初中数学思想方法(教育精品).ppt

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1、初中初中数学数学常见思想方法常见思想方法所谓所谓数学思想数学思想是指对数学知识本质的认是指对数学知识本质的认识，是从某些具体的数学内容和对数学的识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，具有普认识过程中提炼上升的数学观点，具有普遍的指导意义，是建立和解决数学问题的遍的指导意义，是建立和解决数学问题的指导思想。指导思想。数学方法数学方法是指在数学的提出和解决问题是指在数学的提出和解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等。过程中所采用的各种方式、手段、途径等。对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当

2、这种积累达到程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用.因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念念数学思想方法数学思想方法.如果说小学阶段是具体的积累如果说小学阶段是具体的积累过程，那么初中阶段则是一个将之升华的过程过程，那么初中阶段则是一个将之升华的过程.数学的基本结构由数学的知识结构和思数学的基本结构由数学的知识结构和思维系统两部分组成，组成数学知识结构的维系统两部

3、分组成，组成数学知识结构的是概念、定理、公式、法则；组成思维系是概念、定理、公式、法则；组成思维系统的则是数学思想方法和思维策略。统的则是数学思想方法和思维策略。中学常见的数学思想方法有中学常见的数学思想方法有:观察、试验、归纳类比、分析综合、抽象概括观察、试验、归纳类比、分析综合、抽象概括等形成数学理论的方法，还有一般的逻辑推理证明等形成数学理论的方法，还有一般的逻辑推理证明方法，以及化归递推，等价转化，推广与限定以及方法，以及化归递推，等价转化，推广与限定以及用字母代替数的思想方法、集合的思想方法、函数、用字母代替数的思想方法、集合的思想方法、函数、映射对应的思想方法、数形结合的数学思想方

4、法、映射对应的思想方法、数形结合的数学思想方法、最优化思想方法、统计思想和数据处理方法、极限最优化思想方法、统计思想和数据处理方法、极限思想和逼近方法、分类的思想方法、参数的思想方思想和逼近方法、分类的思想方法、参数的思想方法等法等.数学思想方法的教学途径数学思想方法的教学途径:一般可以通过充分挖掘教材中的数学思一般可以通过充分挖掘教材中的数学思想方法，有目的、有意识的渗透想方法，有目的、有意识的渗透.分类讨论思想分类讨论思想(1)(1)分类时每一部分互相独立分类时每一部分互相独立.(2)(2)一次分类必须是同一个标准一次分类必须是同一个标准.(3)(3)分类讨论应该逐级进行分类讨论应该逐级进

5、行,不能越级不能越级讨论讨论.(4)(4)分类必须周全分类必须周全,要做到不重不漏要做到不重不漏.【特别提醒特别提醒】1.1.方程方程:若含有字母系数的方程有实数根时若含有字母系数的方程有实数根时,要考虑二次项系数是否等于要考虑二次项系数是否等于0,0,进行分类进行分类讨论讨论.常见的常见的六六种类型种类型常见的常见的六六种类型种类型2.2.等腰三角形等腰三角形:如果等腰三角形给出两条边求第如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时三条边或给出一角求另外两角时,要要考虑所给的边是腰还是底边考虑所给的边是腰还是底边,所给出所给出的角是顶角还是底角分类解决的角是顶角还是底角分类解决.

6、例例 等腰三角形一条边的边长为等腰三角形一条边的边长为3,3,它的另它的另两条边的边长是关于两条边的边长是关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-12x+k=012x+k=0的两个根的两个根,则则k k的值是的值是()A.27A.27 B.36B.36C.27C.27或或3636D.18D.18（2 2）若）若3 3是等腰三角形的腰是等腰三角形的腰,则则3 3是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-12x+k=012x+k=0的一个解的一个解,332 2-12-123+k=0,3+k=0,解得解得k=27.k=27.当当k=27k=27时时,方程方程x x2 2

