弹性力学变分法及近似解法.ppt

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1、第十章第十章 弹性力学变分法弹性力学变分法及近似解法及近似解法 10-1 概概 述述 所谓弹(塑)性力学变分解法就是基于力学能量原理求解弹(塑)性力学的变分方法，这种方法从其本质而言，是要把原来在给定的边界条件下求解微分方程组的问题变为泛函求极值的问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又可变成函数的极值问题，因此最终把问题归结为求解线性代数方程组。下面我们将讨论各类变分理论的建立和它们之间的关系，以及其近似解法。由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单(类似微分)，但“变分”的概念却极为重要，它关系到我们对一系列力学变分

2、原理中“虚”(如虚功、虚位移、余虚功、虚应力等)的概念的建立与理解。为有利于本章内容的讨论，我们先对变分法作一简单的介绍。一、变分问题的提出、等周问题在定长度的曲线中，求出所围成最大面积的曲线，这是一个有附加条件的变分问题。、最短线问题求平面中连接两定点具有最小长度曲线，这是一个已知边界条件的变分问题。二、关于变分中的几个基本概念1、泛函如在xoy面上两定点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，求满足边界条件的连接两点的任意曲线y=y(x)中的最短的一条曲线由弧长计算公式弧长的值随函数y(x)的改变而变化的。函数y(x)的值随自变量x的改变而变化的。函数的函数oyxP1(x1,y1)P2(x

3、2,y2)xy定义：泛函是以函数集为定义域的实值函数。泛函的一般积分形式可以表示为此处例 力学中的能量函数就是一个泛函，因为它可表示为应力或应变分量的函数，而应力或应变分量又是坐标x,y,z的函数。2、函数的变分凡是满足边界条件及连续性条件的函数称为容许函数。而变分法就是要在这些容许函数中，寻求使给定泛函为极值的特定函数。上例中定义：函数y(x)与另一容许函数 之之差差 叫叫做做函数y(x)的变分。定义中的x泛指单元变量或多元变量。微微分分与与变变分分的的差差别别微分dy反映的是同一个函数,在函数y=y(x)不变的情况下，由于自变量x的微小变化dx所引起的函数y(x)的微小变化，只因x取不同值

4、而产生差异。在微分关系中，dy和dx总是一同出现的。变分y反映的则是不同函数,在某一自变量x不变的情况下，由于整个函数的微小变化y 所引起的函数y(x)的微小变化。y与x无关，具有独立性与任意性。在变分关系中y和x不相联系。函数变分y的性质与运算规律（1）如果y(x)和 都连续可导，则函数变分的导数等于导数的变分即求导和变分可以交换（2）同理函数变分的积分等于积分的变分即积分和变分可以交换（3）类似微分运算法则2、泛函的变分考虑下面的泛函给函数y(x)以变分y,看泛函发生什么变化。将假设连续光滑根据泰勒级数展开，（b)有于是得式中分别是函数变分y的及其一阶导数y的一次齐次式、二次齐次式、的积分

5、，称为泛函Jy的一次变分、二次变分。有时把泛函的一次变分J简称为泛函的变分。三、变分法在数学分析中，我们讨论过函数的极值问题，变分法就是讨论泛函的求极值的问题。如果一个连续函数现在把函数求极值的方法推广到泛函中设y(x)为使泛函取极值的容许函数，函数 可为y(x)临近的容许函数，即是变量函数y(x)变分并使式中，为小值的实参数；式中,为小参数。对于充分接近于零的一切值，函数下面导出泛函J取极值的必要条件.选择使其积分区间的两端等于零,且在新函数与曲线有的接近度因而沿函数一阶变分可视为的函数，即即积分因为J()是J(0)相邻近的容许函数，具有任意小的接近度因为可正可负，故为了满足此式必须有：故有

6、：又因为为无穷小，故可在=0处将J（）展开，于是得将式代入上式这就证明了J（y）取极值时要求上式成立即一阶变分等于零。或于是将上式第二项分步积分或考虑到边界条件称为欧拉方程由于y=的任意性，在给定积分的条件下，要求J=0的必要条件为因此求泛函J（y)取极值的问题归结为求解(*)式的问题，即解欧拉方程，且满足边界条件为极大值为极小值例:求平面上过点P1(x1,y1)P2(x2,y2)的最短线曲线最短线问题。解法一：直接解题设曲线方程为y=y(x),过P1、P2两点间的弧长泛函为将（1）式变分并使其为零分步积分得由边界条件：P1(x1,y1)P2(x2,y2)为定点，有y=0即由y的任意性，故有直

