工程力学14-2-课件.ppt

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1、工程力学（A）北京理工大学理学院力学系 韩斌(14-2)(14-2)46+5/III12 12 扭转扭转12.1 12.1 圆轴扭转时的应力分析圆轴扭转时的应力分析1.扭转的概念扭转的概念扭转是扭转是4种种基本变形基本变形(轴向拉压、剪切、扭转、弯曲轴向拉压、剪切、扭转、弯曲)之一之一扭转的特点：扭转的特点：几何几何直杆直杆(轴轴)圆截面轴（实心、空心）圆截面轴（实心、空心）非圆截面轴非圆截面轴外力外力仅有轴横截面内的外力偶仅有轴横截面内的外力偶内力内力横截面上只有扭矩横截面上只有扭矩变形变形横截面绕轴线转动，任意两横截面产横截面绕轴线转动，任意两横截面产生相对扭转角生相对扭转角2例如，传动轴

2、：主动轮例如，传动轴：主动轮1，从动轮，从动轮2，3 已知：轴的转速已知：轴的转速 n(转转/分分,r/min)(转动方向如图转动方向如图)该轮传递的功率（输入或输出）该轮传递的功率（输入或输出）N(KW)则则该轮处的外力偶矩为：该轮处的外力偶矩为：主动轮或输入功率处主动轮或输入功率处Mt与与n 同向；同向；从动轮或输出功率处从动轮或输出功率处Mt与与n 反向。反向。123Mt1Mt2Mt3n转转/分分370KW30KW40KWn=300 r/min 例如若已知例如若已知：123Mt1Mt2Mt3n转转/分分42228.1Nm954.9Nm1273.2Nmx1x22228.1NmT(x1)12

3、73.2NmT(x2)(T)2228.1Nm1273.2Nm轴的轴的轴的轴的受受受受力简图力简图力简图力简图52.圆轴扭转应力分析圆轴扭转应力分析（1）圆轴扭转变形几何关系）圆轴扭转变形几何关系MtMt单元体：纯剪切单元体：纯剪切 变形后观察：轴向线，仍为直线，长短不变，倾斜变形后观察：轴向线，仍为直线，长短不变，倾斜 角角 圆周线，大小形状不变，绕杆轴转动圆周线，大小形状不变，绕杆轴转动圆轴扭转平面假定：横截面变形后仍为平面，圆轴扭转平面假定：横截面变形后仍为平面，形状大小不变，绕杆轴转过一个角度。形状大小不变，绕杆轴转过一个角度。在表面层切取一个单元体：在表面层切取一个单元体：6RBC R

4、dO1O2ABCDdxR为为相距相距dx的两横截面相对扭转角的两横截面相对扭转角 为相邻为相邻dx的两个截面的两个截面的相对扭转角的相对扭转角 为表层处的单元体为表层处的单元体ABCD的切应变：的切应变：7BCdO1O2ABCDdx(a)同理在距离杆的轴线同理在距离杆的轴线O1O2半径为半径为 处的圆柱面上切取处的圆柱面上切取的单元体的切应变为：的单元体的切应变为：可令可令称为称为单位长度的扭转角单位长度的扭转角单位长度的扭转角单位长度的扭转角在某一横截面上在某一横截面上常数常数在横截面上半径为在横截面上半径为 处切应变处切应变 ，且且 半径半径 T 8（2）物理关系物理关系由剪切胡克定律由剪

5、切胡克定律(b)故故横截面上半径为横截面上半径为 处切应力处切应力 圆心圆心=0处，处，圆截面周边圆截面周边=R处，处，横截面上切应力沿半径三角形横截面上切应力沿半径三角形横截面上切应力沿半径三角形横截面上切应力沿半径三角形分布，且方向垂直于半径。分布，且方向垂直于半径。分布，且方向垂直于半径。分布，且方向垂直于半径。T9（3）静力学关系）静力学关系(a)(b)TdA横截面上分布切应力构成的合力偶矩横截面上分布切应力构成的合力偶矩就是该截面上的扭矩就是该截面上的扭矩T称为称为截面极惯性矩截面极惯性矩截面极惯性矩截面极惯性矩,单位：单位：m4,cm4,mm4 记几何量记几何量(12.1)由此可求