7、-12x+27=0-12x+27=0的解是的解是3 3或或9,3,3,99,3,3,9构不成三角形构不成三角形,k=27,k=27不合题意不合题意.故选故选B.B.【解析解析】（1 1）若）若3 3是等腰三角形的底边是等腰三角形的底边,则关于则关于x x的一元二次的一元二次方程方程x x2 2-12x+k=0-12x+k=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根,(-12),(-12)2 2-4k=0,-4k=0,解得解得k=36;k=36;常见的常见的六六种类型种类型 3.3.直角三角形直角三角形:在直角三角形中给出两边的长度在直角三角形中给出两边的长度,确确定第三边时定第三边时,若没有指明直

8、角边和斜边若没有指明直角边和斜边,要要注意分情况进行讨论注意分情况进行讨论(分类讨论分类讨论),),然后利然后利用勾股定理即可求解用勾股定理即可求解.一直角三角形的两边长分别为一直角三角形的两边长分别为3 3和和4,4,则则第三边的长为第三边的长为()A.5A.5 B.C.D.5 B.C.D.5或或【解析解析】选选D.(1)D.(1)当两边均为直角边时当两边均为直角边时,由勾股定理得由勾股定理得,第三边第三边为为(2)(2)当当4 4为斜边时为斜边时,由勾股定理得由勾股定理得,第三边为第三边为直角三角形的第三边为直角三角形的第三边为5 5或或例例常见的常见的六六种类型种类型 4.4.相似三角形

9、相似三角形:(1)(1)如果题目中出现两个三角形相如果题目中出现两个三角形相似似,需要讨论各边的对应关系需要讨论各边的对应关系;(2)(2)若出现位似若出现位似,则考虑两个图形则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论论.例例 如图如图,M,M是是RtABCRtABC的斜边的斜边BCBC上异于上异于B,CB,C的一的一定点定点,过点过点M M作直线截作直线截ABC,ABC,使截得的三角形与使截得的三角形与ABCABC相似相似,这样的直线共有这样的直线共有A.1A.1条条 B.2B.2条条C.3C.3条条 D.4D.4条条【解析解析】选选C.C.如图如图,分

10、别过点分别过点M M作作ABCABC三边的垂三边的垂线线l1 1,l2 2,l3 3,易证此时分别形成的三角形均与原三易证此时分别形成的三角形均与原三角形相似角形相似,所以共所以共3 3条条.常见的常见的六六种类型种类型 5.5.一次函数一次函数:(1)(1)已知一次函数与坐标轴围成的三角已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积形的面积,求求k k的值的值,常分直线交于坐标轴常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论正半轴和负半轴讨论;(2)(2)确定反比例函数与一次函数交点确定反比例函数与一次函数交点个数个数,常分一、三象限或二、四象限两种常分一、三象限或二、四象限两种情况讨论情况讨论.常见的常见的

11、六六种类型种类型 6.6.圆圆:(1)(1)圆的一条弦圆的一条弦(直径除外直径除外)对两对两条弧条弧,常分优弧和劣弧两种情况讨论常分优弧和劣弧两种情况讨论;(2)(2)求圆中两条平行弦的距离求圆中两条平行弦的距离,常常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论讨论;如图如图,在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中,半径为半径为2 2的的P P的圆心的圆心P P的坐标为的坐标为(-3,0),(-3,0),将将P P沿沿x x轴正方向平移轴正方向平移,使使P P与与y y轴相切轴相切,则平移的则平移的距离为距离为()A.1A.1B.1B.1或或5 5C.3C.3

12、D.5D.5例例 数形结合思想数形结合思想 我国著名数学家华罗庚说过我国著名数学家华罗庚说过“数形结合数形结合百般好，隔裂分家万事休百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形、位置关系结合起来，通过图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与抽象思维与形象思维形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。问题具体化。1.1.在实数与数轴中的应用在实数与数轴中的应用:实数与数轴上的点具有一一对应实数与数轴上的点具有一一对应关系关系,因此借助数轴观察数的特点因此借助数轴观察数的特点

