工科基础数学第四章不定积分.ppt

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1、安徽电气工程职业技术学院基础部安徽电气工程职业技术学院基础部安徽电气工程职业技术学院基础部安徽电气工程职业技术学院基础部 数学教研室数学教研室数学教研室数学教研室 高纪文高纪文高纪文高纪文本部分内容共安排本部分内容共安排12学时，学时，具体如下：具体如下：第第1,2课时：原函数与不定积分课时：原函数与不定积分 教学目的：教学目的：教学目的：教学目的：理解原函数与不定积分的概念；熟理解原函数与不定积分的概念；熟理解原函数与不定积分的概念；熟理解原函数与不定积分的概念；熟记基本积分公式和性质；掌握直接积分法记基本积分公式和性质；掌握直接积分法记基本积分公式和性质；掌握直接积分法记基本积分公式和性质

2、；掌握直接积分法教学重点：教学重点：教学重点：教学重点：不定积分的概念；基本积分公式；不定积分的概念；基本积分公式；不定积分的概念；基本积分公式；不定积分的概念；基本积分公式；直接积分法直接积分法直接积分法直接积分法教学难点：教学难点：教学难点：教学难点：不定积分的概念不定积分的概念不定积分的概念不定积分的概念教学过程：1、按教材引入新课 （3）2、原函数的定义，并通过例子进行说明 (5)3、关于原函数的几个定理 (10)n n 原函数存在定理n n 原函数族定理 4.不定积分的定义 (7)n比较原函数与不定积分的定义，强调不定积分是“所有的”原函数，因此求不定积分时，在求得一个原函数后，千万

3、不要忘记加上“C”。5.不定积分的几何意义 (5)6.微分运算与积分运算的关系 (5)7.通过例、.习题巩固原函数与不定积分的概念 (15)n补充：n1、2、设 则 8.基本积分公式 (10)要求对照基本导数公式，必须熟记。9.不定积分的性质 (5)说明：性质较少，故求不定积分虽然相当于求导的逆运算，但求积分比求导数要复杂和困难得多。10.10.直接积分法直接积分法 (30)(30)通过分析讲解教材中例题，明确告诉学生求不通过分析讲解教材中例题，明确告诉学生求不定积分时，首先，注意观察被积函数，看是不定积分时，首先，注意观察被积函数，看是不是基本积分表中的类型或它们的线性组合，若是基本积分表中

4、的类型或它们的线性组合，若是，直接用公式和性质；若不是，常常需要根是，直接用公式和性质；若不是，常常需要根据被积函数的特征，进行某些恒等变形，转化据被积函数的特征，进行某些恒等变形，转化为能够用基本积分公式或性质的形式，从而求为能够用基本积分公式或性质的形式，从而求出积分，这种积分方法就是直接积分法，它是出积分，这种积分方法就是直接积分法，它是最基本的积分方法，是学习其他积分方法的基最基本的积分方法，是学习其他积分方法的基础础,必须熟练掌握；通过例子告诉学生一些常用必须熟练掌握；通过例子告诉学生一些常用的变形方法。的变形方法。课堂练习：做习题课堂练习：做习题4.14.1的练习的练习4 4（单号

5、）。（单号）。11.11.小结小结。布置作业。布置作业。(5)(5)第第3,4课时课时 第一类换元积分法（凑微分法）第一类换元积分法（凑微分法）教学目的：教学目的：掌握第一类换元积分法掌握第一类换元积分法 （凑微分法）（凑微分法）教学重点：教学重点：熟悉一些常见的凑微分类型熟悉一些常见的凑微分类型教学难点：教学难点：凑微分法凑微分法教学过程：教学过程：1.按教材复习引入新课，提出问题：这种方法是不是具有一般性呢？（10）2、推出第一类换元积分公式，给出凑微分法的步骤 （15）公式告诉我们：无论 为自变量，还是函数 ，均有，这就大大扩大了基本积分公式的使用范围。问题：何时使用凑微分法，怎样凑问题

6、：何时使用凑微分法，怎样凑微分？微分？基本思路：基本思路：观察被积函数，一般先考虑能观察被积函数，一般先考虑能不能直接积分，若不行，而被积函数中含不能直接积分，若不行，而被积函数中含有复合函数，且其余部分可以与有复合函数，且其余部分可以与 结合结合凑成复合函数中间变量的微分，则可用凑凑成复合函数中间变量的微分，则可用凑微分法。微分法。3、通过举例，归纳一些常见的凑微分类、通过举例，归纳一些常见的凑微分类型型 （65）特别地,有 ;说明：（1）仅在前面1-2例子写出换元过程，后面重点放在怎样凑微分，求积分，换元过程均不写出，要求学生在心中默记着。（2 2）教学方法是对同一种类型，先举）教学方法是

