高等数学课件D921、2偏导数及高阶偏导数.ppt

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1、第二节 偏导数与全微分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、偏导数的定义一、偏导数的定义二、偏导数的计算二、偏导数的计算 偏导数的定义与计算 第九章 三、高阶偏导数三、高阶偏导数 4/22/2023高等数学课件一、一、偏导数的定义偏导数的定义引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是中的 x 固定于求一阶导数与二阶导数.x0 处,关于 t 的机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅4/22/2023高等数学课件定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:4/22/2023高等数学课件同样可定义对 y 的偏

2、导数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在,4/22/2023高等数学课件例如例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为(请自己写出)4/22/2023高等数学课件二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的4/22/2023高等数学课

3、件函数在某点各偏导数都存在,例例注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结束 而 f(x,y)在点(0,0)并不连续!4/22/2023高等数学课件连续和偏导数的关系.例例思考：思考：上节例 目录 上页 下页 返回 结束 证明：证明：所以在处连续；知不存在；不存在。同理 由偏导数的定义4/22/2023高等数学课件例例1.求解法解法1:解法解法2:在点(1,2)处的偏导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、偏导数的计算偏导数的计算4/22/2023高等数学课件例例2.设证证:例例3.求的偏导数.解解:求证机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/

4、2023高等数学课件偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,4/22/2023高等数学课件例例5.已知求解解:方法1 先求导，后代值机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/2023高等数学课件例例5.已知求解解:方法2 直接用定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法3 代值4/22/2023高等数学课件三、高阶偏导数三、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有

5、下列四个二阶偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:4/22/2023高等数学课件类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为4/22/2023高等数学课件例例6.证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性,有方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/2023高等数学课件例例7.求函数解解:注意注意:此处但这一结论并不总成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 4/22/2023高等数学课件特例特例:二者不等机动 目录 上页

6、下页 返回 结束 4/22/2023高等数学课件则证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.例如例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有而初等4/22/2023高等数学课件证证:令则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.令4/22/2023高等数学课件同样在点连续,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/2023高等数学课件练习练习1解答提示:即 xy0 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/2023高等数学课件练习练习2解答提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 设所求的倾角为,由偏导数的定义,得4/22/2023高等数学课件内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/2023高等数学课件补充题补充题 设方程确定 u 是 x,y 的函数,连续,且求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4/22/2023高等数学课件