【课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptx

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1、6.16.1分类加法计数原理与分步乘分类加法计数原理与分步乘 法计数原理（法计数原理（1 1）思考思考1 1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？能编出多少种不同的号码？计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.但当问但当问题中的数量很大时题中的数量很大时，列举的方法效率不高列举的方法效率不高.能否设计巧妙的能否设计巧妙的“数法数法”，以提高以提高效率呢效率呢？下面先分析一个简单的问题

2、下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧并尝试从中得出巧妙的计数方法妙的计数方法.新知引入1l问题问题1 1：你能说一说这个问题的特征吗？你能说一说这个问题的特征吗？首先首先，这里要完成的事情是这里要完成的事情是“给一个座位编号给一个座位编号”；其次是其次是“或或”字的出现字的出现：一一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两这两类号码数相加就得到了号码的

3、总数类号码数相加就得到了号码的总数.上述上述计数计数过程的基本环节是过程的基本环节是：(1)(1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；(2)(2)分别计算各类号码的个数分别计算各类号码的个数;(3)(3)各类号码的个数相加各类号码的个数相加，得出所有号码的个数得出所有号码的个数.新知探究2新知探究2l新知探究2 如果完成一件事有如果完成一件事有n n类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？么应当如何计数呢？Nm1m2m3分类加法计数原理分类加法计数

4、原理的一般结论：的一般结论：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为:Nm1m2mn2).首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.1).各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事,要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类加法计数原理又称加法原理分类加法计数原理说明分类加法计数原理说明新知探究2l新知探究2在这个问题中,号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这

5、样两个步骤用下图可以列出所有可能的号码.字母 数字 得到的号码A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9树形图新知探究2l问题问题3 3：你能说一说这个问题的特征吗？你能说一说这个问题的特征吗？上述问题上述问题要完成的要完成的一件一件事情事情仍然仍然是是“给一个座位编号给一个座位编号”，其中最重要的特征其中最重要的特征是是“和和”字的出现字的出现：一个座位编号一个座位编号由一个由一个英文字母英文字母和和一个阿拉伯数字一个阿拉伯数字构成构成.因因此得到此得到一个座位号要经过先确定一个一个座位号要经过先确定一个英文字母英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每，后确定一个阿拉伯数字

6、这两个步骤，每一个英文字母一个英文字母与不同与不同的数字组成的号码是互不相同的的数字组成的号码是互不相同的.新知探究2新知探究2新知探究2新知探究2 如果完成一件事需要如果完成一件事需要n n个步骤个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？当如何计数呢？Nm1m2m3分分步乘法步乘法计数原理计数原理的一般结论：的一般结论：如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数为:Nm1m2mn2).首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计

7、数.1).各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理分步乘法计数原理说明分步乘法计数原理说明新知探究2加法原理乘法原理联系区别一完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事情,共分n个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能独立完成这件事情。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三各类办法是互斥的、并列的、独立的各步之间是相关联的分类计数与分

8、步计数原理的区别和联系例例3 3.书架的第书架的第1 1层放有层放有4 4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2 2层放有层放有3 3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3 3层放层放有有2 2本不同的体育书本不同的体育书.(1)(1)从书架上任取从书架上任取1 1本书，有多少种不同取法？本书，有多少种不同取法？(2)(2)从书架的第从书架的第1 1层、第层、第2 2层、第层、第3 3层各取层各取1 1本书，有多少种不同取法？本书，有多少种不同取法？l典例分析3课本练习41.填空题（填空题（1）一项工作可以用）一项工作可以用2种方法完成，有种方法完成，有5人只会用第人只会用第1种方法完成，

9、另有种方法完成，另有4人只会用第人只会用第2种方法完成，从中选出种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是人来完成这项工作，不同选法的种数是_；（；（2）从）从A村去村去B村的道路有村的道路有3条，从条，从B村去村去C村的道路有村的道路有2条，从条，从A村经村经B村去村去C村，不同路线的条数是村，不同路线的条数是_2.现有高一年级的学生现有高一年级的学生3名，高二年级的学生名，高二年级的学生5名，高三年级的学生名，高三年级的学生4名（名（1）从）从三个年级的学生中任选三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）

