高中立体几何直线与平面.ppt

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1、问题：空间中直线与平面有几种位置关系？问题：空间中直线与平面有几种位置关系？线线 面面位置关系位置关系垂直垂直 斜交斜交 一：一：复习复习ab 在平面内平行平行 如果一条直线 l 垂直于平面 内的任意一条直线，我们就说直线 l 与平面 互相垂直。平面平面 的垂线的垂线直线直线 l 的垂面的垂面垂足垂足记作：l直线与平面垂直的定义：直线与平面垂直的定义：（2 2）线面垂直线面垂直 线线垂直线线垂直三、实验探究得出定理三、实验探究得出定理 如果直线如果直线l与平面与平面内的内的一条一条（两条，无数条两条，无数条）直线直线垂直，则直线和平面垂直，则直线和平面互相垂直互相垂直?（1 1）一条直线 （3

2、 3）两条两条平行平行直线直线 （2）无数条直线）无数条直线（4）两条两条相交相交直线直线？猜想：直线猜想：直线l与平面与平面内的内的两条相交直线垂直，那么此两条相交直线垂直，那么此直线与这个平面垂直。直线与这个平面垂直。l 4 4、猜想猜想：若直线：若直线 与平面与平面内的两内的两条相交直线都垂直，则条相交直线都垂直，则 .BAm mn naCFDE如何证明这个猜想成立如何证明这个猜想成立？文字语言：文字语言：一条直线和一个平面内的一条直线和一个平面内的两条相交两条相交直线都垂直线都垂直，则该直线与此平面垂直。直，则该直线与此平面垂直。直线和平面垂直的判定定理：直线和平面垂直的判定定理：直线

3、和平面垂直的判定定理：直线和平面垂直的判定定理：线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直判定定理判定定理性质性质垂直内相交符号语言：图形语言：随堂练习随堂练习 例例1 1 有一根旗杆有一根旗杆ABAB高高8m8m，它的顶端，它的顶端A A挂有一条长挂有一条长10m10m的绳子，拉紧绳子并把它的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）在同一条直线上）C C、D D，如果这两点都，如果这两点都和旗杆脚的距离是和旗杆脚的距离是6m6m，那么旗杆就和地，那么旗杆就和地面垂直，为什么？面垂直，为什么？DCBA 例例2 2 在空间四边形在空间四边形

4、ABCD中，中，AB=BC=CD=DA，求证求证：ACBD.ABCDE 例3 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 已知：，求证：证明：设 是 内的任意一条直线 定义方法判定 练习练习练习练习 :已知 平面 ，是 的直径，是 上的任一点，求证：练习练习练习练习:已知 ，于 ，于 ，于点 ，求证：三垂线定理及逆定理三垂线定理及逆定理aAPo一、一、一、一、三线概念三线概念三线概念三线概念:平面的斜线、垂线、射影平面的斜线、垂线、射影平面的斜线、垂线、射影平面的斜线、垂线、射影aAPo如图如图PO是平面是平面的斜线的斜线,O为斜足为斜足;PA是平面是平面的垂线的

5、垂线,A为垂足为垂足;AO是是PO在平面在平面内的射内的射影影.PO 平面平面PAOaPO 二、三垂线定理：在二、三垂线定理：在二、三垂线定理：在二、三垂线定理：在平面内平面内平面内平面内的一条直线的一条直线的一条直线的一条直线(a)(a)(a)(a)，如果和这个平面，如果和这个平面，如果和这个平面，如果和这个平面的一条斜线的一条斜线的一条斜线的一条斜线(PO)(PO)(PO)(PO)的射影的射影的射影的射影(AO)(AO)(AO)(AO)垂直，那么它垂直，那么它垂直，那么它垂直，那么它(a)(a)(a)(a)也和这条斜线垂直。也和这条斜线垂直。也和这条斜线垂直。也和这条斜线垂直。PAa PA

6、aAOaPAAO=Aa平面平面PAOP Pa aA Ao o 已知已知:如图如图,PO为平面为平面的斜线的斜线,PA,a在平面在平面内且垂直内且垂直PO的射影的射影AO.求证求证:aPO证明证明:1 1 1 1、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是斜线斜线、射影射影、直线直线之间之间之间之间 的垂直关系的垂直关系的垂直关系的垂直关系.2 2 2 2、a a a a与与与与POPOPOPO可以相交，也可以异面可以相交，也可以异面可以相交，也可以异面可以相交，也可以异面.3 3 3 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和

7、、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理平面内的一条直线垂直的判定定理平面内的一条直线垂直的判定定理平面内的一条直线垂直的判定定理.说明：说明：4、转化思想、转化思想、转化思想、转化思想:空间两直线的垂直问题转化为平面内空间两直线的垂直问题转化为平面内空间两直线的垂直问题转化为平面内空间两直线的垂直问题转化为平面内 两直线的垂直问题两直线的垂直问题两直线的垂直问题两直线的垂直问题.aAPo三、知识运用三、知识运用例1.如图,PD平面ABC,AC=BC,D为AB的中点,求证ABPC.PABCD证明:PD平面ABC,DC为PC在平面的

8、射影,而ABC为等腰三角形,D为AB的中点,AB CD AB PC 例例例例2.2.2.2.如图，已知正方体如图，已知正方体如图，已知正方体如图，已知正方体ABCD-AABCD-AABCD-AABCD-A1 1 1 1B B B B1 1 1 1C C C C1 1 1 1D D D D1 1 1 1中，连结中，连结中，连结中，连结 BD BD BD BD1 1 1 1，ACACACAC，CBCBCBCB1 1 1 1，B B B B1 1 1 1A A A A，求证：，求证：，求证：，求证：BDBDBDBD1 1 1 1平面平面平面平面ABABABAB1 1 1 1C C C C DD DD

9、 DD DD1 1 1 1平面平面平面平面ABCD ABCD ABCD ABCD BD BD BD BD是斜线是斜线是斜线是斜线D D D D1 1 1 1B B B B在平面在平面在平面在平面ABCDABCDABCDABCD上的射影上的射影上的射影上的射影 ABCDABCD是正方形是正方形是正方形是正方形ACACBDBD (AC(AC(AC(AC垂直射影垂直射影垂直射影垂直射影BD)BD)BD)BD)，ACACACACBDBD1 1 A1D1C1B1ADCB同理同理同理同理:BABA1 1是斜线是斜线是斜线是斜线BDBD1 1在平面在平面在平面在平面ABBABB1 1A A1 1上的射影上的

10、射影上的射影上的射影,AB,AB1 1 BDBD1 1 而而AC ABAB1 1=A BDBDBDBD1 1 1 1平面平面平面平面ABABABAB1 1 1 1C C C C证明：连结证明：连结证明：连结证明：连结BDBDBDBD、A A A A1 1 1 1B B B B 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理斜线斜线垂线垂线规定：规定：一条直线垂直于平面，它们一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角一条直线和平面平行，或在平面内，它们一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成所成所成所成的角是的角是的角是的角是0 0 的角的角的角的角直线和平面所成角的范围是直线和平面所成角的范围是0，90 第个第个空间角空间角斜线在平面上的射影斜线在平面上的射影 平面的一条斜线和它在平平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角这条直线和这个平面所成的角这条直线和这个平面所成的角这条直线和这个平面所成的角斜线斜线和平面所成角和平面所成角(即即PAO)PAO)的范围的范围（00，900）