《自动控制理论》课件(夏德钤第3版)第2章__控制系统的数学模型.ppt
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1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型本章知识点本章知识点:线性系统的输入输出传递函数描述线性系统的输入输出传递函数描述建立机电系统数学模型的机理分析法建立机电系统数学模型的机理分析法传递函数的定义与物理意义传递函数的定义与物理意义典型环节的数学模型典型环节的数学模型框图及化简方法框图及化简方法信号流程图与梅逊公式应用信号流程图与梅逊公式应用非线性数学模型的小范围线性化非线性数学模型的小范围线性化第一节 线性系统的输入/输出时间函数描述物理模型物理模型任何元件或系统实际上都是很复杂的,任何元件或系统实际上都是很复杂的,难以对它作出精确、全面的描述,必须进行简化难以对它作出精确、全面
2、的描述,必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的,要根据问题的统的物理模型。简化是有条件的,要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。数学模型数学模型物理模型的数学描述。是指描述系统物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。表达式。数学建模数学建模从实际系统中抽象出系统数学模型的从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。过程。建立物理系统数学模型的方法机理分析法机理分析法 对系
3、统各部分的运动机理进对系统各部分的运动机理进行分析,按行分析,按 照它们遵循的物理规律、化照它们遵循的物理规律、化学规律列出各物理量之间的数学表达式学规律列出各物理量之间的数学表达式,建立起系统的数学模型。建立起系统的数学模型。实验辩识法实验辩识法 对系统施加某种测试信号对系统施加某种测试信号(如阶跃、脉冲、正弦等),记录基本(如阶跃、脉冲、正弦等),记录基本输出响应(时间响应、频率响应),估输出响应(时间响应、频率响应),估算系统的传递函数。算系统的传递函数。机理分析法建立系统数学模型的步骤机理分析法建立系统数学模型的步骤确定系统的输入量、输出量;确定系统的输入量、输出量;根据物理定律列写原
4、始方程;根据物理定律列写原始方程;消去中间变量,写出表示系统输入、输消去中间变量,写出表示系统输入、输出关系的线性常微分方程。出关系的线性常微分方程。机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例例例2-1:2-1:图图2-1为为RC四端无源网络。试列写以四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量,为输入量,U2(t)为输出量的网络微分方为输出量的网络微分方程。程。解:解:设回路电流设回路电流i1、i2,根据克希霍夫定律,列根据克希霍夫定律,列写方程组如下写方程组如下U1 R1R2U2C1C2图图2-1 2-1 RC组成的四端网络组成的四端网络(1)(2)(3)(4)(5)机理分析
5、法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例由由(4)、(5)得得由由(2)导出导出将将i1、i2代入代入(1)、(3),则得,则得U1 R1R2U2C1C2图图2-1 2-1 RC组成的四端网络组成的四端网络 这就是这就是RC四端网络的数学模型,为二阶线性四端网络的数学模型,为二阶线性常微分方程。常微分方程。机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例例例2-2 图图2-6 所示为电枢所示为电枢控制直流电动机的微分方控制直流电动机的微分方程,要求取电枢电压程,要求取电枢电压Ua(t)(v)为输入量,电)为输入
6、量,电动机转速动机转速 m(t)()(rad/s)为输)为输出量,列写微分方程。图出量,列写微分方程。图中中Ra()、La(H)分别是电分别是电枢电路的电阻和电感。激枢电路的电阻和电感。激磁磁通为常值。磁磁通为常值。图图2 2-6 6 直直 流流 电电 动动 机机 原原 理理 图图SM负负载载-LaRaEamJmf mUaifia机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例解:列写电枢电路平衡方程解:列写电枢电路平衡方程图图2 2-6 6 电电枢枢控控制制直直流流电电动动机机原原理理图图SM负负载载-LaRaEamJmfmUaifiaEa电枢反电势,其表达式为电枢反电势,其表达