6、出由此可求出(c)10(c)(a)(b)故故得出：得出：(12.2)(12.3)(12.4)记记扭转截面系数扭转截面系数扭转截面系数扭转截面系数单位：单位：m3,cm3,mm3(12.5)11以上分析以上分析只适用于圆截面轴只适用于圆截面轴只适用于圆截面轴只适用于圆截面轴（实心、空心、圆锥轴）（实心、空心、圆锥轴）几何量几何量 Ip,Wp 的计算：的计算：实心圆轴，直径为实心圆轴，直径为 D：D空心圆轴，内、外径分别为空心圆轴，内、外径分别为 d ,D,令令=d/D:Dd12圆轴扭转时横截面上的切应力分布图示：圆轴扭转时横截面上的切应力分布图示：T实心圆轴：实心圆轴：T空心圆轴：空心圆轴：13

7、实验：圆轴扭转实验：圆轴扭转143.扭转时轴内各点的应力状态扭转时轴内各点的应力状态 主单元体：主单元体：1=3=-4545主方向为主方向为45主应力：主应力：1=，2=0，3=-各点为纯剪切：各点为纯剪切：-15164.扭转应力的测量扭转应力的测量TT max 1 1=maxmax 3 3=-=-maxmax-45纯剪应力状态：由广义胡克定律纯剪应力状态：由广义胡克定律175.圆轴扭转时的变形分析圆轴扭转时的变形分析由由单位长度的扭转角：单位长度的扭转角：(12.2)故故得出相距得出相距dx的两截面间的相对扭转角：的两截面间的相对扭转角：lTTxABA,B两截面间的相对扭转角为：两截面间的相

8、对扭转角为：(12.5)若若等截面轴在等截面轴在 l 段内扭矩段内扭矩T=常数，则：常数，则：(12.6)的的单位为弧度单位为弧度18其中其中GIp称为称为扭转刚度扭转刚度扭转刚度扭转刚度若轴若轴中扭矩为分段常数中扭矩为分段常数(12.7)l1l2l3G1Ip1G2Ip2G3Ip3(12.6)扭转变形公式扭转变形公式(适用于等截面圆轴适用于等截面圆轴)19轴向拉压与圆轴扭转的比较轴向拉压与圆轴扭转的比较轴向拉压轴向拉压扭转扭转构件几何构件几何直杆直杆圆截面直杆圆截面直杆外力外力沿轴向的外力沿轴向的外力横截面内力偶矩横截面内力偶矩横截面横截面内力内力轴力轴力FN扭矩扭矩T应力公式应力公式变形公式

9、变形公式206.材料扭转时的力学性能材料扭转时的力学性能材料的扭转试验：材料的扭转试验：(1)低碳钢薄壁圆管扭转低碳钢薄壁圆管扭转低碳钢低碳钢(塑性材料塑性材料)沿圆周线、纵向线出现滑移线沿圆周线、纵向线出现滑移线特点：横截面特点：横截面 达到材料的剪切屈服极限达到材料的剪切屈服极限 时时21(2)铸铁圆轴扭转铸铁圆轴扭转特点：横截面特点：横截面 达到材料的剪切强度极限达到材料的剪切强度极限 时时铸铁铸铁(脆性材料脆性材料)沿与轴线呈沿与轴线呈45的斜面断开的斜面断开227.圆轴扭转的强度与刚度计算圆轴扭转的强度与刚度计算（1）扭转强度条件）扭转强度条件工作时最大切应力工作时最大切应力(12.