13、,直观直观明了。明了。常见的常见的四四种类型种类型实数实数a,b,ca,b,c在数轴上对应的点如图所示在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是则下列式子中正确的是()A.acbcA.acbc B.|a-b|=a-b B.|a-b|=a-bC.-a-bcC.-a-b-b-c D.-a-c-b-c【解析解析】选选D.D.由图得由图得ab0c,ab0c,由不等式的性质可得由不等式的性质可得acbc,acbc,故故A A选选项错误项错误;因为因为a-b0,a-b-bc,-a-bc,故故C C选项错误选项错误;因为因为ab,a-b,-a-b,所以所以-a-c-b-c,-a-c-b-c,故故D D选

14、项正确选项正确.2.2.在几何中的应用在几何中的应用:对于几何问题对于几何问题,我们常通过图形我们常通过图形,找出边、角的数量关系找出边、角的数量关系,通过边、角的通过边、角的数量关系数量关系,得出图形的性质等。得出图形的性质等。常见的常见的四四种类型种类型 如图如图如图如图,在小山的东侧在小山的东侧在小山的东侧在小山的东侧A A A A点有一个热气球点有一个热气球点有一个热气球点有一个热气球,由于受西由于受西由于受西由于受西风的影响风的影响风的影响风的影响,以以以以30 m/min30 m/min30 m/min30 m/min的速度沿与地面成的速度沿与地面成的速度沿与地面成的速度沿与地面成

15、75757575角的方角的方角的方角的方向飞行向飞行向飞行向飞行,25 min,25 min,25 min,25 min后到达后到达后到达后到达C C C C处处处处,此时热气球上的人测得小此时热气球上的人测得小此时热气球上的人测得小此时热气球上的人测得小山西侧山西侧山西侧山西侧B B B B点的俯角为点的俯角为点的俯角为点的俯角为30,30,30,30,则小山东西两侧则小山东西两侧则小山东西两侧则小山东西两侧A,BA,BA,BA,B两点间两点间两点间两点间的距离为的距离为的距离为的距离为.例例【解析解析】由题意得由题意得AC=30AC=3025=750(m)25=750(m)，B=30B=3

16、0，过点过点A A作作ADBCADBC，垂足为，垂足为D D，ACB=75ACB=75B=45B=45，AD=ACAD=ACsin 45sin 45，在在RtABDRtABD中，中，B=30B=30，AB=2AD=2ACAB=2AD=2ACsin 45sin 45=答案：答案：3.3.解方程解方程(组组)或不等式或不等式(组组)中的应用中的应用:利利用用函函数数图图象象解解决决方方程程问问题题时时,常常把把方方程程根根的的问问题题看看作作两两个个函函数数图图象象的的交交点点问问题题来来解解决决;利利用用数数轴轴或或函函数数图图象象解解有有关关不不等等式式(组组)的的问问题题直直观观,形形象象,

17、易易于于找找出出不不等等式式(组组)解解的的公公共共部部分分或或判判断断不不等等式式组组有无公共解有无公共解.常见的常见的四四种类型种类型把不等式组把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是的解集表示在数轴上，正确的是()()【解析解析】选选D.D.解得解得例例如图，双曲线如图，双曲线y=y=与直线与直线y=kx+by=kx+b相交于点相交于点M M，N N，且点，且点M M的坐标为的坐标为(1(1，3)3)，点，点N N的纵坐标为的纵坐标为1 1根据图象信息可得关于根据图象信息可得关于x x的方程的方程 =kx+b=kx+b的解为的解为()()A A3 3，1 1B B3 3，3 3C C1

18、1，1 1D D-1,3-1,3例例【解析解析】选选A.A.把点把点M M的坐标的坐标(1(1，3)3)代入解析式代入解析式 可得可得m=3m=3，即反比例函数的解析式为，即反比例函数的解析式为 把把y=-1y=-1代入代入 可得可得x=-3x=-3，N(-3N(-3，-1),M(1,3)-1),M(1,3)和和N(-3N(-3，-1)-1)的横坐标即为方程的横坐标即为方程 的解，所以选的解，所以选A.A.已知反比例函数已知反比例函数y y1 1=的图象与一次函数的图象与一次函数y y2 2=ax+b=ax+b的图象交于点的图象交于点A(1A(1，4)4)和点和点B(mB(m，2)2)(1)(

