运筹学整数规划和分配问题新.pptx

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1、整数线性规划的一般形式:第1页/共69页不考虑整数要求时，最优解为：X=(3.25,2.5)X=(3.25,2.5)T T Z=13 Z=13 （见下页图解法）考虑整数要求时，最优解为：X=(4 X=(4,1),1)T T Z=14Z=14凑整 （3 3，2 2）可行，非最优，Z=13Z=13。（4 4，3 3），（4 4，2 2），（3 3，3 3）不可行第2页/共69页第3页/共69页二、整数规划的分类1.1.全整数线性规划 决策变量全部取整数，约束系数和约束常数项也取整数的整数线性规划。2.2.纯整数线性规划 决策变量全部取整数，约束系数和约束常数项可取非整数的整数线性规划。纯整数线性规

2、划可化为全整数线性规划。3.3.混合整数线性规划 决策变量中有一部分取整数值，另一部分可取非整数值的整数线性规划。4.0-14.0-1整数线性规划 决策变量只能取0 0或1 1的整数线性规划。第4页/共69页三、0-1变量（或称逻辑变量）在模型中的应用 整数规划模型对研究管理问题有重要意义。很多不能归结为线性规划数学模型的管理问题，却可以通过设置逻辑变量建立起整数规划数学模型。第5页/共69页第6页/共69页第7页/共69页第8页/共69页第二节 分配问题(指派问题）与匈牙利法 2-1 2-1 问题的提出及数学模型 假设有m m项任务分配给m m个人去完成，并指定每个人完成其中一项，每项任务也

3、只由一个人完成，问应如何分配任务，才能使总效率最高？（或总费用最少，花费的总时间最少等等。）设每个人完成不同任务的耗费见下面的效率矩阵，通常要求a aijij00。第9页/共69页第10页/共69页则分配问题的数学模型为第11页/共69页2-2 2-2 匈牙利法定理1.1.如果从分配问题效率矩阵(a(aijij)的每一行元素中分别减去（或加上）一个常数u ui i （称为该行的位势）；从每一列中分别减去（或加上）一个常数 v vj j （称为该列的位势）；得到一个新的效率矩阵b bijij，其中b bijij=a=aijij-u ui i-v-vj j ，则a aijij的最优解等价于b bi

4、jij的最优解。定理2.2.若效率矩阵A A的元素可分成0 0与非0 0两部分，则覆盖所有0 0元素的最少直线数等于位于不同行不同列的0 0元素的最大个数。第12页/共69页第13页/共69页匈牙利法的步骤：第一步 效率矩阵每行都减去该行的最小元素；第二步 效率矩阵每列都减去该列的最小元素；此时，效率矩阵的每行每列都有0 0元素。第14页/共69页第三步 寻找位于不同行不同列的0 0元素，也就是寻找能覆盖所有0 0元素的最少直线数。方法：1.1.从只有一个0 0元素的行开始，对0 0元素打上（）号，然后对打（）的0 0元素所在列画一条直线，依次进行到最后一行；2.2.从只有一个0 0元素的列开

5、始，对0 0元素打上（）号，然后对打（）的0 0元素所在行画一条直线，依次进行到最后一列；第15页/共69页3.3.重复1.1.、2.2.两个步骤，可能出现三种情况：（1 1）若能找到m m个位于不同行不同列的0 0元素（即带（）的0 0元素），则令（0 0）处的x xijij=1,=1,求解结束；（2 2）若有形成闭回路的0 0元素，则任选一个打（），然后对每个间隔的0 0元素打（），同时对打（）的0 0元素所在行（或列）画一条直线。（3 3）若位于不同行不同列的0 0元素 即带（）的0 0元素 少于m m，转第四步。第16页/共69页第四步 为产生m m个位于不同行不同列的0 0元素，用定

6、理一对效率矩阵进行调整，使之生成新的0 0元素。方法：1.1.在效率矩阵未被直线覆盖的元素中找出最小元素k k；2.2.效率矩阵未被直线覆盖的行都减k;k;3.3.效率矩阵被直线覆盖的列都加k;k;4.4.转回第三步。第17页/共69页2-3 特殊情况的处理1.人数多于任务数，加虚拟任务。设有n人，m项任务，nm,则增加n-m项任务。2.人数少于任务数，加虚拟人员。设有n人，m项任务，nm,则增加m-n项任务。第18页/共69页此时，效率矩阵的元素全成为负值，不符合要求，根据定理1 1，令变换后的效率矩阵每行都加M M即可。3.对求最大值问题的处理设目标函数为可将其变换为第19页/共69页作业