10、8)许用切应力许用切应力许用切应力许用切应力塑性材料：塑性材料：脆性材料：脆性材料：对等截面圆轴，即：对等截面圆轴，即：23（2）扭转刚度条件）扭转刚度条件轴类构件对扭转角的限制条件：轴类构件对扭转角的限制条件：单位长度的扭转角单位长度的扭转角(12.9)单位长度许用扭转角单位长度许用扭转角单位长度许用扭转角单位长度许用扭转角常用单位：常用单位：/m工程上，工程上，精密仪器传动轴精密仪器传动轴一般传动轴一般传动轴刚度要求不高的轴刚度要求不高的轴24例例 题题 112 扭转扭转 例题例题一一阶梯轴，轴直径阶梯轴，轴直径d2=2d1,输入功率输入功率N3=30KW,输出输出功功率率N1=13KW,

11、N2=17KW,轴轴的转速的转速n=200rpm,若轴材料若轴材料的的G=80Gpa,=50Mpa,(1)根据强度条件设计根据强度条件设计d1,d2。(2)按此设计若取按此设计若取=1.8/m,校核刚度条件。校核刚度条件。123Mt1Mt2Mt3l1l2d1d2=2d1 n25例例 题题 112 扭转扭转 例题例题解：解：1.求出各轮处的外力求出各轮处的外力偶矩，画出扭矩图偶矩，画出扭矩图(T)621Nm1430N m123Mt1Mt2Mt3l1l2d1d2=2d1 n26例例 题题 112 扭转扭转 例题例题3.强度设计强度设计左段：左段：取取d1=40mm,则则d2=80mm校核右段：校核

12、右段：(T)621Nm1430N m123Mt1Mt2Mt3l1l2d1d2=2d1 n27例例 题题 112 扭转扭转 例题例题4.刚度条件的校核刚度条件的校核左段：左段：右段：右段：注意单位！注意单位！(T)621Nm1430N m123Mt1Mt2Mt3l1l2d1d2=2d1 n288.非圆截面轴的扭转非圆截面轴的扭转与与圆截面轴的扭转有本质区别！圆截面轴的扭转有本质区别！非圆截面轴不满足平截面假定非圆截面轴不满足平截面假定横截面出现翘曲横截面出现翘曲34比较：圆截面轴的扭转比较：圆截面轴的扭转35矩形截面轴自由扭转的结果：矩形截面轴自由扭转的结果：(1)截面周边处截面周边处 的方向的

13、方向与边界相切与边界相切(2)四个角点处四个角点处 =0短边中点处切应力也较大：短边中点处切应力也较大：(4)截面内切应力最大值截面内切应力最大值发生在长边中点处：发生在长边中点处：(12.10)(5)总扭转角总扭转角(12.11)其中：其中：为与为与 有关有关的因数，可查表的因数，可查表12.1(3)两对称轴上切应力方两对称轴上切应力方向与对称轴垂直向与对称轴垂直Tbh =0 =0 =0 =0 max36h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0 0.2080.2190.2310.2460.2580.2670.2820.2990.3070.3130.3330.141

14、0.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.3331.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7540.7430.7430.7430.743表表12.1 矩形截面杆扭转时的因数矩形截面杆扭转时的因数，当当h/b,即截面为狭长矩形即截面为狭长矩形(狭长条狭长条)：=1/3，=1/3hhbb(12.12)(12.13)上式也可用于上式也可用于L形、形、C形、形、U 形形等等(可展开计算长度可展开计算长度)379.薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件的自由扭转(介绍介绍)工程中常见的各种型钢工程中常见的各种型钢(T，I，L，U，等等)特点：

15、横截面内壁厚远小于另一方向尺寸特点：横截面内壁厚远小于另一方向尺寸（1）开口薄壁杆自由扭转）开口薄壁杆自由扭转h1h2 1 2h1 1h2 2由若干个狭长条组合由若干个狭长条组合而成，截面中线不构而成，截面中线不构成封闭曲线。成封闭曲线。可可分割为若干个狭长条：分割为若干个狭长条：应力、扭转角计算均应力、扭转角计算均可利用狭长条的公式可利用狭长条的公式(12.12)(12.13)38设设每个狭长条为每个狭长条为 hi,i该条上担负扭矩为该条上担负扭矩为Ti,扭转角为扭转角为i则有：则有：截面上的总扭矩截面上的总扭矩截面的扭转角截面的扭转角对对每一个狭长条每一个狭长条,有：有：即即(12.14)