7、对同一种类型，先举2-32-3个例子，通个例子，通过教师引导学生观察被积函数特征，归纳一种常见的凑过教师引导学生观察被积函数特征，归纳一种常见的凑微分，让学生先有认识，再自己做微分，让学生先有认识，再自己做2 2个同类课堂练习进一个同类课堂练习进一步巩固，此处要补充大量例、习题，着重分析一些基本步巩固，此处要补充大量例、习题，着重分析一些基本类型及相应的处理方法，启发学生总结经验，掌握其规类型及相应的处理方法，启发学生总结经验，掌握其规律性；在此基础上，再做习题律性；在此基础上，再做习题4.24.2练习练习1 1进行强化。进行强化。说明：说明：（1）仅在前面仅在前面1-2例子写出换元过程，后面

8、例子写出换元过程，后面重点放在怎样凑微分，求积分，换元过程重点放在怎样凑微分，求积分，换元过程均不写出，要求学生在心中默记着。均不写出，要求学生在心中默记着。（2）教学方法是对同一种类型，先举教学方法是对同一种类型，先举2个例个例子，通过教师引导学生观察被积函数特征，子，通过教师引导学生观察被积函数特征，归纳一种常见的凑微分，让学生先有认识，归纳一种常见的凑微分，让学生先有认识，再自己做再自己做2个同类课堂练习进一步巩固，此个同类课堂练习进一步巩固，此处要补充大量例、习题，着重分析一些基处要补充大量例、习题，着重分析一些基本类型及相应的处理方法，启发学生总结本类型及相应的处理方法，启发学生总结

9、经验，掌握其规律性；在此基础上，再做经验，掌握其规律性；在此基础上，再做习题习题4.2练习练习1进行强化。进行强化。4小结小结，布置作业。（10）第第5，6课时：课时：第一类换元积分法（凑微分法第一类换元积分法（凑微分法)教学目的：教学目的：熟练掌握凑微分法熟练掌握凑微分法教学重点：教学重点：凑微分法凑微分法教学难点：教学难点：灵活运用凑微分法求积分灵活运用凑微分法求积分教学过程：教学过程：1.复习已学的求不定积分方法及其所适应的基本复习已学的求不定积分方法及其所适应的基本类型，并辅以练习。类型，并辅以练习。（20）2.例、习题：例、习题：求下列不定积分求下列不定积分 （30）说明：说明：以上

10、结论可以作为公式使用，以上结论可以作为公式使用，再举再举2个应用公式求积分的例子个应用公式求积分的例子.3课堂练习：复习题课堂练习：复习题4的的4（1）（14）（30）4 求形如求形如的积分，为后面学习有理函数积分做准备。的积分，为后面学习有理函数积分做准备。（15）5 小结。布置作业。小结。布置作业。（5）第第7，8课时：课时：第二类换元积分法第二类换元积分法教学目的：教学目的：掌握第二类换元积分法掌握第二类换元积分法教学重点：教学重点：第二类换元积分法第二类换元积分法教学难点：教学难点：选择适当的变量代换选择适当的变量代换教学过程：教学过程：1.复习已学的求不定积分方法及其所复习已学的求不

11、定积分方法及其所适应的基本类型，提出问题，通过求适应的基本类型，提出问题，通过求 引入新课。引入新课。（7）2、给出第二类换元积分公式及第二类、给出第二类换元积分公式及第二类换元法的步骤换元法的步骤 （8）问题：何时用第二类换元积分法，问题：何时用第二类换元积分法，怎样用？怎样用？一般用于被积函数中含有根式，一般用于被积函数中含有根式，而用直接积分法和凑微分法又不而用直接积分法和凑微分法又不能积出的情形；能积出的情形；关键关键在于合理在于合理选择函数进行变量代换，把原来选择函数进行变量代换，把原来不易求出的积分转化为能用前面不易求出的积分转化为能用前面所学的方法求出的积分。所学的方法求出的积分

12、。3.常用第二类换元积分法求积分的两种常用第二类换元积分法求积分的两种被积函数类型被积函数类型(1)(1)被积函数中含有被积函数中含有 （2020）方法：方法：设设 （换根代换法）（换根代换法）目的：目的：消去根式，化为有理函数的积分。消去根式，化为有理函数的积分。vv通过通过2 2个例题讲清步骤，注意提醒学生个例题讲清步骤，注意提醒学生被积函数中的被积函数中的 与积分变量与积分变量 必须同必须同时换为时换为 ；再做课堂练习巩固。；再做课堂练习巩固。(2)(2)被积函数中含有被积函数中含有 (30)(30)方法：方法：作三角代换作三角代换 目的：目的：消去根式消去根式通过例题讲清方法、步骤，提

