复变函数-总结.ppt

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1、复变函数与积分变换课程总结课程总结11.代数形式:复数的表示法1)点表示2)向量表示-复数复数z的模的模-复数复数z的辐角的辐角(argument)记作Arg z=q.-p-p 1.解解：1)函数函数 在在C内的内的z=1处不解析处不解析,但但cosp pz在在C内内却是处处解析的却是处处解析的.54Cauchy不等式：不等式：Liouville定理：全平面的有界解析函数必为常数。定理：全平面的有界解析函数必为常数。最大模原理：设最大模原理：设D为有界单连通或复闭路多连通区域，为有界单连通或复闭路多连通区域，55第四章第四章 解析函数的级数表示解析函数的级数表示1 复数项级数复数项级数定理一定

2、理一 复数列复数列a an(n=1,2,.)收敛于收敛于a a的的充要条件充要条件是是2.级数概念级数概念定理二定理二 级数级数 收敛的收敛的充要条件充要条件是级数是级数 和和 都收敛都收敛定理二将定理二将复数复数项级数的敛散问题项级数的敛散问题转化转化为为实数实数项级数的敛散问题项级数的敛散问题.56定理三定理三另外另外,因为因为 的各项都是非负的实数的各项都是非负的实数,所以它的所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定收敛也可用正项级数的判定法来判定.57是是否否4级数是否收敛？；是否绝对收敛？58定理一定理一(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)yz0 xO2 幂级数幂级数59RCROa ab

3、 bCa aCb bxy2.收敛圆和收敛半径收敛圆和收敛半径60 在收敛圆的外部在收敛圆的外部,级数发散级数发散.收敛圆的内部收敛圆的内部,级级数绝对收敛数绝对收敛.收敛圆的半径收敛圆的半径R称为称为收敛半径收敛半径.所以幂所以幂级数级数 的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.3.收敛半径的求法收敛半径的求法则收敛半径则收敛半径 定理三（根值法）：如果定理三（根值法）：如果 613)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即623 泰勒级数泰勒级数定理定理(泰勒展开泰勒展开)设设 f(z)在区域在区域D内解析内解析,z0为为D内一内一点点,d为为z0到到D的边界上各点的最短距离

4、的边界上各点的最短距离,则当则当|z-z0|d 时时,注注：如果如果 f(z)在在z0解析解析,则使则使 f(z)在在z0的泰勒展开的泰勒展开式成立的圆域的半径式成立的圆域的半径 R等于从等于从z0到到 f(z)的距的距z0最近最近一个奇点一个奇点a a 的距离的距离,即即R=|a a-z0|.63推论推论1：注：注：64推论推论2：推论推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个 奇点奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)推论推论4：656函数函数在点展成泰勒级数的收敛半径为 664 洛朗级数洛朗级数定理定理 设设

5、f(z)在圆环域在圆环域 R1|z-z0|R2内解析内解析,则则C为在圆环域内绕为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线的任何一条正向简单闭曲线.称此级数为函数称此级数为函数f(z)在在圆环域圆环域:R1|z-z0|R2内的内的洛朗级数洛朗级数.67函数可以在以函数可以在以z0为中心的为中心的(由奇点隔开的由奇点隔开的)不同圆环不同圆环域内解析域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).我们不我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆.所谓所谓洛

6、朗展开式的洛朗展开式的唯一性唯一性,是指函数在是指函数在某一个给定某一个给定的圆的圆环域内的洛朗展开式是唯一的环域内的洛朗展开式是唯一的.68四、(12分)将函数分别在点和展开为洛朗(Laurent)级数点展开 当时，当时，解：（1）在69（2）在当时，当时，点展开 701 孤立奇点孤立奇点我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型的类型.定理定理 如果如果 z0是是 f(z)的的m级极点级极点,则则z0就是就是 的的m级零点级零点,反过来也成立反过来也成立.第五章第五章 留数留数71八、(6 分)设函数在区域内处处解析，在内仅有一个三级零点

7、，证：设，则在解析，且 证明：72由于在解析，故在解析，又 在解析，由柯西积分定理知：又由柯西积分公式知：故 732 留数留数1.留数的定义及留数定理留数的定义及留数定理 如果函数如果函数f(z)在在z0的邻域的邻域D内解析内解析,那末根据柯西积分定理那末根据柯西积分定理 但是但是,如果如果z0为为 f(z)的一个孤立奇点的一个孤立奇点,则沿在则沿在z0的的某个去心邻域某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含内包含z0的任意一条正向简的任意一条正向简单闭曲线单闭曲线C的积分的积分 一般就不等于零一般就不等于零.因此因此 f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c0+c

8、1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.0|z-z0|R 两端沿两端沿C逐项积分逐项积分:74称称C-1为为 f(z)在在 z0 的的留数留数,记作记作 Res f(z),z0,即即定理一定理一(留数定理留数定理)设函数设函数 f(z)在区域在区域D内除有限个孤内除有限个孤立奇点立奇点 z1,z2,.,zn 外处处解析外处处解析.C是是D内包围诸奇点内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线的一条正向简单闭曲线,则则Dz1z2z3znC1C2C3CnC757为函数为函数的_阶极点；在该点处的留数为_.762解：在解：在内，只有一个孤立奇点，故为本性奇点在处Laurent展式中由留数定理知：772.留数

9、的计算规则留数的计算规则规则规则1 如果如果z0为为f(z)的一级极点的一级极点,则则规则规则2 如果如果z0为为f(z)的的m级极点级极点,则则781解：方法一解：方法一 79方法二 函数在内有两个孤立奇点：与为简单极点为简单极点由留数定理知：803.在无穷远点的留数在无穷远点的留数 设函数设函数 f(z)在圆环域在圆环域 R|z|内内解析解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则则积分积分的值与的值与C无关无关,称其为称其为f(z)在在 点的留数点的留数,记作记作f(z)在圆环域在圆环域 R|z|0映射成单位圆映射成单位圆|w|1的分式的分式线性映

10、射线性映射.O1-1xylO1-1uiv(z)(w)1091104 几个初等函数所构成的映射几个初等函数所构成的映射1.幂函数幂函数 w=zn(n 2为自然数为自然数)在在z平面内除去原点外平面内除去原点外,由由w=zn所构成的映射处处保形所构成的映射处处保形.映射的特点是映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域点为顶点的角形域,但张角变成了原来的但张角变成了原来的n倍倍.111O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn1122.指数函数指数函数 w=e z由于在由于在z平面内平面内w=e z 0。所以。所以,由由

11、w=e z所构成的映射是所构成的映射是0y2p p上的保形映射上的保形映射.设设z=x+iy,w=r r e ij j,则则w=e z=e x+iy=r r e ij j 推出推出 r=e x：z平面上垂直线平面上垂直线x映射成映射成w平面上圆周平面上圆周r r；（x=0-=0-单位单位圆周圆周,x0-单位单位圆外）圆外）j j=y：z平面上水平直线平面上水平直线y映射成映射成w平面上射线平面上射线j j。由指数函数由指数函数w=e z 所构成的映射的特点是所构成的映射的特点是:把水平把水平的带形域的带形域0Im(z)a(a p p)映射成角形域映射成角形域0arg wa.113aiOxy(z)arg w=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw1142 Fourier变换2.1 Fourier变换的定义1158函数函数的Fourier变换为 .116七、(12分)利用Laplace变换求解微分方程：解：（1）令对方程两边作Laplace变换得：117118