7、线解法二：代入欧拉公式y(x)在端点x=x1,x=x2处应满足的条件，称为自然边界条件式中y(x1)=y1,y(x2)=y2之值都是可变动的，即曲线的端点值是可变动的。由于y=的任意性，还要求满足四、变边界问题自然边界条件例:设曲线两端点在x=x1和x=x2直线上，求x=x1和x=x2间最短线的必要条件。由上例的结果，其曲线方程此式尚应满足自然边界条件在x1,x2处即它平行于x轴的在x=x1和x=x2间的直线段五、有附加条件的变边界问题有很多变分问题除边界条件外，还有附加条件，如求泛函边界条件为附加条件为下的极值问题。L为常数可以引用拉格朗日乘子法化为无条件的极值问题上面的就是有附加条件的变边

8、界问题令得得例:在具有给定长度l的曲线中使所围成的面积最大的一条曲线等周问题解：由数学分析，曲线C所围成的面积为弧长为拉格朗日乘子法，设令由H=0，得附加条件为解出或得即此为等周问题的解，说明定场曲线所围成圆时的面积最大。1010-2 2 力学变分原理的基本概念力学变分原理的基本概念力学变分原理的基本概念力学变分原理的基本概念 能量转化与守恒定律是自然界最基本的运动规律之一,在弹塑性变形运动中也不例外。当可变形固体在受外力作用而变形时,外力与内力均将作功。对于弹性体,由于变形的可逆性，外力对其相应的位移所作的功(实功),在数值上就等于积蓄在物体内的应变能(实应变能),当外力撤除时,这种应变能将

9、全部转换为其他形式的能量实功原理。上述能量方法不仅适用于线弹性力学(如在材料力学、结构力学中),而且还可用于非线性弹性力学,以至对于塑性力学问题(只需将应变能的概念改为耗散能，或者形变功的概念.能量方法由于其与坐标选择无关等特点,因此应用极为广泛,更由于它与数学工具变分法的结合而导出了虚功原理,使得用数学分析的方法来解决力学问题的理论得到重大发展而更趋完善。在理论力学中：质点、质点系质点、质点系(或刚体或刚体)的虚位移原理，即：的虚位移原理，即：质点或质点系质点或质点系(或刚体或刚体)在理想约束在理想约束(不消耗能量不消耗能量)下，处于平衡下，处于平衡状态的必要和充分条件是作用在其上的各力，对

10、于虚位移所作状态的必要和充分条件是作用在其上的各力，对于虚位移所作的总虚功为零的总虚功为零。对于质点系所受的力可以划分为主动力和约束反力(在理论力学中)，对变形体可以把它们划分为外力和内力(在材料力学、结构力学中)来进行研究，自然后者表示的方法更适用于固体力学的讨论。因此，虚虚功功原原理理可以改述为：对对于于一一个个处处于于平平衡衡状状态态的的质质点点系系，其其外外力力和和内内力力对对任任意意给给定定的的虚虚位位移移所所作作的的总总虚虚功功必必须须等等于零于零。其数学表示式为外力对虚位移所作的虚功简称外力虚功与内力虚功。内力对虚位移所作的虚功对于变形固体来说，也可以看成是个质点系，而内力虚功看

11、成与内力实功和实应变能的关系一样，在数值上等于负的虚应变能(U*来表示)，得于是变形体虚功原理可以表述为：若若弹弹性性体体(或或变变形形体体)处处于于平平衡衡状状态态下下。当当其其发发生生约约束束条条件件所所允允许许的的、微微小小的的、任任意意的的虚虚位位移移时时，则则外外力力在在虚虚位位移移上上的的虚虚功功在在数值上等于整个弹性体的虚变形能。数学表达式为数值上等于整个弹性体的虚变形能。数学表达式为1关于变形体的虚功原理的说明关于变形体的虚功原理的说明(1)变形体与刚体不同，刚体虽然也可看作是个质点系，但其内各个质点无相对位移，因此总的说来内力不作功。此时，虚位移原理即表示为 ，用来解决刚体力

12、学(理论力学)的静定问题。而弹性体是可以变形的，各点间有相对位移，因此内力作功。卸载的弹性体能对外作功，正是内力作功的表现。所以对弹性问题求虚功总和时，应该计入内力在虚位移上作的虚功。虚位移原理表示为 ，用以解决变形体力学的超静定问题。(2)弹性体与不变质点系约束不同，它的质点受到一定的约束，也就是在其内部的各个质点应保持连续。因此在设出虚位移时，除在Su部分边界上的点的虚位移值必须满足支座约束(几何边界)条件外(这一点与质点系是共同的)，还必须把虚位移设成坐标的单值连续函数满足连续性条件(这一点是质点系没有的)。(3)在固体力学中，变形体所发生的位移都符合上述两种约束条件，而在小变形条件下变

13、形是微小的量，因而也符合虚位移的基本要求，所以在解具体问题时可以把变形体由于面力作用而产生的实位移当作虚位移，由于应力作用产生的真应变当作虚应变。(1)满足体系(包括质点系与弹性体)所有的约束方程的无限小位移为体系的虚位移(故也称可能位移)；如果位移不仅满足约束方程，而且也满足运动方程的初始条件，则为体系的实位移(也称真实位移)。显然，任何微小时间间隔的实位移增量都构成一组可能位移，但反过来，一组可能位移却不一定能形成实位移，因为它不一定满足运动方程和初始条件，因此对变形体来说，在约束性质与时间无关、约束条件所允许的(几何上可能的)条件下，微小的变形位移属于虚位移之列。(2)实功是力在自己产生