7、式为Ea=Cem(t)Ce反电势系数(反电势系数(v/rad/s)第二节线性系统的输入第二节线性系统的输入输出传递函数描述输出传递函数描述一、传递函数一、传递函数定义:线性定常系统的传递函数,定义为零定义:线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初使条件是指当的拉氏变换之比。零初使条件是指当t0时时,系统系统r(t)、c(t)以及它们的各阶导数均为零。以及它们的各阶导数均为零。线性系统微分方程的一般形式为线性系统微分方程的一般形式为当初始条件均为当初始条件均为0时时,对上式两边求拉氏变换,得对上式两边求拉
8、氏变换,得系统的传递函数系统的传递函数的根,也即线性微分方程的根,也即线性微分方程特征方程的特征值。特征方程的特征值。零点零点传递函数分子传递函数分子s多项式多项式传递函数传递函数G(S)是复变函数,是是复变函数,是S的有理函数。且有的有理函数。且有mn。极点极点传递函数分母传递函数分母s多项式多项式的根。的根。传函是由微分方程传函是由微分方程在初始条件为零时在初始条件为零时进行拉氏变换得到的。进行拉氏变换得到的。如果已知系统的传递函数和输入信号如果已知系统的传递函数和输入信号,则可求得初始条件为零则可求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式时输出量的拉氏变换式C(s),对其求拉氏反变换可得到系统
9、的对其求拉氏反变换可得到系统的响应响应 c(t),称为系统的零状态响应。称为系统的零状态响应。系统响应的特性由传递函数决定,而和系统的输入无关。传系统响应的特性由传递函数决定,而和系统的输入无关。传递函数则由系统的结构与参数决定。递函数则由系统的结构与参数决定。传递函数的分母多项式即为微分方程的传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式,为特征多项式,为1+开开环传递函数。环传递函数。同一系统对不同的输入,可求得不同的传递函数,但其同一系统对不同的输入,可求得不同的传递函数,但其特征特征多项式多项式唯一。唯一。在给定输入和初始条件下,解微分方程可以得到系统的输出在给定输入和初始条件下,解微分
10、方程可以得到系统的输出响应,包括两部分响应,包括两部分 系统响应系统响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 零输入响应零输入响应在输入为零时,系统对零初始状态的响应;在输入为零时,系统对零初始状态的响应;零状态响应零状态响应在零初始条件下,系统对输入的响应。在零初始条件下,系统对输入的响应。传递函数的几点性质传递函数的几点性质传递函数传递函数G(s)(s)是复变量是复变量s s的有理真分式函数,的有理真分式函数,mn,且所有系数均为实数。且所有系数均为实数。传递函数传递函数G(s)取决于系统或元件自身的结构取决于系统或元件自身的结构和参数,与输入量的形式(幅度与大小)和参数,与输入量
11、的形式(幅度与大小)无关。无关。传递函数传递函数G(s)描述了系统输出与输入之间描述了系统输出与输入之间的关系,但它不提供系统的物理结构信息。的关系,但它不提供系统的物理结构信息。具有相同传递函数的不同物理系统称为相具有相同传递函数的不同物理系统称为相似系统。似系统。传递函数的几点性质传递函数的几点性质如果系统的传递函数未知,给系统加上如果系统的传递函数未知,给系统加上某种输入,可根据其输出,确定其传递某种输入,可根据其输出,确定其传递函数。函数。系统传递函数是系统单位脉冲响应系统传递函数是系统单位脉冲响应g(t)的的拉氏变换拉氏变换LLg(t)。例例23 求例求例21系统的传递函数。系统的传
12、递函数。已知其输入输出微分方程已知其输入输出微分方程U1 R1R2U2C1C2图图2-1 2-1 RC组成的四端网络组成的四端网络设初始状态为零,设初始状态为零,对方程两边求拉氏对方程两边求拉氏变换,得变换,得此即为RC四端网络的传递函数。第三节第三节 非线性数学模型的小范围线性化非线性数学模型的小范围线性化 严格讲,任何实际系统都存在不同程严格讲,任何实际系统都存在不同程度的非线性。对于非本质非线性度的非线性。对于非本质非线性数学模数学模型型,可采用,可采用小范围线性化方法。小范围线性化方法。设一非线性数学设一非线性数学模型如图所示。模型如图所示。设函函数数y=f(x)在在(x0,y0)点点