7、：P126 4.7P126 4.7（a)4.8(a)a)4.8(a)第三节 分枝定界法一、分枝定界法的基本思想 先不考虑整数解的限制，用单纯形法求解其松弛问题，如果求得的解恰好是整数解，则得整数规划最优解，停止计算。否则，将松弛问题分解为两个子问题（也称后继问题），每个子问题都是在原松弛问题的基础上增加一个变量取整数的约束条件，这样就缩小了原来的可行域，然后用单纯形法求解，直至得到最终结果。第20页/共69页二、分枝定界法的步骤（最大值问题）第一步 寻找替代问题并求解 设原整数规划问题为IPIP，其松弛问题为L L0 0。用单纯形法求L L0 0，若L L0 0无可行解，则IPIP也无可行解，

8、计算停止。若求得L L0 0为整数解，则得IPIP的最优解，停止。否则，转下一步；第二步 分枝与定界 在L L0 0的解中，任选一个不满足整数条件的变量x xi i，设x xi i=b=bi i ，则做两个子问题第21页/共69页 不考虑整数条件，用单纯形法求解两个子问题，若得整数解或子问题的最优值小于前面分支中已计算得到的所有整数解的目标函数最大值，则停止分枝；否则，选取所有子问题中目标函数值最大的问题作为L L0 0继续分枝，直至得到整数规划的最优解。第三步 剪枝 在所有整数解中选取获得最大值的解为最优解。第22页/共69页第23页/共69页第24页/共69页第25页/共69页第26页/共

9、69页第27页/共69页第28页/共69页第四节 割平面法一、割平面法的基本思想 先不考虑整数条件，用单纯形法求解其松弛问题，若得整数解，即得整数规划最优解。否则，增加线性约束条件（称为割平面方程），将原问题的可行域切割掉一部分，被切割掉的都是非整数解，再用单纯形法求解新的线性规划问题，依次进行下去，直到使问题的最优解恰好在可行域的某个具有整数坐标的顶点上得到。第29页/共69页二、割平面法的步骤第一步 将问题化为全整数规划问题；第二步 加非负松弛变量，将约束条件化为等式约束；第三步 解相应的线性规划问题1.1.若线性规划的最优解是整数解，则得整数规划的最优解，停止计算，否则转2;2;2.2.

10、求解割平面方程作为附加约束条件，构成新的线性规划问题，继续第三步。第30页/共69页三、割平面方程的求法 1.1.求解线性方程组法 设x xi i=b=bi i 是整数规划的松弛问题（LPLP问题）最优解中取分数值（分数部分最大）的基变量，将x xi i=b=bi i用非基变量表示 将b bi i，a aikik分解成整数部分和非负真分数部分之和：第31页/共69页第32页/共69页 要使所有变量都取非负整数值，上式左端必为整数，从而右端也必为整数，由于f fi i 0 0，f fikik 0 0，故应有 这就是所求的割平面方程（GomoryGomory方程）。第33页/共69页例 设某整数规

11、划的松弛问题最优解中有x x1 1 =3.5=3.5，x x1 1的非基变量表达式为x x1 1=3.5+2.4 x=3.5+2.4 x4 4 3.6 x 3.6 x5 5+4 x+4 x6 6 =3+0.5+2 x =3+0.5+2 x4 4+0.4 x+0.4 x4 4-4 x-4 x5 5+0.4 x+0.4 x5 5 +4 x+4 x6 6或:x x1 1-3-2x-3-2x4 4+4x+4x5 5-4 x-4 x6 6=0.5+0.4x=0.5+0.4x4 4+0.4x+0.4x5 5 由此可得割平面方程为 0.5+0.4 x0.5+0.4 x4 4+0.4 x+0.4 x5 5 1