14、位移上作的功。对于线性弹性体来说是变力(从零线性增加的)，所以实功带有l2的系数，实应变能也一样，而且加载时永远为正。而虚功是力在别的因素(人为的)产生的位移上作的功，所谓虚，并不是虚无，而是有可能的、虚设的意思，其意义是指位移的产生与此位移上作功的力无关。不论是否是线性弹性体，虚功都没有12的系数(虚应变能也如此)。当力的方向与位移的方向相同时，虚功为正，反之为负。2 2关于虚功原理的进一步说明关于虚功原理的进一步说明关于虚功原理的进一步说明关于虚功原理的进一步说明变形体的虚功原理(虚位移原理)为力学变分原理的基础(也可以认为刚体、质点系的虚功原理为其特例)，以下我们分三类变分原理来讨论：虚

15、功原理(虚位移原理)及由它导出的最小势能原理；(3)以上所讨论“虚”的物理概念反映在数学上就是变分运算，当讨论力学变分原理的计算式时，变分算子“”符号的出现就意味着“虚”的设施，再回忆一下：所谓微小的、任意的、可能的虚位移概念都是变分的思路。一般变分原理(广义变分原理)。余虚功原理(虚应力原理)及由它导出的最小余能原理；卡氏第一定理；卡氏第二定理；设有一个变形体处于平衡状态，已给定体力为Fi，面力为 。该物体全部表面积为S，体积为V，则平衡条件为 应力边界条件 式中ST，为给定面力的部分表面。10-3 虚功原理虚功原理(虚位移原理虚位移原理)现在给予该变形体一组几何约束许可的、任意的、微小虚位

16、移，由此而产生了实际的力系在虚位移上所做的虚功。由式(10-1)，则虚虚功功原原理理可以叙述为：在在外外力力作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的变变形形体体。当当给给该该物物体体微微小虚位移时。外力的总虚功在数值上等于变形体的总虚应变能。小虚位移时。外力的总虚功在数值上等于变形体的总虚应变能。我们知道，外力的总虚功为实际的体力Fi和面力 在虚位移上所作的功，即 由3-4中有关公式，可得在物体产生微小虚变形的过程中，该变形体内的总虚应变能为 于是虚功原理的数学表达式为 其展开式为 式(10-8)或式(10-9)为虚功原理的位移变分方程。运用奥氏公式将边界上的曲面积分转换成空间区域上的三重积分

17、以下给出上述原理的具体证明。若在虚功原理的变分方程(10-8)中，考虑到给定位移的部分表面Su上，所以 (面力不能作功)；在给定面力的部分表面ST上，边界条件成立。又因S=Su+ST，于是对ST的积分可以写成对S的积分，即有此处。将式(b)代入式(a)得当变形体处于平衡状态时，由式(10-4)，知式(c)展开式的第一项积分等于零。将式(d)代人式(c)得 又由 及 ，故以上，证明了当给予系统微小虚位移时，外力的总虚功与物体的总虚应变能相等是物体处于平衡状态的必要条件。此外，我们还可以证明 是物体处于平衡状态的充分条件即由。可导出平衡方程 和应力边界条件 因此，满足变分方程(10-9)的解就一定

18、能满足平衡方程和应力边界条件。由此，虚位移原理也可表述为：变形体处于平衡状态的必要与充分条件是:对对于于满满足足变变形形连连续续条条件件及及几几何何约约束束边边界界条条件件的的任任意意微微小小虚虚位位移移。外外力力所所作作总总虚虚功功在在数数值值上上等等于于变变形形体体所所产产生生的的总总虚虚变变形形能能。在应用虚功方程求解时，所选取的解不必预先满足平衡方程和应力边界条件，但根据上述讨论必必须须满足几何边界条件。满足几何边界条件。由以上讨论可知，虚功原理变分方程(10-9)等价于平衡方程与应力边界条件。及变形连续性条件及变形连续性条件 在上述虚功原理的推导中未涉及材料的本构关系，就是说，虚位移

19、原理对于弹性体、弹塑性体和理想塑性体等都是适用的。例例10-110-1设有图10-1所示的简支梁受均布载荷，试写出梁的挠曲线的微分方程。解解 梁梁在在平平衡衡状状态态下下给给以以虚虚位位移移 时，由虚功原理得到：，因此，则 代人式(1)并令，整理后得经两次分部积分后，可化为其中(曲率为负)外力所作的虚功为 由此，据 ，有 由于 在支承间的任意性，得 可知式(6)前一式所表示的是以位移表示的平衡方程。对于简支梁边界条件，在支承x=0，x=l处，而 0，因此得 ，即在支承处弯矩等于零；注意到 ，即剪力不等于零。所以静力边界条件自动满足。于是有式(6)前一式即为所求梁的挠曲线方程，由材料力学弯曲理论

