桥，连接，连接，.由平移性质可知，由平移性质可知，.AM+MN+BN转化为转化为，而，而转转化为化为.zx.xk在在中，由线段公理知中，由线段公理知A1N1+BN1A1B因此因此 AM+MN+BNBAA1MN布置作业布置作业教科书复习题教科书复习题13第第15题题