学案4二次函数(教育精品).ppt

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1、学案学案4 4 二二 次次 函函 数数 名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 (1)(1)会用基本初等函数的图象理解、分析、研会用基本初等函数的图象理解、分析、研究函数的性质究函数的性质.(2)(2)会用一次函数、二次函数模型解决实际问会用一次函数、二次函数模型解决实际问题题.二次函数二次函数返回目录返回目录 名师伴你行 1.二次函数的图象与性质

2、是历年高考命题的热点内容二次函数的图象与性质是历年高考命题的热点内容,今后仍将是高考命题的热点今后仍将是高考命题的热点.2.与数学应用问题、函数的最值、不等式的求解及证与数学应用问题、函数的最值、不等式的求解及证明、分类讨论等知识结合，在知识的交汇点处命题明、分类讨论等知识结合，在知识的交汇点处命题.3.选择、填空、解答三种题型都有可能出现选择、填空、解答三种题型都有可能出现.考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 返回目录返回目录 1.二次函数二次函数函数函数 叫做叫做二次函数二次函数,它的定义域是它的定义域是 .2.y=ax2(a0)的性质和图象特征的性质和图象特征(1)定义域是定义域是

3、.(2)顶点坐标为顶点坐标为 .(3)偶函数偶函数,图象关于图象关于y轴对称轴对称,其对称轴为其对称轴为 .R y=ax2+bx+c(a0)x=0 R(0,0)名师伴你行返回目录返回目录 3.二次函数的三种表示形式二次函数的三种表示形式 一般式一般式:.顶点式顶点式:,其中其中 为抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标.两根式两根式:,其其中中 是抛物线与是抛物线与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标.4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系间的关系y=ax2+bx+c(a0)y=a(x-h)2+k(a0)(h,k)y=a(x-x1)(x-x2

4、)x1,x2 名师伴你行y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象的图象方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的解的解无解无解axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集的解集axax2 2+bx+c+bx+c0 0的解集的解集x=x1 x=x2 x1=x2=x0 x|xx2 x|xx0 R 返回目录返回目录 x|x1x0即可即可.(2)利用根与系数的关系求利用根与系数的关系求m.名师伴你行已知二次函数已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中其中m为实数为实数.(1)求证求证:不论不论m取何实数取何实数,这个二次函数的图象与这个二次函数的图象

5、与x轴必轴必有两个交点有两个交点;(2)设这个二次函数的图象与设这个二次函数的图象与x轴交于点轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且且x1,x2的倒数和为的倒数和为 ,求这个二次求这个二次函数的解析式函数的解析式.返回目录返回目录 名师伴你行【解析解析解析解析】(1)证明：与这个二次函数对应的一元二次方程是证明：与这个二次函数对应的一元二次方程是 x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0.=4(m-1)2-4(m2-2m-3)=4m2-8m+4-4m2+8m+12=160,方程方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0必有两个不相等的实数根必有两个不相等的实数根,不论不论m取何值取何值,

6、这个二次函数的图象与这个二次函数的图象与x轴必有两个交点轴必有两个交点.(2)由题意可知由题意可知x1,x2是方程是方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0的两个的两个实数根实数根,x1+x2=2(m-1),x1x2=m2-2m-3.,即即 ,.解得解得m=0或或m=5.经检验经检验,m=0,m=5都是方程都是方程的解的解.所求二次函数的解析式为所求二次函数的解析式为y=x2+2x-3或或y=x2-8x+12.在掌握函数解析式在掌握函数解析式y=f(x),方程方程f(x)=0及及y=f(x)的图象的图象间的关系的基础上间的关系的基础上,判别式判别式以及韦达定理是处理根与系以及韦达定理是处理