20、由于 在支承间的任意性，得 例：三杆AB、AC、AD 在A点铰接，受铅垂力P，三杆的弹性模量均为E，面积为A，杆AC=l/2，杆AB=AD=l，试用虚位移原理、最小势能原理、最小余能原理、广义势能原理，求解此问题。解（1）用虚位移原理求解。设：杆1的（AC）的伸长为1 杆2的（AB）的伸长为2 杆3的（AD）的伸长为3 A点的位移为uA、vA312A1PBCDA（1）（3）（2）6060UAvA上式变分虚变形1、2、3，虚位移为uA、vA应满足几何关系由虚功原理设：三杆的（AC）的内力分别为N1、N2、N3由于 任意 即为平衡方程，也就是等价于平衡方程引入物理关系整理得（2）用最小势能原理求解

21、。势能为代入得由于 任意 即为几何方程，也就是等价于几何方程（2）用最小余能原理求解。满足附加条件即平衡方程若令P产生一个微小改变 P，而N2、N3不变，则N1=P由于由支座没有位移约束力的功变形协调方程解得化简后得化简后得所以对称最最小小势势能能和和最最小小余余能能实实际际上上是是在在一一种种条条件件下下的的泛泛函函极极值值问问题题，在在系系统统是是有限个自由度时则是在一定条件下的多元函数的极值问题有限个自由度时则是在一定条件下的多元函数的极值问题势能势能广义势能原理广义势能原理 引入乘子引入乘子满足的条件是，满足的条件是，位移边界和几何条件位移边界和几何条件余能余能满足的条件是，满足的条件

22、是，平衡方程和应力边界平衡方程和应力边界必须满足 几何条件或改写成或改写成则则原原来来的的泛泛函函的的条条件件极极值值问问题题就就转转化化为为新新泛泛函函的的无无条条件件极极值值问问题题，由由后后者者的的极值条件极值条件平衡方程，几何方程平衡方程，几何方程由（2）（3）（5）（6）极值条件可得代入（1）式由以上结果可知，采用乘子法将使分析方法更为系统化，而1、2分别代表相应几何条件的内力广义余能广义余能 原理原理 引入乘子引入乘子把问题转化为新泛函的无条件极值问题，其极值条件为把问题转化为新泛函的无条件极值问题，其极值条件为把问题转化为新泛函的无条件极值问题，其极值条件为把问题转化为新泛函的无

23、条件极值问题，其极值条件为将（1）（3）代入（2）再由（4）（5）式解得而4、5的物理意义位移10-4 最小最小(总总)势能原理势能原理卡氏第一定理卡氏第一定理一、关于势能的概念一、关于势能的概念在第三章中，我们已指出应变能函数就是弹性势能函数。在能量守恒系统中，质点或质点系对于某一参考位置的势能可以用作用在其上的全部力从现有位置移到该参考位置所作的功来度量。现在所讨论的弹性杆件，由于其变形是可逆的，也是个能量守恒系统，所以若取杆件在未受力时的状态作为参考状态，则在受力后它对于该参考状态的总势能就用杆件从变形的受力状态到未受力状态时作用在其上的全部力(包括外力和内力两部分)所作的功来度量。为便

24、于理解，取上端固定下端自由并在自由端处悬挂一重物的拉杆(图10-2)为例来说明。从拉杆未受力的状态到挂上重物而发生了变形后的受力状态，重物的重力(外力)作正功。而圆杆的内力与重物的重力组成平衡力系，所以此时杆的内力作负功，这个功在数值上就等于积蓄在杆内的应变能U。于是我们在杆体加载后处于平衡的受力状态的位置下，来计算上述系统的势能。图10-2所示拉杆从它的变形状态到未变形前的参考位置来说，它可以作功，也即内力势能为+U。而对于外力P可以对于位移作负功(一P)，其所以是负的，是因为从杆的变形状态到未受力状态的参考位置来说，外力施力点位移与外力P在指向上是相反的，这也就是说外力的势能应以(一P)来

25、量度(数值上不同于卸载时的外力功)。根据这些分析可知，图10-2所示拉杆的总势能式中U为内力势能，数值上等于应变能：-w为外力势能，也可以理解为数值上等于常力P 的实功。对于线弹性体来说，在加载过程中的外力功为 ，其数值即为储存于杆件内的应变能，故有总势能 恰等于负值的应变能U是线弹性体固有的特点。在10-8中还将计算上述拉杆的总余能。二、最小二、最小(总总)势能原理势能原理 理论力学已表明：在势力场中质点系在平衡位置的势能具有驻值。于是上面所讨论的虚功原理可以表示成另一种形式。由于虚位移是很微小的。因此在产生虚位移的过程中，外力的大小和方向可以看作是不变的，只是作用点有了改变。这样我们可以把

