复变函数论第三版钟玉泉PPT第三章.ppt

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1、复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院一、积分的定义一、积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或分段光滑或分段光滑)曲线曲线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向(或正向或正向),),那么我们就把那么我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线,称为称为有向曲线有向曲线.如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第一节第一节 复积分的概念极其简单性质复积分的概念极其简单性质

2、复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线简单闭曲线C的正向是的正向是指当曲线上的点指当曲线上的点P顺此方向顺此方向前进时前进时,邻近邻近P点的曲线的点的曲线的内部始终位于内部始终位于P点的左方点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为常把两个端点中的一个作为起点起点,另一个作为终点另一个作为终点,除特殊声明外除特殊声明外,正方向总是正方向总是指从起点到终点的方向指从起点到终点的方向.分段光滑的简单闭曲线简称为分段光滑的简单闭曲线简称

3、为周线周线.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院2.积分的定义积分的定义:(复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院二、积分存在的条件及其计算方法二、积分存在的条件及其计算方法1.存在的条件存在的条件证证参数增加的方向参数增加的方向,正方向为正方向为根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数

4、学与统计学院2.积分的计算方法积分的计算方法在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的,曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.即即复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例1 解解 直线方程为直线方程为这两个积分都这两个积分都与路线与路线C 无关无关例例2 解解 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例3 解解 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.一个重要而常一个

5、重要而常用的积分公式用的积分公式复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.绝绝对对不不等等式式三、复积分的性质三、复积分的性质复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例4解解根据估值不等式知根据估值不等式知复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院一、问题的提出一、问题的提出此时积分与路线无关此时积分与路线无关.第二节 柯西积分定理由于不满足柯西黎曼方程由于不满足柯西黎曼方程,故而在复平面内故而在复平面内处处不解析处处不解析.由以上讨论可知

6、由以上讨论可知,积分是否与路线有关积分是否与路线有关,可可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院二、柯西积分定理二、柯西积分定理定理中的定理中的 C 可以不是简可以不是简单曲线单曲线.关于定理的说明关于定理的说明:(1)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,(2)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,定理仍成立定理仍成立.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例1 1解解根据柯西积分定理根据柯西积分定理,有有例例2 2证证由

7、柯西积分定理由柯西积分定理,由柯西积分定理由柯西积分定理,由上节例由上节例4可知可知,三、典型例题三、典型例题复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例3 3解解根据柯西积分定理得根据柯西积分定理得复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院(1)注意定理的条件注意定理的条件“单连通域单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用注意定理的不能反过来用.应用柯西应用柯西积积分分定理应注意什么定理应注意什么?复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院1.问题的提出问题的提出根据本章第一节的讨论可知根据本章第一节的讨论可知,

8、由此希望将柯西积分定理推广到多连域中由此希望将柯西积分定理推广到多连域中.四、柯西积分定理的推广四、柯西积分定理的推广复合闭路定理复合闭路定理2.闭路变形原理闭路变形原理复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院得得复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院 解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理闭路变形原理说明说明:在变形过程中曲线不经在变形过程中曲线不经过函数过函数 f(z)的不解析的点的不解析的点.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计

9、学院华中科技大学数学与统计学院3.复合闭路定理复合闭路定理那末那末复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院4.典型例题典型例题例例1 1解解依题意知依题意知,根据复合闭路定理根据复合闭路定理,复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例2 2 解解圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例3 3解解由复合闭路定理由复合闭路定理,此结论非常重要此结论非常重要,用起来很用起来很方便方便,因为因为 不必是圆不必是圆,a也也不

10、必是圆的圆心不必是圆的圆心,只要只要a在在简单闭曲线简单闭曲线 内即可内即可.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例4 4解解 由上例可知由上例可知 复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点掌握并能灵活应用它是本章的难点.常用结论常用结论:复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定理一定理一由定理一可知由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关只与起点和终点有关,1.两个主要定理两个主要定理:五、原函数与不定

