高等数学 偏导数.ppt

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1、高等数学偏导数设二元函数设二元函数z=f(x,y),P0(x0,y0)为平面上一点为平面上一点.定义定义9.3如果如果z=f(x,y0)在在x0的某一邻域内有定义且在的某一邻域内有定义且在x0点点即极限即极限存在存在,则称此极限为函数则称此极限为函数对对x的偏导数的偏导数,记为记为或或可导可导,2证证证毕证毕例例 设设证明证明6偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 7解解利用函数关于自变量的对称性利用函数关于自变量的对称性,有有例例 求求 的偏导数的偏导数8三个偏导数三个偏导数.解解 求某一点的偏导数时求某一点的偏导数时,例例变为一元函数变为一元

2、函数,代入代入,在点在点(1,0,2)处的处的可将其它变量的值可将其它变量的值再求导再求导,常常较简单常常较简单.9 求求 在点在点(1,0)处的两个偏导数处的两个偏导数.解解1解解210证证例例 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程(R 为常数为常数),求证求证:11有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：例例解解1.偏导数偏导数 是一个整体记号是一个整体记号,不能拆分不能拆分;2.分界点、不连续点处的偏导数要用定义求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;12按按定义定义得得133.偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系但函数在该点处没有极限，所以不连续但函数在该点处没有极

3、限，所以不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续连续，由前面的例子可知在由前面的例子可知在(0,0)处处,例如例如,函数函数14例例 研究函数研究函数 在在(0,0)点的点的解解 因为因为连续性与可偏导性连续性与可偏导性.所以所以,函数在函数在(0,0)点连续点连续.而而所以所以,15 二元函数二元函数f(x,y)在点在点(x0,y0)处两个偏导数处两个偏导数 fx(x0,y0),f y(x0,y0)存在是存在是 f(x,y)在该点连续的在该点连续的().A.充分条件而非必要条件充分条

4、件而非必要条件B.必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既非既非充分条件又非必要条件充分条件又非必要条件D16设二元函数设二元函数在点在点有有如图如图,为曲面为曲面偏导数偏导数.上的一点上的一点,过点过点作作平面平面此平面此平面与曲面相交得一曲线与曲面相交得一曲线,曲线的曲线的方程为方程为由于偏导数由于偏导数等于一元函数等于一元函数的的导数导数故由故由一元函数导数的几何意义一元函数导数的几何意义9.2.2 偏导数的几何意义偏导数的几何意义17可知可知:偏导数偏导数在几何上表示在几何上表示曲线曲线在点在点处的切线对处的切线对x轴轴的斜率的斜率;偏导数偏导数在几何

5、上表示在几何上表示曲线曲线在点在点处的切线对处的切线对y轴轴的斜率的斜率.18设设19例例 求求曲线曲线在点在点(2,4,5)处的切线处的切线与与x轴正向所成的倾角轴正向所成的倾角.解解20纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.9.2.3 高阶偏导数高阶偏导数函数函数 的二阶偏导数为的二阶偏导数为21解解例例 设设求求22一般地一般地,多元函数的高阶混合偏导数如果连多元函数的高阶混合偏导数如果连续就与续就与求导次序无关求导次序无关.如果函数如果函数的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏在区域在区域D内内连续连续,定理定理9.1那么在那么在导数导数该区域内该区域内如如问题问题:混合偏导数都相等吗混合偏导数都相等吗?具备怎样的条件具备怎样的条件 才相等才相等?23解解利用函数关于自变量的对称性利用函数关于自变量的对称性例例 验证函数验证函数 满足满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程24例例 验证函数验证函数满足满足波动方程波动方程:证证 因因故有故有25例例26 答案答案:0解解27解解作业作业 习题习题9.2(9.2(P166)1.(4)(5)2(2).3.4.(1)(2)828此此课件下件下载可自行可自行编辑修改，修改，仅供参考！供参考！感感谢您的支持，我您的支持，我们努力做得更好！努力做得更好！谢谢!