26、式(10-8)中的变分符号提到积分号的前面，并将应变能函数表示成位移的函数，令 记作这个变分量，有于是有 其中 其附加条件为 式中 称为整个体系的总势能；U为变形体的应变(势)能；W为一定的外力在ST上所作的功，而W为外力的势能。当物体在不受外力作用的自然状态下，应变势能与外力的势能均为零。注意到位移分量 是坐标xi的函数，总势能 显然是位移 的泛函。式(10-14)说明，当位移从真正的 变化到约束所允许的 ，也即有位移函数变分 时，总势能泛函的一阶变分为零，因此真实的位移场使总势能取极值。也就是表示在一切可能平衡的状态下，体系的总势能是极大或极小，也就是其总势能为最小或最大值。对于稳定的平衡

27、状态来说，物体偏离平衡状态而有虚位移时，其总势能的增量恒为正。由此可证明，总势能 的二阶变分为正。因此在稳定的平衡状态，体系的总势能为最小。于是我们得出最最小小(总总)势势能能原原理理：在在所所有有满满足足给给定定几几何何边边界界条条件件的的位位移移场场中中，真真实实的的位位移移场场使使系系统统的的总总势势能能取取最最小小值值。上上述述原原理理的的数数学学表表达达式式即即为为式式(10-14)、式(10-15)、式(10-16)。证明证明 现在，我们来给出总势能 的二阶变分为正的证明。例例10-2 10-2 设有受力分布载荷集度为q(x)作用的简支梁。试用最小势能原理导出梁的挠曲线方程(图10

28、-3)。解解 略去剪应力。由最小势能原理，知 有 式中，由此得 根据 P=0，变分量为 ，注意到 故 对式(7)等号右边第一项进行两次分部积分，可得 于是式(7)化为 由于 的任意性，得 ，即为挠曲线方程。对于简支梁边界条件：所以式(9)第二项中 。此即表示支点处梁的弯矩为零，请注意支点处剪力不为零，可见静力边界条件自动满足。三、卡氏第一定理三、卡氏第一定理 由最小总势能原理可导出材料力学能量法中介绍的卡氏第一定理。假定有一组广义力Qi(i=1，2，n)作用下处于平衡状态的弹性结构物，系统的应变能可表示为相应的广义位移i(i=l，2，n)的函数U(i)，系统的总势能为 根据势能泛函按泰勒级数展

29、开取一阶变分，并由最小势能原理有 由于变分的独立性，为满足式(m)，连加号中只有第i个外力作用点的位移对总势能有影响，也即只有第i个取导不为零。则可得n个独立的方程将式(l)代人式(n)得 式(10-17)说明：弹弹性性体体系系的的应应变变能能对对于于其其上上某某一一外外力力点点的的位位移移之之变变化化率率就就等等于于该该外外力力的的数数值值。这这就就是是卡卡氏氏第第一一定定理理。该定理既适用于线性弹性体，又适用于非线性弹性体。因为在计算中U=U(i)为一般弹性体的应变能。对于梁内任一点的单位应变比能于是梁的全部应变能为 按卡氏第一定理式(10-17)，有 由式(3)即可根据已知转角 求得外力

30、偶矩M的值。例例10-3 10-3 悬臂梁自由端的转角为 ，试确定施加于该处的力偶M，梁的材料是在线弹性范围内工作的，见图10-4。解解 梁的任一点处的线应变为 ，式中 为挠曲线的曲率半径。此梁处于纯弯曲状态，挠曲线为圆弧(图l0-4)。于是 。则 式可改写为10-5 余虚功原理余虚功原理(虚应力原理虚应力原理)一、关于势能的概念一、关于势能的概念而在已给定面力的边界上不能改变，即所谓虚虚应应力力是是当当变变形形体体处处于于平平衡衡状状态态时时，满满足足力力的的平平衡衡条条件件及及指指定定的的力力的的边边界界条条件件的的任任意意的的可可能能的的微微小小的的应应力力，虚虚应应力力记记作作 。这这

31、就就是是说说变变分分的的函函数数不不再再是是位移而是应力。虚应力的特征是，它使改变后的应力分量位移而是应力。虚应力的特征是，它使改变后的应力分量，仍满足平衡方程和应力边界条件，但不满足变形协调方程，即 。又如将物体V的表面分为两部分时(即给定面力的部分表面ST和给定位移的部分表面Su)，则在Su上，由于应力分量的变化，面力分量Fi也随之变化。于是在Su上有：将式 与原边界条件 ，相减后，得将式与产生虚应力以前的平衡方程 相减后，可得现在考虑变形体处在给定条件下的相容状态，位移分量和应变分量为 和且有仍然根据虚功原理式 ，则当变形体的应力分量有一微小虚应力变化时，余虚功原理可表述为：变形体处于相

