复变函数-第1讲.ppt

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1、1课程名称课程名称复变函数复变函数复变函数复变函数与积分变与积分变与积分变与积分变换换换换教教 材材复变函数复变函数复变函数复变函数(四版四版四版四版)高教出版社高教出版社高教出版社高教出版社积分变换积分变换积分变换积分变换(四版四版四版四版)高教出版社高教出版社高教出版社高教出版社总总 学学 时时48学时（学时（42学时）学时）教师姓名蒋蒋 礼礼课程简介;2对对 象象复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。具体地就是复数域上的微积分。主要内容主要内容复变函数的积分、级数

2、、留数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。共形映射等。复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、3学习方法复变函数中许多概念、理论、和复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结意复数域上特有的那些性质与结果。果。4背景背景复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实

3、为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的看作不能接受的“虚数虚数”。直到十八世纪，。直到十八世纪，J.DJ.DAlembert(1717-1783)Alembert(1717-1783)与与L.Euler(1707-1783)L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清等人逐步阐明

4、了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。接受，复变函数论才能顺利建立和发展。5复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。（1789-1866)1789-1866)和和K.Weierstrass(1815-1897)K.Weierstrass(1815-1897)分别应用分别应用积分和级数研究复变函数，积分和级数研究复变函数，(1826-1866)(1826-186

5、6)研究复变函研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。体力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。支的联系也日益密切。6第

6、一讲复数第一讲复数71复数及其代数运算2 复数的表示方法 3 复数的乘幂与方根8一、复数的概念一、复数的概念1.虚数单位虚数单位:对虚数单位的规定对虚数单位的规定:92.复数复数:10 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚部它们的实部和虚部分别相等分别相等.复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部它的实部和虚部同时等于同时等于0.说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的可以比较它们的大小大小,如果不全是实数如果不全是实数,就不能比较大小就不能比较大小,也就也就是说是说,复数不能比较大小复数不能比较大小.11二、复数的代数运算二、复数的代数运算1

7、.两复数的和两复数的和:2.两复数的积两复数的积:3.两复数的商两复数的商:124.共轭复数共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数.例例2 2解解135.共轭复数的性质共轭复数的性质:以上各式证明略以上各式证明略.14例例 解解15例例 解解16&1.1.点的表示点的表示点的表示点的表示&2.2.向量表示法向量表示法向量表示法向量表示法&3.3.三角表示法三角表示法三角表示法三角表示法&4.4.指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法2 复数的表示方法171.点的表示点的表示点的表示：点的表示：A 数数z z与点与

8、点z z同义同义.182.向量表示法向量表示法A oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴 为始边为始边,以以 为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)19辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，把其中满足把其中满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz。A z=0z=0时，辐角不确定。时，辐角不确定。计算计算argz(z0)的公式的公式20A 当当z z落于一落于一,四象限时，不变。四象限时，不变。A 当当z z落于第二

9、象限时，加落于第二象限时，加 。A 当当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 。214.利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致减法运算一致.225.复数和差的模的性质复数和差的模的性质23利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成复数的指数表示式复数的指数表示式6.6.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示24引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程

10、引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例例1 用复数方程表示用复数方程表示:（1）过两点）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；（2）中心在点）中心在点(0,-1),半径为半径为2的圆。的圆。oxy(z)Lz1z2z解解（1）z=z1+t(z2-z1)（-t+）25xy(z)O(0,-1)226例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解故三角表示式为故三角表示式

11、为注意注意.复数的各种表示法可以相互转化复数的各种表示法可以相互转化,以适应以适应 不同问题的需要不同问题的需要.27指数表示式为指数表示式为故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为28二、复球面二、复球面1.南极、北极的定义南极、北极的定义29 球面上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内的与复平面内的点之间存在着一一对应的关系点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球我们可以用球面上的点来表示复数面上的点来表示复数.我们规定我们规定:复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应,记作记作 .因而球因而球面

12、上的北极面上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大 的几何表示的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应应,这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.2.复球面的定义复球面的定义303.扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面或简称复平面.对于复数对于复数 来说来说,实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无辐角等概念均无意义意义,它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.复球面的优越处复球面的

13、优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.3132&1.1.复数的复数的复数的复数的乘积与商乘积与商乘积与商乘积与商&2.2.复数的复数的复数的复数的乘幂乘幂乘幂乘幂&3.3.复数的复数的复数的复数的方根方根方根方根3 复数的乘幂与方根33定理定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。证明证明 设设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 则则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)

14、(cos2+isin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)=r1r2e i(1+2)1.乘积与商乘积与商因此因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz234几何意义几何意义 将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到再将其伸缩到|z2|倍。倍。A 定理定理1 1可推广到可推广到n 个复数的乘积。个复数的乘积。oxy(z)z1z2z235要使上式成立要使上式成立,必须且只需必须且只需 k=m+n+1.36定理定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数

15、与除两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。数的辐角之差。证明证明 Argz=Argz2-Argz1 即：即：由复数除法的定义由复数除法的定义 z=z2/z1，即，即 z1z=z2|z|z1|=|z2|及及Argz1+Argz=Arg z2（z10）37设设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。2.复数的复数的乘幂乘幂定义定义 n个相同的复数个相同的复数z 的乘积，称为的乘积，称为z 的的n次幂，次幂，记作记作z n，即，即z n=z z z（共共n个）。个）。定义定义特别：当特别：当

16、|z|=1时，即：时，即：zn=cosn+isin n，则有，则有 (cos+isin)n=cosn+isinn 一棣模佛一棣模佛(De Moivre)公式。公式。38问题问题 给定复数给定复数z=re i ，求所有的满足，求所有的满足n=z 的的 复数复数。3.复数的复数的方根方根（开方）（开方）乘方的逆运算乘方的逆运算 当当z0时，有时，有n个不同的个不同的值与值与 相对应，每一相对应，每一个这样的个这样的值都称为值都称为z 的的n次方根，次方根，39A 当当k=0=0，1 1，n-1-1时，可得时，可得n个不同的根，个不同的根，而而k取其它整数时，这些根又会重复出现。取其它整数时，这些根又会重复出现。几何上几何上，的的n个值是个值是以原点为中心，以原点为中心，为半为半径的圆周上径的圆周上n个等分点，个等分点，即它们是内接于该圆周即它们是内接于该圆周的正的正n边形的边形的n个顶点。个顶点。xyo40例例1 1解解41例例解解4243例例4 4解解44即即45例例证证利用复数相等可知利用复数相等可知:46等式得证等式得证.47思考题思考题复数为什么不能比较大小？复数为什么不能比较大小？48思考题答案思考题答案由此可见由此可见,在复数中在复数中无法定义大小关系无法定义大小关系.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.