7、根与系数关系的基本工具数关系的基本工具,必须熟练掌握必须熟练掌握.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行已知二次函数已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件满足条件f(2-x)=f(2+x),其图象的顶点为其图象的顶点为A,图象与图象与x轴的交点为轴的交点为B,C,其中其中B点点的坐标为的坐标为(-1,0)且且ABC的面积为的面积为18,试确定这个二试确定这个二次函数的解析式次函数的解析式.【解析解析解析解析】解法一解法一解法一解法一:由由f(2-x)=f(2+x),二次函数二次函数f(x)图象图象的对称轴方程为的对称轴方程为x=2,故故 点点B(-1,0)在在f(x)

8、的图象上的图象上,故故a(-1)2+b(-1)+c=0,即即a-b+c=0 又又ABC的面积为的面积为18，故故 2-(-1)=,即即 =6 返回目录返回目录 名师伴你行由由得得b=-4a,分别代入分别代入中中,得得a+4a+c=0,即即5a+c=0.=6,即即c-4a=6.a=a=-b=-b=c=-c=.f(x)=x2-x-或或f(x)=-x2+x+.或或由此解得由此解得返回目录返回目录 名师伴你行解法二解法二解法二解法二:由由f(2-x)=f(2+x)知知,二次函数二次函数f(x)图象的对称轴方程为图象的对称轴方程为x=2,又又B(-1,0),故故C点坐标为点坐标为(5,0).设顶点设顶点

9、A的纵坐标为的纵坐标为y,则由则由ABC面积为面积为18，有有 (5+1)|y|=18，故可解得，故可解得y=6,A点坐标为点坐标为(2,6).可设可设f(x)=a(x-2)2+6或或f(x)=a(x-2)2-6.B(-1,0)是是f(x)图象上一点图象上一点,故故a(-1-2)2+6=0或或a(-1-2)2-6=0.解得解得a=-或或a=.f(x)=-(x-2)2+6或或f(x)=(x-2)2-6.返回目录返回目录 名师伴你行（1）2010年高考四川卷函数年高考四川卷函数f(x)=x2+mx+1的图的图象关于直线象关于直线x=1对称的充要条件是对称的充要条件是 .（2）函数）函数f(x)=2

10、x2+mx-1在区间在区间-1,+)上递增，则上递增，则 f(-1)的取值范围是的取值范围是 .返回目录返回目录 名师伴你行考点考点考点考点2 2 二次函数性质的应用二次函数性质的应用二次函数性质的应用二次函数性质的应用 【分析分析】利用二次函数的对称轴解决问题利用二次函数的对称轴解决问题.返回目录返回目录 名师伴你行 解法二解法二：f(x)=x2+mx+1的对称轴为的对称轴为x=,=1,即即m=-2.其充要条件是其充要条件是m=-2.（2）抛物线开口向上，对称轴为抛物线开口向上，对称轴为x=,-1,m4.又又f(-1)=1-m-3,f(-1)(-,-3.【解析解析】(1)解法一解法一:函数函

11、数y=f(x)关于关于x=1对称的充对称的充要条件是要条件是f(x)=f(2-x),x2+mx+1=(2-x)2+m(2-x)+1,化简得化简得(m+2)x=m+2,m+2=0,即即m=-2.本题考查了二次函数对称轴的求法本题考查了二次函数对称轴的求法,以及利用对称轴以及利用对称轴研究二次函数的单调性研究二次函数的单调性.返回目录返回目录 名师伴你行设二次函数设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程方程f(x)-x=0的两根的两根x1和和x2满满足足0 x1x20 0 0 g(0)0,a3+2 或或a3-2 -1a0,0a3-2 .故所求实数故所求实数a的取值范围是的取值范围是(0,3-2 )