32、容状态时，微小虚外力在真实位移上所作的总余虚功。在数值上等于虚应力在真实应变上所作的总虚余应变能。如设 为虚外力在实际位移上(也即其位移边界Su上相应的虚反力在已知位移上)所作的总余虚功，则有 设 为物体内的虚应力在实际应变上所作的总余虚应变能，则有 由余虚功原理 知，也即 其展开式为 其附加条件为 式(10-23)或式(10-24)为余虚功原理的应力变分方程。余余虚虚功功原原理理也可以叙述为：变变形形体体满满足足相相容容状状态态的的必必要要与与充充分分条条件件，是是对对于于满满足足平平衡衡条条件件及及静静力力边边界界条条件件的的任任意意微微小小虚虚应应力力。虚虚外外(反反)力力所所作作总虚余

33、功数值上等于变形体的总虚余应变能。总虚余功数值上等于变形体的总虚余应变能。应当指出，余虚功原理的成立也与材料的本构关系无关。不限于线弹性体。还应指出，在虚位移原理中包含了实际的外力和内力，因而可理解为，虚位移原理的位移变分方程是系统平衡的要求，等价于平衡条件(包括静力边界条件)。而虚应力原理则包含有实际的位移和应变，所以，可把虚应力原理的应力变分方程看作是对物体变形协调的要求，等价于应变协调方程。前面我们已引进了余应变能(余能)的概念。现在我们来结合虚功原理与余虚功原理再进一步阐明：功与余功、应变能与余应变能及其“虚”的数学意义。10-6 关于实与虚的功与余功、应变能与余应变能的概念关于实与虚

34、的功与余功、应变能与余应变能的概念一、功与余功、虚功与虚余功一、功与余功、虚功与虚余功 考虑图10-5所示非线性弹性材料在单向拉伸下的力-位移曲线。我们知道，曲线以下画有水平阴影线的面积We等于力P在位移达到某值u的过程中所作的功(实功)，则 如位移微量增加u，则相应功的增量为式中W是功的全增量，等式右边第一项 ，代表外力功的一阶变分，它是一个一阶无穷小量，实际上就是泛函W的一阶变分。此部分 就是发生虚位移时外力所作的虚功。显然对于线弹性体，式中将不存在高阶项。如推广到三向受力情况，外力(包括体力和面力)功的增量写作式中略去高阶项，而外力功的一阶变分(虚功)为至此，结合图10-5，我们已说明了

35、外力功(实功)与其一阶变分(虚功)的数学意义。再看图10-5中曲线以上画有竖直阴影线的面积(We)c，由于它是矩形Pu中除去外力功We之后余下的部分，因此把它叫做余功，则如外力增量为 P，则相应余功的增量为推广到三维的情况，如果体力和面力各有增量及，相应的余功的增量为式中 是余功的一阶变分。实际上就是泛函(We)c的一阶变分。此部分 就是发生虚外力时，在实位移上所作的虚余功。式中 是余功的一阶变分(余虚功)(i)功与余功是互补的，功与余功是互补的，We+(We)c=Pu。(ii)功功的的变变分分来来自自位位移移的的增增变变。积积分分变变量量为为位位移移分分量量。余余功功的的变变分分来来自自外外

36、力力的的增增变变。积积分分变变量量为为力力的的分量。分量。(iii)在线弹性时。有在线弹性时。有We=(We)c。关于功与余功的问题需注意以下三点：过去，我们把用应变表示的弹性应变能函数U称为应变能，现在我们把用应力表示的余应变能函数Uc称为余应变能。二、应变能与余应变能二、应变能与余应变能(余能、应力能余能、应力能)图10-6画出的应力应变曲线，类似于上述功与余功的讨论：曲线下面画有水平阴影线的面积U0()代表积累于弹性体单位体积的应变能，也称应应变变比比能能。整整个个弹弹性性体体的的应应变变能能应等于应变比能对体积的积分。由图10-6可见，在单向拉伸情况下，当应变 有增量 时，变形比能的一

37、阶变分为 推广到三向应力状态，则整个弹性体的应变能的一阶变分，也即所谓虚应变能为 类似于上面讲到的余功，图10-6中曲线上画有竖直阴影线的面积 代表余应变比能。余应变比能对体积的积分，为整个弹性体内的余应变能 ，在单向拉伸情况下，当应力有增量如 时，余应变比能的一阶变分为而整个弹性体的余应变能的一阶变分即所谓虚余应变能为同样对于应变能与余应变能问题，应注意以下三点：(i)余应变能与应变能是互补的。也即：余应变能与应变能是互补的。也即：。(ii)应变能的积分变量为应变分量。余应变能的变分来自应力分量的增变。应变能的积分变量为应变分量。余应变能的变分来自应力分量的增变。(iii)在线弹性时，在线弹