11、积分五、原函数与不定积分复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定理二定理二证证利用导数的定义来证利用导数的定义来证.由于积分与路线无关由于积分与路线无关,复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院由积分的估值性质由积分的估值性质,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.证毕证毕复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院2.原函数的定义原函数的定义:原函数之间的关系原函数之间的关系:3.不定积分的定义不定积分的定义:定理三定理三(类似于牛顿类似于牛顿-莱

12、莱布尼兹公式布尼兹公式)复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院证证根据柯西积分定理根据柯西积分定理,证毕证毕说明说明:有了以上定理有了以上定理,复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算跟微积分学中类似的方法去计算.4.典型例题典型例题 例例1 1解解由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例2 2解解(使用了微积分学使用了微积分学中的中的“凑微分凑微分”法法)例例3 3解解由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,另解另解此方法使用了微积此方法使用了微积分中

13、分中“分部积分法分部积分法”复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例4 4解解 利用分部积分法可得利用分部积分法可得课堂练习课堂练习答案答案例例5 5解解复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例6 6解解所以积分与路线无关所以积分与路线无关,由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院一、问题的提出一、问题的提出根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 C 的变化的变化而改变而改变,求这个值。求这个值。第三节第三节 柯西积分公式及

14、其推论柯西积分公式及其推论 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院二、柯西积分公式二、柯西积分公式定理定理证证此式称为此式称为柯西积分公式柯西积分公式复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院证证根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,左端积分的值与左端积分的值与 R 无关无关,所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.证毕证毕复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院(1)把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函

15、数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3)解析函数的平均值定理解析函数的平均值定理：一个解析函数在圆心处：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值的值等于它在圆周上的平均值.则有则有 柯西积分公式柯西积分公式的重要性在于的重要性在于:一个解析函数在区一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所所以它

16、是研究解析函数的重要工具以它是研究解析函数的重要工具.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院三、典型例题三、典型例题例例1 1解解由柯西积分公式由柯西积分公式复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例2 2解解(1)由柯西积分公式由柯西积分公式由柯西积分公式由柯西积分公式这种解法对吗？为什么？这种解法对吗？为什么？复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例3 3解解由由柯西积分公式柯西积分公式复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例4 4解解由闭路复合由闭路复合定理定理,得

17、得复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例5 5解解 根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,比较两式得比较两式得复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例6 6解解 被积函数被积函数 是多值函数，支点为是多值函数，支点为f(z)的原函数的原函数 仍是多值函数，在代入上、下限时仍是多值函数，在代入上、下限时需要考虑对应的单值分支。需要考虑对应的单值分支。01复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院其中积分方向应是顺时针方向其中积分方向应是顺时针方向.柯西积分公式对无界区域也是成立的，柯西积分公式对无界区域也

18、是成立的，五、解析函数的无穷可微性五、解析函数的无穷可微性问题问题:(1)解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同其定义和求法是否与实变函数相同?回答回答:(1)解析函数有各高阶导数解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示来表示,这与实变函数完全不同这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么解析函数高阶导数的定义是什么?复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定理定理证证根据导数的定义根据导数的定义,从柯西积分公式

19、得从柯西积分公式得复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院再利用以上方法求极限再利用以上方法求极限从而证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数从而证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推依次类推,利用数学归纳法可证利用数学归纳法可证证毕证毕复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而而在于通过求导来求积分在于通过求导来求积分.例例1 1解解复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技

20、大学数学与统计学院由复合闭路定理由复合闭路定理复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例2 2解解复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例3 3解解由柯西积分定理得由柯西积分定理得由柯西积分公式得由柯西积分公式得复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例4 4解解复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院六、柯西不等式与刘维尔六、柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理定理定理定理1(柯西不等式柯西不等式)设设 在区域在区域D内解析，内解析，为为D内内一点，区域一点，区域