12、.即即则由题意得则由题意得返回目录返回目录 名师伴你行(2)由题意知由题意知f(0)f(1)-f(0)=2a2.令令h(a)=2a2,则当则当0a3-2 时时,h(a)是增函数是增函数.h(a)h(3-2 )=2(3-2 )2 =2(17-12 )=2 .即即f(0)f(1)-f(0).返回目录返回目录 名师伴你行考点考点考点考点3 3 二次函数在给定区间上的最值问题二次函数在给定区间上的最值问题二次函数在给定区间上的最值问题二次函数在给定区间上的最值问题 已知函数已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间在区间-1,1上有最小值上有最小值,记作记作g(a).(1)求求g(a)的函数表达式的函

13、数表达式;(2)求求g(a)的最大值的最大值.【分析分析分析分析】抛物线对称轴不确定抛物线对称轴不确定,需讨论对称轴与区间需讨论对称轴与区间的关系才能求出区间最值的关系才能求出区间最值.【解析解析解析解析】(1)由由f(x)=2x2-2ax+3=2（x-）2+3-知知对称轴方程为对称轴方程为x=,根据二次函数的对称轴与题设区间的相对位置分类根据二次函数的对称轴与题设区间的相对位置分类讨论讨论.返回目录返回目录 名师伴你行 当当 -1,即即a-2时时,g(a)=f(-1)=2a+5;当当-1 1,即即-2a2时时,g(a)=f()=3-;当当 1,即即a2时时,g(a)=f(1)=5-2a.综合

14、综合,得得 2a+5 (a-2)3-(-2a2)5-2a (a2).(2)当当a-2时时,g(a)1;当当-2a2时时,g(a)3;当当a2时时,g(a)1.当当a=0时时,g(a)的最大值为的最大值为3.g(a)=返回目录返回目录 名师伴你行 (1)解二次函数求最值问题解二次函数求最值问题,首先采用配方法首先采用配方法,将二次将二次函数化为函数化为y=a(x-m)2+n的形式的形式,得顶点得顶点(m,n)或对称轴方或对称轴方程程x=m,可分成三个类型可分成三个类型:顶点固定顶点固定,区间固定区间固定;顶点含参数顶点含参数,区间固定区间固定;顶点固定顶点固定,区间变动区间变动.(2)二次函数的

15、最值问题能够将有关二次函数的全部二次函数的最值问题能够将有关二次函数的全部知识和性质融合在一起，还经常和实际问题以及其他考知识和性质融合在一起，还经常和实际问题以及其他考点的知识相结合考查考生的函数思想水平和数学抽象能点的知识相结合考查考生的函数思想水平和数学抽象能力力，所以历来为高考命题专家所青睐，所以历来为高考命题专家所青睐.解决最值问题的解决最值问题的关键是与图象结合关键是与图象结合，就是用数形结合的方法和运动变化，就是用数形结合的方法和运动变化的观点进行分析，然后用抽象的数学表达式反映考题的的观点进行分析，然后用抽象的数学表达式反映考题的本质本质.当然这离不开有关函数最值的基本知识，如

16、最值公当然这离不开有关函数最值的基本知识，如最值公式式、均值定理、配方法等、均值定理、配方法等.返回目录返回目录 名师伴你行已知已知f(x)=x2+ax+3-a，若当，若当x-2,2时，时，f(x)0恒成恒成立，求立，求a的范围的范围.【解析】【解析】f(x)=x2+ax+3-a=（x+）2-+3-a.当当-4时，时，f(x)min=f(-2)=7-3a0,a ,又又a4,故此时故此时a不存在不存在.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行当当-2 2，即，即-4a4时，时，f(x)min=f（）=3-a-0,a2+4a-120.-6a2.又又-4a4,-4a2.当当 2，即，

17、即a-4时，时，f(x)min=f(2)=7+a0,a-7.又又a-4，故，故-7a0,即即aa (x+a)2-2a2,xa （)当当a0时，时，f(-a)=-2a2,由由知知f(x)-2a2,此时此时g(a)=-2a2.()当当aa,则由则由知知f(x);若若xa，由，由x+a2a .=返回目录返回目录 名师伴你行此时此时g(a)=.-2a2,a0 ,a-2x的解集为的解集为x|1x3.（1）若方程）若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求有两个相等的实根，求f(x)的的解析式；解析式；（2）若）若f(x)的最大值为正数，求的最大值为正数，求a的取值范围的取值范围.【解析解析解析解析】（