19、1)求这两个函数的解析式求这两个函数的解析式.(2)(2)观察图象，当观察图象，当x0 x0时，直接时，直接写出写出y y1 1yy2 2时自变量时自变量x x的取值范围的取值范围.例例【解解】(1)(1)函数函数y y1 1=的图象过点的图象过点A(1A(1，4)4)，即，即 k=4k=4，即，即又又点点B(mB(m，2)2)在在 上，上，m=m=2 2，B(B(2 2，2)2)，又又一次函数一次函数y y2 2=ax+b=ax+b过过A,BA,B两点，两点，即即 解得解得 yy2 2=2x+2=2x+2综上可得综上可得 y y2 2=2x+2=2x+2（2 2）由图象可得：）由图象可得：0

20、 x1 0 x1 4.4.在函数中的应用在函数中的应用:借助于图象研究函数的性质是一种常用的借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结函数图象的几何特征与数量特征紧密结合合,体现了数形结合的特征与方法。体现了数形结合的特征与方法。常见的常见的四四种类型种类型 如图是二次函数如图是二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)图象的一部分图象的一部分,x=-1,x=-1是对称轴是对称轴,有下列判断有下列判断:b-2a=0;4a-2b+c0;a-b+c=-9a;:b-2a=0;4a-2b+cyy2 2,其中其中正确的是正确的是()A.A.B

21、.B.C.C.D.D.例例【解析解析】选选B.B.对称轴为对称轴为x=-1x=-1，b-2a=0b-2a=0；当当x=0 x=0时，时，y y0 0，当当x=-2x=-2时，时，y y0 0，即，即4a-2b+c4a-2b+c0 0；当当x=2x=2时，时，4a+2b+c=04a+2b+c=0，即，即4a+4a+c=0,c=-8a.4a+4a+c=0,c=-8a.当当x=-1x=-1时，时，a-b+c=a-2a-8a=-9aa-b+c=a-2a-8a=-9a；(-3(-3，y y1 1)到对称轴的距离为到对称轴的距离为2 2，到对称轴的距离为到对称轴的距离为 y y1 1y y2 2，故，故正

22、确正确.【知识归纳知识归纳】二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象性质的图象性质(1)(1)开口向上开口向上a0;a0;开口向下开口向下a0.a0(2)c0图象与图象与y y轴的正半轴有交点轴的正半轴有交点;c=0;c=0图象过坐标图象过坐标原点原点;c0;c0-4ac0抛物线与抛物线与x x轴有两个交点轴有两个交点;b;b2 2-4ac=0-4ac=0抛物线与抛物线与x x轴有一个交点轴有一个交点;b;b2 2-4ac0-4ac0抛物线与抛物线与x x轴没有交点轴没有交点.(1)(1)由数思形由数思形,由形想数由形想数,搞清数形关系搞清数形关系,做好

23、数形转化做好数形转化.(2)(2)应用函数图象应用函数图象,求方程求方程(组组)或不等式或不等式(组组)的解、解集问题的解、解集问题:解题的关键是解题的关键是理解图象交点的含义理解图象交点的含义,正确把握图象所反映的信息正确把握图象所反映的信息,涉及实际问题时涉及实际问题时,还要注还要注意分析纵轴与横轴所代表的含义意分析纵轴与横轴所代表的含义.(3)(3)解决与动点有关的问题时解决与动点有关的问题时,其关键是弄清在运动过程中某些特殊位置关其关键是弄清在运动过程中某些特殊位置关系及其相对应的数量关系系及其相对应的数量关系,明确数与形的联系明确数与形的联系.在解题时还要特别关注题目在解题时还要特别