21、包含于包含于D，则有，则有其中其中证明：证明：在在 上应用高阶导数公式，则有上应用高阶导数公式，则有由柯西不等式，容易得到刘维尔定理。由柯西不等式，容易得到刘维尔定理。刘维尔定理刘维尔定理:z平面上解析且有界的函数 必为常数由刘维尔定理，可以证得到代数学基本定理。由刘维尔定理，可以证得到代数学基本定理。复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院代数学基本定理代数学基本定理在在z平面上，平面上，n次多项式次多项式 （）至少有一个零点至少有一个零点证证(反证法反证法)假设假设 在在z平面上无零点，由于平面上无零点，由于 在平面上解析，在平面上解析，从而从而 在在z平面上也

22、是解析的其次，由于平面上也是解析的其次，由于所以所以，于是于是 ，使得，使得 ，。又因为又因为 在在 上连续，故上连续，故 ，使得，使得 ，从而在从而在z平面上有平面上有 ，即，即 在在z平面上解析且有界，平面上解析且有界，因此根据刘维尔定理，因此根据刘维尔定理，为常数，故为常数，故 亦为常数，亦为常数，这与已知这与已知 为多项式矛盾，定理得证为多项式矛盾，定理得证复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院七、摩勒拉七、摩勒拉(Morera)定理定理柯西积分定理说明，只要柯西积分定理说明，只要 在单连通区域在单连通区域D内解析，内解析，则对则对D内任一围线均有内任一围

23、线均有 。我们现在证明其逆也。我们现在证明其逆也是正确的是正确的摩勒拉定理摩勒拉定理设函数设函数 在单连通区域在单连通区域D内连续，且对内连续，且对D内任一围线内任一围线C，有，有 ，则，则 在在D内解析内解析证证依题意可知依题意可知可由导数的定义证明可由导数的定义证明因为解析函数的导数仍为解析函数因为解析函数的导数仍为解析函数,复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例6 6证证不等式即证不等式即证.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例7 7证证积分值与积分值与R无关，故有无关，故有f(a)=f(b).由由a,b的任意性得的任

24、意性得f(z)为常数为常数.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例8 8证证 任取一点任取一点z=a,取围道取围道C为为|z|=R|a|,逆时针方向逆时针方向,由柯西积分由柯西积分公式有公式有即有即有由由a的任意性得的任意性得f(z)为常数为常数.小结小结：高阶导数公式是复积分的重要公式：高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明它表明了了解析函数的导数仍然是解析函数解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的这一异常重要的结论结论,同时表明了解析函数与实变函数的本质区别同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数

25、学与统计学院高阶导数公式高阶导数公式这一点与实变量函数有本质的区别这一点与实变量函数有本质的区别.定义定义 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.第四节第四节 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系一、调和函数的定义一、调和函数的定义复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定理定理 任何在区域任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部它的实部和虚部都是和虚部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证证二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系根据解析函数高阶导数定

26、理根据解析函数高阶导数定理,证毕证毕复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院三、三、共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.四、四、偏积分法偏积分法 如果已知一个调和函数如果已知一个调和函数 u,那末就可以利用那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v,从而从而构成一个解析函数构成一个解析函数u+vi.这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院解解得一个解析函数得一个解析函数

27、这个函数可以化为这个函数可以化为例例1 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例2 解解所求解析函数为所求解析函数为复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院五、五、不定积分法不定积分法不定积分法的实施过程不定积分法的实施过程:将上两式积分将上两式积分,得得复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例3 3解解根据调和函数的定义可得根据调和函数的定义可得所求解析函数为所求解析函数为复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院用不定积分法求解例用不定积分法求解例1中的解析函数中的解析函数

28、 ，其，其 例例4 4解解复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例5 解解用不定积分法求解例用不定积分法求解例2中的解析函数中的解析函数 ,其其 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例6 解解两边同时求导数两边同时求导数所以上面两式分别相加减可得所以上面两式分别相加减可得 注注1 任意两个调和函数任意两个调和函数u与与v所构成的函数所构成的函数u+iv不一定不一定是解析函数是解析函数.注注2 满足柯西满足柯西黎曼方程黎曼方程ux=vy,vx=uy,的的v称为称为u的共的共轭调和函数轭调和函数,u与与v注意的是地位不能颠倒注意的是地位不能颠倒.