2021年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案.docx

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1、2021 年湖南省普通高中学业程度考试数学真题本试卷包括选择题、填空题和解答题三局部，共4 页，时量 120 分钟，总分值 100 分。一、选择题：本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1. 一个几何体的三视图如图 1 所示，那么该几何体可以是A、正方体B、圆柱C、三棱柱D、球2. 集合 A= 0,1,B= 1,2,那么 A B 中元素的个数为A、1B、2C、3D、43.向量 a=(x,1),b=(4，2)，c=(6,3).假设 c=a+b,那么 x=() A、-10B、10C、-2D、2正视图侧视图俯视图（图1）4. 执行如

2、图 2 所示的程序框图，假设输入 x 的值为-2，那么输出的 y=A、-2开始输入 x否x0?是y=2-xy=2+x输出 y结束图2B、0 C、2 D、45. 在等差数列a 中， a + a = 11 ， a= 16 ，n123那么公差 d=A、4B、5C、6D、716. 既在函数 f (x) = x 2 的图像上，又在函数 g (x) = x-1的图像上的点是11A、0，0 B、1，1C、2， D、，222FE7. 如图 3 所示，四面体 ABCD 中，E,F 分别为 AC,AD 的中点，A那么直线 CD 跟平面 BEF 的位置关系是A、平行B、在平面内C、相交但不垂直DD、相交且垂直B8.

3、 sin 2q = sin q ,q (0,p ) ，那么cos q =C图3A、-3B、- 1C、 1D、329. a = log1 ,b = 1, c = log2 222224 ，那么A、a b cB、b a cC、c a bD、c b 0 的最小正周期为p ，那么w =12. 某班有男生 30 人，女生 20 人，用分层抽样的方法从该班抽取 5 人参加社区效劳，那么抽出的学生中男生比女生多人。13. 在DABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.a=4,b=3, sinC =1,那么DABC 的面积为。 x 0,14. 点 A1，m在不等式组 y 0, 表示的平面区域内，

4、那么实数m 的取值范围为。x + y 4O14O215. 圆柱OO 及其侧面展开图如下图，那1么该圆柱的体积为。三、解答题：本大题共有 5 小题，共 40 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16. 本小题总分值 6 分y-p- pop2px2定义在区间- p，p上的函数 f (x) = sin x 的局部函数图象如下图。（1） 将函数 f (x) 的图像补充完好；（2） 写出函数 f (x) 的单调递增区间.n17. 本小题总分值 8 分数列a满足an+1= 3a (n N * ) ，且an2= 6 .（1）求a 及a ；1n2设bn= a - 2 ，求数列b 的前 n 项和S.n

5、nn18. (本小题总分值 8 分)为理解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取 20 名学生的成绩进展分析，得到如图 7 所示的频率分布直方图，1根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；2从成绩不低于 80 分的两组学生中任选 2 人，求选出的两人来自同一组的概率.频率/组距0.0400.0200.0150.0105060708090 100成绩（分）19. 本小题总分值 8 分2x , x 0,函数 f (x) = 2(x -1)2 + m, x 0.（1） 假设 m= -1,求 f (0) 和 f (1) 的值，并判断函数 f (x) 在区间0，1内是否有零点；（2）

6、假设函数 f (x) 的值域为-2, + ),务实数 m 的值.220. 本小题总分值 10 分O 为坐标原点，点 P1，（1） 务实数a 的值；在圆 M： x2 + y2 - 4x + ay +1 = 0 上，（2） 求过圆心 M 且与直线 OP 平行的直线的方程；（3） 过点 O 作互相垂直的直线l ,l ， l 与圆 M 交于 A,B 两点， l与圆 M 交于 C,D1 212两点，求 AB CD 的最大值.2021 年湖南省普通高中学业程度考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题(每题 4 分，总分值 40 分)1. A 2. C3. D4.B5. D6. B7. A8. C9. A

7、10. B二 、填空题(每题 4 分，总分值 20 分)11. 212.113.614. 0，315. 4p三 、解答题(总分值 40 分)y1- 2O-12x16、6 分解析：1对函数f(x)=sinx,x -p,p的图像补充如下列图所示：3 分2由图可得函数 f (x) 的单调递增区间为：- p , p 2 26 分17、8 分解析：1因为a= 3a且a = 6n+1n2a所以a1= 2 = 22 分3所以数列a 是首项为 2，公比为 3 的等比数列n所以an= 2 3n-14 分2由1知an= 2 3n-1 ，故bn= a - 2 = 2 3n-1 - 25 分n所以b 的前n 项和为：

8、ns = (2 - 2) + (6 - 2) + (18- 2) +n+ (2 3n-1 - 2)= (2 + 6 +18 +8分= 2(3n -1) - 2n 3 -1= 3n - 2n -1+ 2 3n-1 ) - 2n18、8 分解析：1根据频率分布直方图可估计本次测试成绩的众数为：70 + 80x=众数2=754 分2根据条件可得在抽取的 20 名学生中，成绩在区间80,90) 的人数为： 20 0.15 = 3 ，这 3 人分别记为 a,b,c成绩在区间90,100 的人数为： 20 0.10 = 2 ,这 2 人分别记为 d,e假 设 从 成 绩 不 低 于 80 分 的 两 组

9、学 生 中 任 选 2 人 ， 其 所 有 情 况 有 ：ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de 共 10 个根本领件，其中两人来自同一组所含根本领件有：ab,ac, bc, de 共 4 个。42所以选出的两人来自同一组的概率为： P =8 分1052x, x 0,19、8 分解析：1因为 f (x) = 2(x -1)2 -1,x 0.f (0) = 2 -1 = 1, f (1)= -1所以2 分又因为x 0,1f (x) = 2( x -1)2 -1f (0) f (1) 0时是连续函数且f (x)所以在区间(0,1)内必有零点4 分2因为当x 0f (x) = 2

10、x时，此时0 f (x) 1；当 x 0 时， f (x) = 2(x -1)2 + m m6 分而 f (x) 的值域为-2, +) ，所以m = -28 分220、10 分1因为点 P1，在圆 M： x2 + y2 - 4x + ay +1 = 0 上所以12 + ( 2) 2 -41+ a 2 +1 = 0 a = 03 分OP2因为直线 OP 的斜率为k=2 - 0 =1 - 0，圆 M 的圆心为M (2,0)2所以过圆心 M 且与直线OP 平行的直线的方程为：2y - 0 =2( x - 2) 即 2x - y - 2= 06 分3因为圆 M 的标准方程为：(x - 2)2 + y2

11、 = 3 ， 故直线l , l1 2的斜率均存在。设直线l1的方程为kx - y = 0 ，那么l2的方程为 x + ky = 0于是圆心M 到直线l1的间隔 为d =k 2 +11| 2k |3 - d 213 - 4k 2k 2 +13 - k 2k 2 +1于是| AB|= 2= 2= 2圆心 M 到直线l2的间隔 为d =2k 2 +113 - d 223 -4k 2 +13k 2 -1k 2 +1所以| CD |= 2= 2= 2333d 3又由 1可得k 的取值范围是(- 3, -)(, 3)33d 2这时| AB | | CD |= 4 4 = 4(3k 2 -1)(3- k 2 )k 2 +1(3k 2 -1) + (3 - k 2 ) 2k 2 +1当且仅当3k 2 -1 = 3 - k 2即k = 1 时取等号所以| AB | | CD | 的最大值为 4