24、关注题目中的常量、固定的关系式、特殊的关系式及特定的限制条件中的常量、固定的关系式、特殊的关系式及特定的限制条件,构建方程或函构建方程或函数求解数求解.(4)(4)注意形的生动性和直观性与数的精确性和规范严密性之间的统一注意形的生动性和直观性与数的精确性和规范严密性之间的统一.【特别提醒特别提醒】化归转化思想化归转化思想化归的基本功能是：化归的基本功能是：1、生疏化成熟悉，生疏化成熟悉，2、复杂化成简单，复杂化成简单，3、抽象化成直观，抽象化成直观，4、含糊化成明朗。含糊化成明朗。(1)(1)熟悉化原则熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题将陌生的问题转化为熟悉的问题 (2)(2)简单化原则

25、简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解通过对简单问题的解决决,达到解决复杂问题的目的达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据或获得某种解题的启示和依据.(3)(3)和谐化原则和谐化原则:化归问题的条件或结论化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式内部所表示的和谐的形式,或者转化命题或者转化命题,使其推演有利于运用某种使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律数学方法或其方法符合人们的思维规律.(4)(4)直观化原则直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决将比较

26、抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.化归与转化应遵循的五个基本原则化归与转化应遵循的五个基本原则 1.1.在解方程在解方程组组中的应用中的应用 通过消元将二元一次方程组转化通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程为一元一次方程;通过降次把一元二次通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程方程转化为一元一次方程;通过去分母通过去分母把分式方程转化为整式方程把分式方程转化为整式方程.常见的常见的六六种类型种类型分式方程分式方程 的解为的解为()()例例 2.2.多边形化为三角形多边形化为三角形 解决平行四边形、正多边形的问解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等三角形、题通过添加辅

27、助线转化为全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解决等腰三角形、直角三角形去解决.常见的常见的六六种类型种类型 3.3.立体图形转化为平面图形立体图形转化为平面图形:立体图形的展开与折叠、立体图形立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的三视图体现了立体图形与平面图形之间的相互转化的相互转化.常见的常见的六六种类型种类型 4.4.一般三角形转化为直角一般三角形转化为直角三角形三角形 通过作已知三角形的高通过作已知三角形的高,将问题转将问题转化为解直角三角形问题化为解直角三角形问题.常见的常见的六六种类型种类型 5.5.化不规则图形为规则图形化不规则图形为规则图形 根据图

28、形的特点进行平移、旋转、根据图形的特点进行平移、旋转、割与补等方法将不规则图形的面积转化割与补等方法将不规则图形的面积转化为规则图形为规则图形(如三角形、矩形、扇形等如三角形、矩形、扇形等)面积的和或差进行求解面积的和或差进行求解.常见的常见的六六种类型种类型如图如图,正三角形正三角形ABCABC的边长为的边长为2,D,E,F2,D,E,F分分别为别为BC,CA,ABBC,CA,AB的中点的中点,以以A,B,CA,B,C三点为圆心三点为圆心,半径为半径为1 1作圆作圆,则图中阴影部分的面积是则图中阴影部分的面积是.6.6.转化化归在圆中的应用转化化归在圆中的应用 圆中圆心角与圆周角、等弧与等弦

29、、圆中圆心角与圆周角、等弧与等弦、等弧与等弧所对的圆周角都是相互转化等弧与等弧所对的圆周角都是相互转化的的.常见的常见的六六种类型种类型 数学建模思想数学建模思想1.1.建立建立“方程方程(组组)”)”模型模型 现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系,“方程方程(组组)”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型,它可以它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰地认识、描述和把握帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰地认识、描述和把握现实世界现实世界.诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄诸如纳税问题、分

30、期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题,常可以抽象成常可以抽象成“方程方程(组组)”模型模型,通过列方程通过列方程(组组)加以解决加以解决.常见的常见的四四种模型种模型2.2.建立建立“不等式不等式(组组)”模型模型 现实生活中同样也广泛存在着数量之间现实生活中同样也广泛存在着数量之间的不等关系的不等关系.诸如统筹安排、市场营销、生诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题产决策、核定价格范围等问题,可以通过给可以通过给出的一些数据进行分析出的一些数据进行分析,将实际问题转化成将实际问题转化成相应的不等式相应的不