13、附附近近连续可可微微(此此即即为非非线性性系系统数数学学模模型型线线性性化化的的条条件件),则则可可将将函函数数f(x)在在(x0,y0)附近展开成泰勒级数附近展开成泰勒级数式中式中 比例系数比例系数,是随工作点是随工作点A(x0,y0)不同而不同的常数不同而不同的常数 具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法与前述具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法与前述方法相似。方法相似。求线性化微分方程的步骤求线性化微分方程的步骤按物理和化学定律,列出系统的原始方程式,确定平衡点处按物理和化学定律,列出系统的原始方程式,确定平衡点处各变量的数值。各变量的数值。找出原始方程式中间变量与其它因素
14、的关系,若为非线性函找出原始方程式中间变量与其它因素的关系,若为非线性函数,在原平衡点邻域内,各阶导数存在并且是唯一的,则可数,在原平衡点邻域内,各阶导数存在并且是唯一的,则可进行线性化处理。进行线性化处理。将非线性特性展开为泰勒级数,忽略偏差量的高次项,留下将非线性特性展开为泰勒级数,忽略偏差量的高次项,留下一次项,求出它的系数值。一次项,求出它的系数值。消去中间变量,在原始方程式中,将各变量用平衡点的值用消去中间变量,在原始方程式中,将各变量用平衡点的值用偏差量来表示。偏差量来表示。注意:注意:(1 1)线性化方程中的常数与选择的)线性化方程中的常数与选择的静态工作点静态工作点的位的位置有
15、关置有关,工作点不同时工作点不同时,相应的常数也不相同。相应的常数也不相同。(2 2)泰勒级数线性化是小范围线性化。当输入量的)泰勒级数线性化是小范围线性化。当输入量的变化范围较大时,用上述方法建立数学模型引起的误变化范围较大时,用上述方法建立数学模型引起的误差较大。因此只有当输入量变化较小时才能使用。差较大。因此只有当输入量变化较小时才能使用。(3 3)若非线性特性不满足)若非线性特性不满足连续可微连续可微的条件的条件,则不能则不能采用前述处理方法采用前述处理方法.(4 4)线性化方法得到的微分方程是增量化方程。)线性化方法得到的微分方程是增量化方程。由微分方程直接得出的传递函数是由微分方程
16、直接得出的传递函数是复变量复变量s的有理分式。的有理分式。对于实际物理系统,传递函数的分子、分母多项式的所有系对于实际物理系统,传递函数的分子、分母多项式的所有系数均为实数,而且分母多项式的阶次数均为实数,而且分母多项式的阶次n 不低于分子多项式的不低于分子多项式的阶次阶次m,分母多项式阶次为分母多项式阶次为n的传递函数称为的传递函数称为n阶传递函数阶传递函数,相,相应的系统称为应的系统称为n阶系统阶系统 。传递函数可表示成传递函数可表示成复变量复变量s的有理分式的有理分式:传递函数可表示成传递函数可表示成零、极点零、极点表示:表示:第四节第四节 典型环节的数学模型典型环节的数学模型 系统传递
17、函数有时还具有零值极点,设传递函数系统传递函数有时还具有零值极点,设传递函数中有中有 个零值极点个零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况数的情况,则传递函数的后两种表示的一般形式为则传递函数的后两种表示的一般形式为:可可见,系,系统传递函数是由一些常函数是由一些常见基本因子基本因子,如式如式上上中的中的(js+1)、1/(Tis+1)等等组成。即系成。即系统传递函数表示函数表示为上上式式时,系,系统传递函数是函数是这些常些常见基本因子的乘基本因子的乘积。这些常些常见基本因子代表基本因子代表的的环节称称为典型典型环节。任何复。任何复杂的系的系统都可以用若干
18、典型都可以用若干典型环节构成。具有相同基本因子构成。具有相同基本因子传递函数的元件,可以是不同的物理函数的元件,可以是不同的物理元件,但都具有相同的运元件,但都具有相同的运动规律。律。从从传递函数的表示式中可以看到,函数的表示式中可以看到,传递函数的函数的基本因子基本因子对应的典型的典型环节有比例有比例环节、积分分环节、微、微分分环节、惯性性环节、振、振荡环节和延和延迟环节等。等。l l比例环节比例环节 比比例例环节又又称称为放放大大环节,其其输出出量量与与输入入量量之之间的的关关系系为固固定定的的比比例例关关系系,即即它它的的输出出量量能能够无无失失真真、无无延延迟地地按一定的比例关系复按一
19、定的比例关系复现输入量。入量。时域中的代数方程域中的代数方程为c(t)=Kr(t)t 0 式中式中K为比例系数或比例系数或传递系数,有系数,有时也称也称为放大系数放大系数 所以所以比例比例环节的的传递函数函数为:L-变换变换 C(S)=KR(S)完全理想的比例环节是不存在的。对某些系统完全理想的比例环节是不存在的。对某些系统当做比例环节是一种理想化的方法。当做比例环节是一种理想化的方法。2 2惯性环节惯性环节 惯性性环节又又称称为非非周周期期环节,其其输入入量量和和输出出量量之之间的的关系可用下列微分方程来描述关系可用下列微分方程来描述:式中式中 K比例系数比例系数。T惯性性环节的的时间常数常