16、(12.15)h1 1h2 2T1T2T(12.16)39由式由式(12.12)，对，对第第i个狭长条上的最大个狭长条上的最大切应力，有切应力，有:(12.16)(12.17)故故整个截面上的最大切应力为：整个截面上的最大切应力为：(12.18)开口薄壁杆扭转时横截面上各部分的切应力开口薄壁杆扭转时横截面上各部分的切应力大小与该处横截面的宽度呈正比大小与该处横截面的宽度呈正比(12.12)对对狭长矩形：狭长矩形：h1 1h2 2T1T2T40T开口薄壁杆的扭转切应力开口薄壁杆的扭转切应力:最大切应力发生在璧厚最大处最大切应力发生在璧厚最大处41（2）闭口薄壁杆自由扭转）闭口薄壁杆自由扭转横截面

17、由内、外的封闭曲线构成横截面由内、外的封闭曲线构成截面中线截面中线 s壁厚壁厚 =(s)(s)C s 设：沿壁厚方向上切应力均布设：沿壁厚方向上切应力均布 s 剪力流的含义：单位长度中线的横截面积上的内力剪力流的含义：单位长度中线的横截面积上的内力dsT剪力流：剪力流：t =s (s)=常数常数(12.19)(12.20)为截面中线为截面中线 s 包围的面积包围的面积 42(12.20)C s dsT(12.21)截面上的最大切应力为：截面上的最大切应力为：(12.22)截面两端的扭转角：截面两端的扭转角：(12.23)43例例 题题 312 扭转扭转 例题例题TR2R1按圆轴扭转公式计算：空

18、心圆轴按圆轴扭转公式计算：空心圆轴TR若若空心圆轴空心圆轴 薄壁圆筒薄壁圆筒 薄壁圆筒平均半径为薄壁圆筒平均半径为R，壁厚为壁厚为则：则：空心圆轴的扭转，圆轴内半径空心圆轴的扭转，圆轴内半径R1，外半径外半径R2，受扭矩受扭矩T作用，求作用，求44例例 题题 312 扭转扭转 例题例题按薄壁圆筒扭转的公式计算：按薄壁圆筒扭转的公式计算：TR2R1TR结果相同。结果相同。(12.21)对对闭口薄壁圆筒，有扭转切应力公式：闭口薄壁圆筒，有扭转切应力公式：45例例 题题 412 扭转扭转 例题例题试试比较相同材料（比较相同材料（=50Mpa），），不同形状的几种截不同形状的几种截面（但截面积相同）的

19、杆件，依强度条件求出的最大面（但截面积相同）的杆件，依强度条件求出的最大允许扭矩。允许扭矩。100d=1003008.58.5300单位：单位：mm(1)(2)(3)(4)(5)D=150d=100D=15046100d=1003008.58.5300单位：单位：mm(1)(2)(3)(4)(5)D=150d=100D=150例例 题题 412 扭转扭转 例题例题解：解：（1）实心正方形：）实心正方形：由由矩形截面扭转公式计算：矩形截面扭转公式计算：47100d=1003008.58.5300单位：单位：mm(1)(2)(3)(4)(5)D=150d=100D=150例例 题题 412 扭转扭

20、转 例题例题(2)闭口空心圆：闭口空心圆：由圆截面扭转公式：由圆截面扭转公式：48100d=1003008.58.5300单位：单位：mm(1)(2)(3)(4)(5)D=150d=100D=150例例 题题 412 扭转扭转 例题例题(3)开口空心圆：开口空心圆：由狭长矩形公式由狭长矩形公式(展开为狭长矩形展开为狭长矩形)：49100d=1003008.58.5300单位：单位：mm(1)(2)(3)(4)(5)D=150d=100D=150例例 题题 412 扭转扭转 例题例题(4)闭口空心正方形：闭口空心正方形：由由闭口薄壁杆扭转公式：闭口薄壁杆扭转公式：50100d=1003008.58.5300单位：单位：mm(1)(2)(3)(4)(5)D=150d=100D=150例例 题题 412 扭转扭转 例题例题(5)开口空心正方形：开口空心正方形：抗扭强度依次增加：抗扭强度依次增加：（5）（）（3）（）（1）（）（2）（）（4）由狭长矩形公式由狭长矩形公式(展开为狭长矩形展开为狭长矩形)：51