10、从）从三个年级的学生中各选三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？题型一：分类加法计数原理题型一：分类加法计数原理1.1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_._.课堂练习51.1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_._.课堂练习5 (变变条条件件)若若本本例例条条件件变变为为个个位位数数字字小小于于十十位位数数字字且且为为偶偶数数，那那么么这这样样的的两两位位数数有有多少个多少个

11、?课堂练习5解当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1357925(个).(变条件，变设问变条件，变设问)用用1 1，2 2，3 3这这3 3个数字可以组成没有重复数字的整数个数字可以组成没有重复数字的整数_个个课堂练习5解析分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12，21，23，32，13，31，共6个；第三类为三位整数，有123，132，231，213，321，312，

12、共6个，由分类加法计数原理知共可组成没有重复数字的整数36615(个)答案15规律方法利用分类加法计数原理计数时的解题流程课堂练习5变变1 满满足足a，b 1，0，1，2，且且关关于于x的的方方程程ax22xb0有有实实数数解解的的有有序序数数对对(a，b)的个数为的个数为()A14 B13 C12 D10解析由关于x的方程ax22xb0有实数解，得a0，bR或a0时，ab1.又a，b1，0，1，2，故若a1时，b1，0，1，2，有4种可能；若a0时，b1，0，1，2，有4种可能；若a1时，b1，0，1，有3种可能；若a2时，b1，0，有2种可能由分类加法计数原理知共有(a，b)的个数为443

13、213.答案B课堂练习5 2.在在平平面面直直角角坐坐标标系系内内，若若点点P(x，y)的的横横、纵纵坐坐标标均均在在0，1，2，3内内取取值值，则可以组成多少个不同的点则可以组成多少个不同的点P?解确定点P的坐标必须分两步，即分步确定点P的横坐标与纵坐标第一步，确定横坐标，从0，1，2，3四个数字中选一个，有4种方法；第二步，确定纵坐标，从0，1，2，3四个数字中选一个，也有4种方法根据分步乘法计数原理，所有不同的点P的个数为4416.故可以组成16个不同的点P.课堂练习5题型二：分步乘法计数原理题型二：分步乘法计数原理规律方法应用分步乘法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成

14、一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过几步才能完成这件事(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成，即各步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整课堂练习5变变2用用0，1，2，3，4，5，6这七个数字共能组成多少个两位数？这七个数字共能组成多少个两位数？解第一步，确定十位数字，1，2，3，4，5，6六个数字都可以选择，有6种方法；第二步，确定个位数字

15、，0，1，2，3，4，5，6七个数字都可以选择，有7种选法根据分步乘法计数原理，不同的两位数共有6742(个)故可以组成42个两位数课堂练习5 3.现现有有高高一一年年级级的的四四个个班班的的学学生生34人人，其其中中一一、二二、三三、四四班班各各7人人、8人人、9人人、10人，他们自愿组成数学课外小组人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？推选两人做中心发言，这两人需来自不

16、同的班级，有多少种不同的选法？课堂练习5题型三：两个计数原理的简单应用题型三：两个计数原理的简单应用解(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法所以，共有不同的选法N7891034(种)(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长所以，共有不同的选法N789105 040(种)(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79 种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同

17、的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法所以，共有不同的选法N787971089810910431(种)课堂练习5规律方法(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰课堂练习5 变变3.某电视台的主持人在某综艺节目中拿

18、出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有来信，甲箱中有30封，乙箱中有封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？课堂练习5题型三：两个计数原理的简单应用题型三：两个计数原理的简单应用相同点：回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题区别:分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事 加法计数原理：针对的是加法计数原理：针对的是“分类分类”问题问题.各类方法相互独立各类方法相互独立.乘法计数原理：针对的是乘法计数原理：针对的是“分步分步”问题。问题。每步相互依存。每步相互依存。课堂小结6