18、1）f(x)+2x0的解集为的解集为x|1x3,可设可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且，且a0.因而因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x =ax2-(2+4a)x+3a.返回目录返回目录 名师伴你行由方程由方程f(x)+6a=0得得ax2-(2+4a)x+9a=0.方程方程有两个相等的根，有两个相等的根，=-(2+4a)2-4a9a=0,即即5a2-4a-1=0.解得解得a=1或或a=-.由于由于a0，舍去，舍去a=1.将将a=-代入代入得得f(x)的解析式为的解析式为f(x)=-x2-x-.返回目录返回目录 名师伴你行 (2)f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a =由

19、由a0 a0,解得解得a-2-或或-2+a0)万人进企业工作万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均收那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为而进入企业工作的农民的人均收入为3 000a元元(a0).(1)在建立加工企业后在建立加工企业后,要使从事传统农业的农民的年总要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入,试求试求x的的取值范围取值范围;(2)在在(1)的条件下的条件下,当地政府应该如何引导农当地政府应该如何引导农民民(即即x多大时多大时),能使这能使这100万农

20、民的人均年收入达到最大万农民的人均年收入达到最大.返回目录返回目录 名师伴你行 【分析分析分析分析】确定函数表达式是关键确定函数表达式是关键,由题意可先求自变由题意可先求自变量量x的取值范围的取值范围.【解析解析解析解析】(1)由题意得由题意得(100-x)3 000(1+2x%)1003 000,即即x2-50 x0,解得解得0 x50.又又x0,0 x50.(2)设这设这100万农民的人均年收入为万农民的人均年收入为y元元,则则 返回目录返回目录 名师伴你行 若若25(a+1)50,即即01时时,函数在函数在(0,50上是增函数上是增函数.当当x=50时时,ymax=-502+30(a+1

21、)50+3 000 =-1 500+1 500a+1 500+3 000 =1 500a+3 000.若若01,当当x=50时时,能使能使100万农民的人均年收入最万农民的人均年收入最大大.返回目录返回目录 名师伴你行 解实际问题关键是建立数学模型解实际问题关键是建立数学模型,列出正确的数学列出正确的数学关系式关系式.返回目录返回目录 名师伴你行某种新产品投放市场的某种新产品投放市场的100天中天中,前前40天价格呈直线上升天价格呈直线上升,而后而后60天其价格呈直线下降天其价格呈直线下降,现统计出其中现统计出其中4天的价格如天的价格如下表下表:(1)写出价格写出价格f(x)关于时间关于时间x

22、的函数关系式的函数关系式(x表示投放市表示投放市场场 的第的第x天天);(2)销售量销售量g(x)与时间与时间x的函数关系为的函数关系为:g(x)=-x+(1x100,xN),则该产品投放市场第几天销售额则该产品投放市场第几天销售额 最高最高?最高为多少千元最高为多少千元?时间时间第第4 4天天第第3232天天第第6060天天第第9090天天价格价格(千千元元)2323303022227 7返回目录返回目录 名师伴你行【解析解析解析解析】(1)用求直线方程的方法得用求直线方程的方法得 x+22,1x40,-x+52,40 x100.(2)设日销售额为设日销售额为S(x),则当则当1x40时时,

23、S(x)=f(x)g(x)=(x+22)(-x+)=(x+88)(-x+109)=-(x2-21x-9 592).当当x=10或或x=11时时,S(x)max=808.5(千元千元).当当40 x100时时,S(x)=(-x+52)(-x+)=(x2-213x+11 336).当当x=40时时,S(x)max=736808.5.综上得综上得:销售额最高在第销售额最高在第10天和第天和第11天天,最高销售额为最高销售额为808.5千元千元.f(x)=返回目录返回目录 名师伴你行 1.1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法数形结合是讨论二次函数问题的基本方法数形结合是讨论二次函数问题的基本方法数