12、 1 第34页/共69页2.2.借助单纯形表法 对求解整数规划问题的松弛问题（LPLP问题）得到最优单纯形表，设x xi i=b=bi i 是最优解中取分数值（分数部分最大）的基变量，则有第35页/共69页 上式中，要使等式左端为整数，则右端也必为整数，由0 0f fi i1,1,故应有 这就是所求的割平面方程（GomoryGomory方程）。第36页/共69页例 设某整数规划的松弛问题最优解中有x x1 1=3.5=3.5，x x1 1在单纯形表中的约束条件为：x x1 1-2.4x-2.4x4 4+3.6x+3.6x5 5-4x-4x6 6=3.5=3.5 x x1 1-3x-3x4 4+

13、0.6x+0.6x4 4+3x+3x5 5+0.6x+0.6x5 5-4 x-4 x6 6=3+0.5 =3+0.5 或:x:x1 1-3-3x-3-3x4 4+3x+3x5 5-4x-4x6 6=0.5-0.6x=0.5-0.6x4 4-0.6x-0.6x5 5 由此可得割平面方程为 0.5-0.6x0.5-0.6x4 4-0.6x-0.6x5 500 第37页/共69页第38页/共69页第39页/共69页解：1.1.将问题化为全整数规划问题；去掉变量的整数要求，可得其松弛问题G G0 02.2.加松弛变量，将约束化为等式约束；并用单纯形法求解得到最优表；（表4-4-4 4）第40页/共69

14、页3.找出非整数解变量中非整数部分最大的一个基变量（这里是x2），并写出这一行的约束；第41页/共69页第42页/共69页第43页/共69页第44页/共69页第45页/共69页 4.4.由于表中还有非整数解，找出非整数解变量中非整数部分最大的一个基变量（这里是x x1 1），并写出这一行的约束；第46页/共69页第47页/共69页该表已得到整数解，故原整数规划问题的最优解为:x:x1 1=4=4，x x2 2=1=1，最优值为max max z=14z=14第48页/共69页第49页/共69页第50页/共69页第51页/共69页作业：P127129 4.13 4.14 4.16 P127129

15、 4.13 4.14 4.16 4.18 4.18 第五节 解0-10-1规划问题的隐枚举法一、隐枚举法的基本思想 首先令所有整数变量都取0 0值，然后使某些变量取值为1 1，直到获得一个可行解，将第一个可行解作为临时最优解（称为过滤条件），再继续试探某些变量的取值，若可找到另一个可行解优于临时最优解，则将新的可行解作为临时最优解（新的过滤条件），依此类推，检查整数变量等于0 0或1 1的各种组合，不断寻求新的临时最优解，直到获得问题的最优解为止。由于只计算部分可行解的组合（优于临时最优解的组合），故称为隐枚举法。第52页/共69页二、举例例3.3.求解0-10-1规划解 ：求解过程可以列表如

16、下第53页/共69页第54页/共69页第55页/共69页第56页/共69页第五节 应用举例例3 东方大学计算机实验室聘用4名大学生(代号1、2、3、4)和2名研究生(代号5、6)值班答疑。已知每人从周一至周五每天最多可安排的值班时间及每人每小时值班的报酬如下表47所示：第57页/共69页该实验室开放时间为上午8:00至晚上10:00，开放时间内须有且仅须一名学生值班。规定大学生每周值班不少于8h，研究生每周不少于7h，每名学生每周值班不超过3次，每次值班不少于2h，每天安排值班的学生不超过3人，且其中必须有一名研究生试为该实验室安排一张人员的值班表，使总支付的报酬为最少 解：设xij为学生i在

17、周j的值班时间，用aij代表学生i在周j最多可安排的值班时间，ci为学生i的每小时的报酬，则数学模型见下页。第58页/共69页第59页/共69页第60页/共69页第61页/共69页第62页/共69页第63页/共69页第64页/共69页第65页/共69页例6 清源市下设八个区，表411给出救护车从一个区至另一个区的车程时间(min)。该市拟建救护中心，要求各区离救护中心的车程时间必须在8 min之内试为该市提供决策建议：至少建多少个救护中心，建于何处?第66页/共69页第67页/共69页求解结果为x1=1，x6=1，即至少在1、6两个区各建一个救护中心。第68页/共69页感谢您的观看！第69页/共69页