38、性时，。由上述第一点推广到一般应力状态，我们可以再一次证明弹性势函数对应力、应变的微分关系(见3-4、3-6)。由于 ，则式(10-30)中的两式表明了弹性体的应力应变关系，再一次强调：一般非线弹性体余应变能 与应变能 是不相等的，对于线弹性体则例外。一、最小余能原理一、最小余能原理10-7 最小最小(总总)余能原理余能原理类似于最小(总)势能的推导，可由余虚功原理导出最小(总)余能原理。由式(10-23)将应变能函数表示成应力的函数，即应变分量可由余应变能函数导出 ，则于是有当有虚应力时，在边界Su上，位移分量保持不变。于是可把上式的变分符号放在积分号外，令 记作这个变分量，有 于是有其中

39、其附加条件为 式中，c称为总余能；Uc为变形体的余应变能；Wc为在位移已给定的部分表面Su上外力的余功，-Wc即为外(反)力在Su上的余能。注意到应力分量 是坐标xi的函数，总余能c显然是应力 的泛函。式(10-31)说明，当应力从真正的 变化到静力所允许的 +，也即有应力函数变分 时，总余能泛函的一阶变分为零，因此真实的应力场使物体的总余能取极值。与最小势能原理一样，进一步分析可以证明故得下列最最小小总总余余能能原原理理：在在所所有有满满足足平平衡衡方方程程和和应应力力边边界界条条件件的的应应力力场场中中。真真实实的的应应力力场场对对于于稳稳定定的的平平衡衡使使系系统统的的总总余余能能取取最

40、最小小值值。一一般般最最小小总总余余能能原原理理通通常常称称为为最最小小余余能能原原理理，但但其其中中余余能能指指系系统统的的总总余余能能，比比余余应应变变能能具具有有更更广泛的概念。广泛的概念。10-8 最小功原理最小功原理卡氏第二定理卡氏第二定理此时总余能等于余应变能，变分方程(10-35)称为最最小小功功原原理理：若若变变形形体体的的面面力力给给定定。或或位位移移边边界界固固定定，则则在在所所有有满满足足平平衡衡方方程程和和边边界界条条件件的的应应力力场场中中。真真实实的的应应力力场场必必使使余余应应变变能能取取最最小小值值。对于线弹性体，余应变能与应变能相等，故式(10-35)又称为最

41、最小小应应变变能能定定理理：没没有有体体力力而而物物表表面面上上位位移移给给定定的的情情况况下下，线线弹弹性性体体处处于于实实际际的的弹弹性性平平衡衡时时。应应变变能能为为最最小小。当物体偏离其稳定平衡位置时，其余能(应变能)将增加。因此，此时必有现在指出最小余能原理的一种特殊情况。若在物体的全部表面S上给定面力 (也即只有ST而无Su)，则 ，或者位移边界固定(变形体系无支座移动)，可知Wc=0，则 最小功原理也可以由下述卡氏定理式(10-38)直接得出。该定理给出了材料力学、结构力学中求解静定系统的位移或超静定系统多余反力的常用公式。如假定变形体上受n个广义力Qi(i=1，2，n)的作用，

42、并认为系统的内力已由广义力表示，则系统的总余能为 现在讨论由最小余能原理推导出熟知的材料力学中的卡氏第二定理，常称为卡氏定理。其中i为与广义力Qi相对应的广义位移。由最小余能定理，有由于变分Qi的独立性，则得n个独立方程 将式(a)代入式(c)，得 式(10-37)即卡氏第二定理，它可叙述为：对对于于线线性性结结构构，它它的的余余应应变变能能Uc对对任任一一载载荷荷Qi的的偏偏导导数数等等于于该该载载荷荷相相应应的的位位移移i。只只要要它它的的应应变变能能表表达达为为载载荷荷的的函函数数。因此，此式可用来计算线性、非线性弹性杆件或构件在外力Q i作用处与Q i相应的位移i。当i为零时可转化为最

43、小功原理。对于线弹性体，由于余应变能Uc与应变能U是相等的，故而在材料力学中常表示为但必须指出，上述公式仅对线性弹性体适用。例例10-4 试用最小余能原理求图10-7所示超静定梁的支座反力。现仍举图10-2所示拉杆为例：余应变能Uc=U=；由于固定端边界位移，支反力R的余功Wc=0，于是有 解此题系两次超静定梁，现取RB、RC为多余支座反力，则可利用平衡条件将RA和MA用RB和RC来表示。则据力系的平衡条件Z=0和MA=0，得可解得 由于边界支座没有位移，所以Wc=0，则应用最小余能原理(或最小功原理或卡氏第二定理)，由 ，则 得：于是解得RB和RC，再由平衡方程解得RA和MA，即由得：10-

44、9 广义变分原理广义变分原理 在虚位移与最小势能原理中，以位移分量作为参与变分的独立变量；而虚应力原理与最小余能原理，则以应力分量为参与变分的独立变量。这种类型的变分原理称为一类变量变分原理一类变量变分原理。赖赖斯斯纳纳(Reissner)(Reissner)变变分分原原理理就是把位移和应力看作是独立的变量，其结果相当于同时满足平衡微分方程、物理方程和应力、几何边界条件，称为二二类变量广义变分原理类变量广义变分原理。而胡胡一一鹫鹫变变分分原原理理是把位移、应变和应力作为独立变量，它等价于弹性力学的一切基本方程和全部边界条件，称为三三类类变变量量广广义义变变分分原原理理。这些原理是用拉氏乘子法，