24、形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是特别是特别是特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路路路路.2.2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论类讨论类讨论类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关比如讨论二

25、次函数的对称轴与给定区间的位置关系系系系,又例如牵涉二次不等式需讨论根的大小等又例如牵涉二次不等式需讨论根的大小等又例如牵涉二次不等式需讨论根的大小等又例如牵涉二次不等式需讨论根的大小等.3.3.求二次函数解析式的方法有求二次函数解析式的方法有求二次函数解析式的方法有求二次函数解析式的方法有:(1)(1)一般式一般式一般式一般式:y=ax:y=ax2 2+bx+c(a0);+bx+c(a0);(2)(2)顶点式顶点式顶点式顶点式:y=a(x-h):y=a(x-h)2 2+k;+k;(3)(3)交点式交点式交点式交点式:y=a(x-x:y=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2).).返回目

26、录返回目录 名师伴你行 4.4.关于二次函数关于二次函数关于二次函数关于二次函数y=y=f(xf(x)对称轴的判断方法对称轴的判断方法对称轴的判断方法对称轴的判断方法:(1)(1)对于二次函数对于二次函数对于二次函数对于二次函数y=y=f(xf(x)对定义域内所有对定义域内所有对定义域内所有对定义域内所有x,x,都有都有都有都有f(xf(x1 1)=f)=f(x(x2 2),),那么函数那么函数那么函数那么函数y=y=f(xf(x)图象的对称轴方程为图象的对称轴方程为图象的对称轴方程为图象的对称轴方程为 .(2)(2)对于一般函数对于一般函数对于一般函数对于一般函数y=y=f(xf(x)对定义

27、域内所有对定义域内所有对定义域内所有对定义域内所有x,x,都有都有都有都有f(a+xf(a+x)=f(a-xf(a-x)成立成立成立成立,那么函数那么函数那么函数那么函数y=y=f(xf(x)图象的对称轴方程为图象的对称轴方程为图象的对称轴方程为图象的对称轴方程为x=x=a(aa(a为为为为常数常数常数常数).).(3)(3)对于一般函数对于一般函数对于一般函数对于一般函数y=y=f(xf(x)对定义域内所有对定义域内所有对定义域内所有对定义域内所有x,x,都有都有都有都有f(x+2a)f(x+2a)=f(xf(x),),那么函数那么函数那么函数那么函数 y=y=f(xf(x)图象的对称轴方程

28、为图象的对称轴方程为图象的对称轴方程为图象的对称轴方程为 x=a(ax=a(a为常数为常数为常数为常数).).注意注意注意注意:(2),(3):(2),(3)中中中中,f(a+xf(a+x)=)=f(a-xf(a-x)与与与与 f(x+2a)=f(x+2a)=f(xf(x)是等是等是等是等价的价的价的价的.(4)(4)利用配方法求二次函数利用配方法求二次函数利用配方法求二次函数利用配方法求二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的对称轴的对称轴的对称轴的对称轴方程为方程为方程为方程为x=-.x=-.(5)(5)利用方程的根求对称轴方程利用方程的根求对称轴方程利用方程的根求对称轴方程利用方程的根求对称轴方程.若二次函数若二次函数若二次函数若二次函数y=y=f(xf(x)对应对应对应对应方程为方程为方程为方程为f(xf(x)=0)=0的两根为的两根为的两根为的两根为x x1 1,x,x2 2,那么函数那么函数那么函数那么函数y=y=f(xf(x)图象的对称轴图象的对称轴图象的对称轴图象的对称轴方程为方程为方程为方程为 .返回目录返回目录 名师伴你行名师伴你行