31、等式(组组)问题问题,利用不等式的有关利用不等式的有关性质加以解决性质加以解决.常见的常见的四四种模型种模型3.3.建立建立“函数函数”模型模型 函数反映了事物间的广泛联系函数反映了事物间的广泛联系,揭示了揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律现实世界众多的数量关系及运动规律.现实现实生活中生活中,诸如最大获利、用料最省、最佳投诸如最大获利、用料最省、最佳投资、最小成本、方案最优化等问题资、最小成本、方案最优化等问题,常可建常可建立函数模型求解立函数模型求解.常见的常见的四四种模型种模型4.4.建立建立“几何几何”模型模型:几何与人类生活和实际密切相关几何与人类生活和实际密切相关,诸如诸如测量

32、、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时计等涉及一定图形的性质时,常需建立常需建立“几几何何”模型模型,把实际问题转化为几何问题加以把实际问题转化为几何问题加以解决解决.常见的常见的四四种模型种模型【对点训练对点训练】1.1.如图，某海监船向正西方向航行，在如图，某海监船向正西方向航行，在A A处望见一艘正在作业渔船处望见一艘正在作业渔船D D在南偏西在南偏西4545方向，海监船航行到方向，海监船航行到B B处时望见渔船处时望见渔船D D在南偏东在南偏东4545方方向，又航行了半小时到达向，又航行了半小时到达C C处，望见渔船处，望见渔船

33、D D在南偏东在南偏东6060方向，若海方向，若海监船的速度为监船的速度为50 n mile/h50 n mile/h，则，则A A，B B之间的距离为之间的距离为_(_(取取 1.71.7，结果精确到，结果精确到0.1 n mile)0.1 n mile)【解析解析】DBA=DAB=45DBA=DAB=45，DABDAB是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，过点过点D D作作DEABDEAB于点于点E E，则，则设设DE=x n mileDE=x n mile，则，则AB=2x n mileAB=2x n mile，在在RtCDERtCDE中，中，DCE=30DCE=30，则，则在在RtBDE

34、RtBDE中，中，DBE=45DBE=45,则则DE=BE=xDE=BE=x，由题意得，由题意得，解得解得AB=2x2AB=2x235357=71.4(n mile).7=71.4(n mile).答案：答案：71.4 n mile71.4 n mile3.3.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体体,抽屉底面周长为抽屉底面周长为180cm,180cm,高为高为20cm.20cm.请通过计算说明请通过计算说明,当底面当底面的宽的宽x x为何值时为何值时,抽屉的体积抽屉的体积y y最大最大?最大为多少最大为多少?(?(材质及其厚

35、度材质及其厚度等暂忽略不计等暂忽略不计)【解析解析】根据题意，得根据题意，得整理，得整理，得y=y=20 x20 x2 2+1 800 x+1 800 xy=y=20 x20 x2 2+1 800 x=+1 800 x=20(x20(x2 290 x+2 025)+40 50090 x+2 025)+40 500=20(x20(x45)45)2 2+40 500+40 500，20200 0，当当x=45x=45时，函数有最大值，时，函数有最大值，y y最大值最大值=40 500=40 500，即当底面的宽为即当底面的宽为45 cm45 cm时，抽屉的体积最大，最大为时，抽屉的体积最大，最大为

36、40 500 cm40 500 cm3 34.4.为了保护环境为了保护环境,某开发区综合治理指挥部决定购买某开发区综合治理指挥部决定购买A,BA,B两种型两种型号的污水处理设备共号的污水处理设备共1010台台.已知用已知用9090万元购买万元购买A A型号的污水处理型号的污水处理设备的台数与用设备的台数与用7575万元购买万元购买B B型号的污水处理设备的台数相同型号的污水处理设备的台数相同,每台设备价格及月处理污水量如下表所示每台设备价格及月处理污水量如下表所示:污水处理设备污水处理设备A A型型B B型型价格价格(万元万元/台台)m mm-3m-3月处理污水量月处理污水量(吨吨/台台)22