45、将条件极值问题变成无条件的驻值问题，是弹性力学中最一般的变分原理，称为广义变分原理广义变分原理，也称为一般变分原理。一般变分原理。为推导胡一鹫变分原理，可以从最小势能原理出发，引用拉氏待定乘子法，即把它的附加条件纳入变分方程中去，从数学方法来说，就是把条件极值问题用拉格郎日乘子法加以变化，从而得到一般变分原理的泛函。我们知道，最小势能原理是以为 变分量，附加条件为：在Su上,，在V内有 ，共九个关系式。这是条件驻值问题，于是，我们在P内引进九个拉氏乘子 (i=1，2，9)，于是得到一般变分原理的泛函H的展开式为简写式为 式(10-39)或式(10-40)中每一项都应有功的量纲，故,相应地应 为

46、 及，相应地应为 这样九个特定拉氏乘子；于是参与变分的独立变量为 ，共计18个：、此外，没有别的约束条件。以下先按上述关系将 更换。由式(10-40)得 现在求式(10-41)IIH的驻值，以一阶变分 IIH=0，运算中注意到对给定条件(如 、)均不变分，并有下列关系式于是推证中引用式(a)有 由于 、的任意性，可得 以上是弹性力学问题的全部基本方程及边界条件弹性力学问题的全部基本方程及边界条件。以上是弹性力学问题的全部基本方程及边界条件弹性力学问题的全部基本方程及边界条件。上述方程即弹性力学问题的全部基本方程。弹性力学问题的全部基本方程。由此可见，最小势能原理和最小余能原理都是条件变分原理，

47、Reissner与胡一鹫原理都是无条件变分原理。这两种广义变分原理都有不同形式的泛函，而当应力应变关系事前得到满足时，三类变量可以退化为二类变量，其变分方程是完全等价的。例例10-5 10-5 如图10-8的一个左端固定，右端简支，全段受分布载荷q(x)及简支点受弯矩M0作用的梁。试给出泛函IIP、IIR，并验证IIH=0。等于此问题的全部方程和边界条件。解解 最小势能原理的泛函IIP(体力Fi=0)为几何边界条件为 为了求出泛函H，我们在式(1)中引用拉氏乘子：M、RA、MA、RB，并将k=作为附加条件处理。于是上述问题化为条件极值问题。如前所述，我们有泛函H为 其中变分量为k、w、M、RA

48、、MA和RB，而无其他附加条件。式(3)的一阶变分为 注意到 根据所得结果，拉氏乘子的物理意义也就明确了。根据所得结果，拉氏乘子的物理意义也就明确了。于是有 由由 IIH=0，及及 k、ww、M、RB、MA和和 RA等等的的任任意意性性，可可得得所给问题的全部方程和边界条件所给问题的全部方程和边界条件平衡方程平衡方程 几何方程几何方程 协调方程协调方程 边界条件边界条件 10-10 各变分原理之间的关系各变分原理之间的关系10-11 基于变分原理的近似解法基于变分原理的近似解法 本节介绍两类基本变分原理的应用，即基于虚位移原理或最小势能原理而利用位移变分方程的近似解法，以及基于虚应力原理或最小

49、余能原理而利用应力变分方程的近似解法。弹性力学的变分方法不但如前所述可以得到一样的精确解，其重要作用还在于可以应用于近似计算方法中。除在一般问题近似解法中外，还在薄板、薄壳等弹性力学问题及有限元计算中其优越性将充分显示出来。此处我们将分别介绍基于上述两类变分原理的最广泛使用的两种具体近似解法：RayleighRitz(简称Ritz)法和 （伽辽金）（伽辽金）法。一、基于最小势能原理的近似解法一、基于最小势能原理的近似解法1Ritz法法(瑞兹法瑞兹法)例例10-6 设设有有长长度度为为l的的简简支支梁梁，受受均均布布载载荷荷q作作用用。试试根根据据材材料料力力学学理理论论求求梁梁的的挠挠度度v(

50、x)，如图如图10-10所示。所示。解：用Ritz法。由 按所设定的坐标，根据材料力学知梁在x及z向的位移 。故有(A)考虑 =0，如设显然式(3)满足边界条件 今仅取式(3)的第一项，则最小势能原理的泛函P为今仅取式(3)的第一项，则最小势能原理的泛函P为将b1代人式(3)，得梁的挠度为式(7)给出的最大位移与材料力学的解相等。而材料力学的解为：，相对误差为20，如取式(3)的前两项，则可得：，于是有(B)考虑Vo=0，如设位移函数为下列三角级数：式中b1，b2，bn为待定系数，即梁的挠度曲线将由一组正弦曲线叠加而成(图10-11)。此时，最小势能原理的泛函P仍为等号右边第一项的被积函数为