20、数,衡量输出量跟随输入量,衡量输出量跟随输入量 的变化的变化 L-变换变换 TSC(S)+C(S)=KR(S)传递函数传递函数 G(S)=C(s)/R(s)=3 3积分环节积分环节输出量与出量与输入量的入量的积分成比例,系数分成比例,系数为K。积分分环节的的传递函数函数为:积分分环节的的动态方程方程为:积分分环节具有一个零具有一个零值极点,即极点位于极点,即极点位于S平面上的坐平面上的坐标原点原点处。T称称为积分分时间常数。从常数。从传递函数表达式易求得在函数表达式易求得在单位位阶跃输入入时的的输出出为:C(t)=Kt 上式上式说明,只要有一个恒定的明,只要有一个恒定的输入量作用于入量作用于积
21、分分环节,其其输出量就与出量就与时间成比例地无限增加。成比例地无限增加。4 4振荡环节振荡环节 振振荡环节的微分方程的微分方程是是:相相应的的传递函数函数为:式中式中 T时间常数;常数;阻尼系数(阻尼比),且阻尼系数(阻尼比),且0 1。振振荡环节的的传递函数具有一函数具有一对共共轭复数极点复数极点,在复平面在复平面S上的位置上的位置见图2-8所示所示,传递函数可改写函数可改写为:n=1/T无阻尼自然振无阻尼自然振荡频率。共率。共轭复数极点复数极点为:5微分环节微分环节 微分是积分的逆运算微分是积分的逆运算,按传递函数的不同按传递函数的不同,微分环节微分环节可分为三种:理想微分环节、一阶微分环
22、节(也称为比可分为三种:理想微分环节、一阶微分环节(也称为比例加微分环节)和二阶微分环节。相应的微分方程为例加微分环节)和二阶微分环节。相应的微分方程为:相相应的的传递函数函数为:6 6延迟环节延迟环节 延延迟环节又称又称为纯滞后滞后环节、时滞滞环节。其。其输出信号比出信号比输入信号入信号迟后一定的后一定的时间。就是。就是说,延,延迟环节的的输出是一个延出是一个延迟时间 后,完全复后,完全复现输入入 信号,即信号,即 式中式中 纯延延迟时间。单位位阶跃输入入时,延,延迟环节的的输出响出响应如如右右图示示 根据拉氏根据拉氏变换的的延延迟定理,可得延定理,可得延迟环节的的传递函数函数为:典型环节数
23、学模型注意三点:典型环节数学模型注意三点:(1)系统的典型环节是按数学模型的共性去)系统的典型环节是按数学模型的共性去建立的,它与系统中采用的元件不是一一对应的。建立的,它与系统中采用的元件不是一一对应的。(2)分析或设计控制系统必先建立系统或被)分析或设计控制系统必先建立系统或被控对象的数学模型,将其与典型环节的数学模型控对象的数学模型,将其与典型环节的数学模型对比后,即可知其由什么样的典型环节组成。将对比后,即可知其由什么样的典型环节组成。将有助于系统动态特性的研究和分析。有助于系统动态特性的研究和分析。(3)典型环节的概念只适用于能够用线性定)典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型
24、描述的系统。常数学模型描述的系统。框框图图与与信信号号流流图图方方法法是是自自动动控控制制系系统统的的两两种种图图形形研研究究方方法,是分析系统的有力工具。法,是分析系统的有力工具。一框图的基本概念一框图的基本概念 控制系统的方框图又称为方块图或结构图,是系统各控制系统的方框图又称为方块图或结构图,是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。它它用用一一个个方方框框表表示示系系统统或或环环节节,如如上上图图所所示示。框框图图的的一一端端为为输输入入信信号号r(t),另另一一端端 是是 经经 过过 系系统统或或环环节节后后的的输输出出信信号号c(t
25、),图图中中箭箭头头指指向向表表示示信信号号传传递递的的方方向向。方方框框中中用用文文字字表表示示系系统统或或环环节节,也也可可以以填填入入表表示示环环节节或或系系统统输输出出和和输输入入信信号号的的拉拉氏变换之比氏变换之比-传递函数,这是更为常用的框图。传递函数,这是更为常用的框图。第五节第五节 框图及其化简方法框图及其化简方法六六种典型种典型环节的框的框图如如下:下:(1)方块()方块(Block Diagram):表示输入到输出单向传输间表示输入到输出单向传输间 的函数关系。的函数关系。G(s)R(s)C(s)图图2-122-12 方块图中的方块方块图中的方块信号线信号线方块方块r(t)
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