37、0220180180(1)(1)求求m m的值的值.(2)(2)由于受资金限制由于受资金限制,指挥部用于购买污水处理设备的资金不超指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过过165165万元万元,问有多少种购买方案问有多少种购买方案?并求出每月最多处理污水量并求出每月最多处理污水量的吨数的吨数.【解析解析】(1)(1)由题设可知由题设可知解得解得m=18.m=18.经检验经检验m=18m=18符合题意和分式方程符合题意和分式方程.(2)(2)由由(1)(1)可知，可知，A A型号的污水处理设备每台型号的污水处理设备每台1818万元，万元，B B型号的污型号的污水处理设备每台水处理设备每台1515万

38、元，设购买万元，设购买A A型号的污水处理设备型号的污水处理设备x x台，则台，则购买购买B B型号的污水处理设备为型号的污水处理设备为(10-x)(10-x)台台.根据题设可知，根据题设可知，18x+15(10-x)165,18x+15(10-x)165,解得解得x5.x5.因为因为x x是指是指0 0到到1010之间的整数，于是购买方案共有之间的整数，于是购买方案共有6 6种种.设各种方案每月能处理的污水量为设各种方案每月能处理的污水量为w w吨，吨，则则w=220 x+180(10-x)=40 x+1800.w=220 x+180(10-x)=40 x+1800.由一次函数的性质可知，由

39、一次函数的性质可知，w w随随x x的增大而增大，所以当的增大而增大，所以当x=5x=5，即，即购买购买A A型号，型号，B B型号的污水处理设备分别为型号的污水处理设备分别为5 5台，台，5 5台时，月处理台时，月处理的污水量最多为的污水量最多为20002000吨吨.【知识归纳知识归纳】用函数探究实际问题中的最值问题用函数探究实际问题中的最值问题(1)(1)列出一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值列出一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案问题的答案.(2)(2)建设二次函数模型，列出二次函数关系式，整理成顶点式，建设二次函数模型，列出二次函数关系式，整理成顶点式，

40、当二次项系数小于当二次项系数小于0 0，有最大函数值，即为顶点的纵坐标，自，有最大函数值，即为顶点的纵坐标，自变量的取值即为顶点的横坐标，当二次项系数大于变量的取值即为顶点的横坐标，当二次项系数大于0 0，有最小，有最小函数值，即为顶点的纵坐标，自变量的取值即为顶点的横坐标函数值，即为顶点的纵坐标，自变量的取值即为顶点的横坐标特殊与一般的数学思想特殊与一般的数学思想 1什么是什么是特殊化思想特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的

41、一个对对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想之为特殊化思想.2什么是什么是一般化思想一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一为广泛、更为一般的问题中加以研究，

42、先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想。来指导解决问题的思想称之为一般化思想。整体的数学思想整体的数学思想所谓所谓整体思想整体思想，就是当我们遇到问题时，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内

43、在联系来解决问题体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。的思想。常见的情形为：常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等改造与合并；整体构造与操作等类比数学思想类比数学思想当某一事物与另一事物的某个方面一致或当某一事物与另一事物的某个方面一致或类似，我们便可使用类似，我们便可使用类比类比的思想，将一致或的思想，将一致或类似的两方面来推想、判断出事物在其它不类似的两方面来推想、判断出事物在其它不同方面的联系，引导学生解决复杂、繁琐的同方面的联系，引导学生解决复杂、繁琐的数学问题。数学问题。常用数学方法如：常用数学方法如：配方法、消元法、换元法、待定系数法、配方法、消元法、换元法、待定系数法、构造法、面积法、类比法、参数法、降次法、构造法、面积法、类比法、参数法、降次法、图表法、估算法、分析法、综合法、拼凑法、图表法、估算法、分析法、综合法、拼凑法、割补法、反证法、倒数法、同一法等割补法、反证法、倒数法、同一法等.