13、醒学生通过例题讲清方法、步骤，提醒学生注意：注意：1 10 0 结合三角公式选择三角代换；结合三角公式选择三角代换；2 20 0 被积函数中的被积函数中的 与积分变量与积分变量 必须同时换；必须同时换；3 30 0 回代时画个辅助三角形会比较方便。回代时画个辅助三角形会比较方便。做课堂练习做课堂练习4 简介简介可用第二类换元积分法求积分的其他情形 (10)5 补充：补充：再通过例题17告诉学生求同一积分，从不同的角度考虑，可能有多种解法；求积分时应该注意根据被积函数的特征，选择适当的积分方法，能用凑微分的尽量用第一类换元法，使解题过程更简洁。(15)6 小结小结。布置作业。(10)第第9，10

14、课时：课时：分部积分法分部积分法教学目的：教学目的：熟练掌握分部积分法熟练掌握分部积分法教学重点：教学重点：分部积分法分部积分法教学难点：教学难点：合理选择合理选择u,v教学过程：教学过程：1.复习前面所学习的积分方法及其适复习前面所学习的积分方法及其适用的类型，提出如何求用的类型，提出如何求 ，引入新课。（引入新课。（10）2.推出分部积分公式，分析分部积分推出分部积分公式，分析分部积分法。法。（15）公式：公式：作用：作用：把求把求 转化为求转化为求 ，如，如果果 比比 易求，就起到了化难为易求，就起到了化难为易的目的。易的目的。问题：何时用分部积分法，怎样用？问题：何时用分部积分法，怎样

15、用？一般用于被积函数为两类函数的乘积，一般用于被积函数为两类函数的乘积，且用前面的方法积不出来，此时可考虑且用前面的方法积不出来，此时可考虑用分部积分法；用分部积分法；关键关键在于合理选择在于合理选择u（通过例子说明），同时把被积函数中（通过例子说明），同时把被积函数中另一部分与另一部分与dx结合凑成结合凑成dv原则：原则：方便简洁方便简洁规律：规律：反对幂三指反对幂三指3结合讲解例题，体会分部积分法，指结合讲解例题，体会分部积分法，指出注意事项出注意事项 （35）说明：说明：（1）每次解题前应养成观察被积函数特征，选每次解题前应养成观察被积函数特征，选择适当积分方法的习惯；择适当积分方法的习

16、惯；（2）使用分部积分公式之前必须把积分写成使用分部积分公式之前必须把积分写成形式；形式；（3）同一题中，若需要可多次使用分部积分公同一题中，若需要可多次使用分部积分公式，但第二次使用分部积分公式时必须选择和前式，但第二次使用分部积分公式时必须选择和前一次同类函数作为一次同类函数作为u；（4）有时使用公式后等式右边也出现所求的积有时使用公式后等式右边也出现所求的积分，此时可如解方程一般，进行移项求得积分，分，此时可如解方程一般，进行移项求得积分，注意右边不要忘记加上注意右边不要忘记加上C；（5）有时求积分需要综合运用换元积分法和分有时求积分需要综合运用换元积分法和分部积分法。部积分法。4课堂练

17、习习题课堂练习习题4.3的的1（单号），（单号），2 （30）5小结，布置作业。小结，布置作业。（10）第第11，12课时：课时：有理函数的积分举例有理函数的积分举例 习题课习题课教学目的：教学目的：会求简单的有理函数的积分会求简单的有理函数的积分 掌掌 握各积分方法握各积分方法教学重点：教学重点：有理函数的积分有理函数的积分 求积分的基求积分的基 本方法本方法教学难点：教学难点：有理函数的分解有理函数的分解 积分方法的积分方法的灵活运用灵活运用教学过程：教学过程：1有理函数的概念有理函数的概念 （5）2有理函数的分解有理函数的分解部分分式法（只提出结部分分式法（只提出结论，不加证明，通过例题

18、把方法讲清）（论，不加证明，通过例题把方法讲清）（15）3有理函数的积分举例有理函数的积分举例（15）（1）给出求有理函数积分的步骤）给出求有理函数积分的步骤（2）举例）举例4课堂练习课堂练习 （15）5几点说明：几点说明：（10）（1）结合教材中例题说明以上介绍的是求有理）结合教材中例题说明以上介绍的是求有理函数积分的常规方法，但不一定是最简单的方法。函数积分的常规方法，但不一定是最简单的方法。解题时应根据被积函数的特点，尽可能选择较简解题时应根据被积函数的特点，尽可能选择较简便的方法，要灵活应用；便的方法，要灵活应用；（2）4.5积分表的使用留给学生自学；积分表的使用留给学生自学；（3）初等函数的原函数不一定仍是初等函数。）初等函数的原函数不一定仍是初等函数。6本章内容小结本章内容小结，重点是总结求不定积分的，重点是总结求不定积分的基本方法及其所适应的基本类型，不过分强调积基本方法及其所适应的基本类型，不过分强调积分技巧。数学恒等变形与变量代换是常用的典型分技巧。数学恒等变形与变量代换是常用的典型方法，要引导学生逐步培养这些数学思想方法；方法，要引导学生逐步培养这些数学思想方法；选做复习题选做复习题4。（40）