第四章 气体动理论.ppt

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1、 4-0 4-0 第四章教学基本要求第四章教学基本要求 4-1 4-1 宏观与微观宏观与微观 统计规律统计规律 4-2 4-2 理想气体的压强与温度理想气体的压强与温度 4-3 4-3 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能 4-0 4-0 第四章教学基本要求第四章教学基本要求 4-4 4-4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律第四章第四章 气体动理论气体动理论教学基本要求教学基本要求 一一 了解气体分子热运动图象了解气体分子热运动图象,了解微观描述与宏观描述的区别了解微观描述与宏观描述的区别和联系和联系.二二 理解平衡态的概念和理想气体的状态方程理解平衡态的概念和理想气体的

2、状态方程 .三三 理理解解理理想想气气体体的的压压强强公公式式和和温温度度公公式式.通通过过推推导导压压强强公公式式,了了解解从从提提出出模模型型、统统计计平平均均、建建立立宏宏观观量量与与微微观观量量的的联联系系，到到阐阐明明宏宏观观量量的的微微观观本本质质的的思思想想和和方方法法，从从而而初初步步建建立立统统计计概概念，能从宏观和统计意义上理解压强、温度和内能的概念念，能从宏观和统计意义上理解压强、温度和内能的概念.四四 通过建立理想气体的刚性分子模型，理解气体分子平均能通过建立理想气体的刚性分子模型，理解气体分子平均能量按自由度均分定理，并会用于计算理想气体的内能量按自由度均分定理，并会

3、用于计算理想气体的内能.五五 了解麦克斯韦速率分布律及分布函数和速率分布曲线的物了解麦克斯韦速率分布律及分布函数和速率分布曲线的物理意义，了解气体分子热运动的三种统计速率理意义，了解气体分子热运动的三种统计速率.*六六 了解玻尔兹曼能量分布律及其统计意义了解玻尔兹曼能量分布律及其统计意义.4-1 4-1 宏观与微观宏观与微观 统计规律统计规律预习要点预习要点1.1.什么是宏观量？什么是微观量？系统的宏观量和微什么是宏观量？什么是微观量？系统的宏观量和微观量之间有什么关系？观量之间有什么关系？2.2.什么是统计规律？什么是统计规律？它对个别或少量事件成立吗它对个别或少量事件成立吗?3.3.什么是

4、平衡态？它与力学中的平衡概念有何不同？什么是平衡态？它与力学中的平衡概念有何不同？1 1 热力学系统热力学系统 热学研究的对象热学研究的对象.通常是由大量微观粒子组成的系统通常是由大量微观粒子组成的系统.一一 宏观与微观宏观与微观2 2 气体分子热运动的图象气体分子热运动的图象 1)1)分子数巨大，常态下任何气体分子数巨大，常态下任何气体 .2 2）分子频繁碰撞，每秒内的平均碰撞次数约为）分子频繁碰撞，每秒内的平均碰撞次数约为1010亿次亿次.3)3)分子的位置和速度瞬息万变无法预测分子的位置和速度瞬息万变无法预测.只能用统计方法寻找大量分子整体所遵循的规律性只能用统计方法寻找大量分子整体所遵

5、循的规律性.3 3 宏观量宏观量 实测的物理量实测的物理量,反映大量分子的集体特征反映大量分子的集体特征.如压强如压强P、体体积积V和温度和温度T等等.4 4 微观量微观量 描述组成系统的单个粒子描述组成系统的单个粒子(分子、原子、或其它分子、原子、或其它)性质和状态的物理量性质和状态的物理量,如质量、动量、能量等如质量、动量、能量等.5 5 平衡态和非平衡态平衡态和非平衡态 一个系统若和外界无能量交换，其内部也无能量一个系统若和外界无能量交换，其内部也无能量交换，交换，经过足够长的时间后系统达到一个宏观性质经过足够长的时间后系统达到一个宏观性质不随时间变化的状态不随时间变化的状态,即为平衡态

6、，否则为非平衡态即为平衡态，否则为非平衡态.热平衡时，系统内分子的热运动不会停息，因此热平衡时，系统内分子的热运动不会停息，因此热平衡是一种动态平衡热平衡是一种动态平衡.二二 统计规律统计规律 对大量偶然事件整体所遵守的规律为统计规律，对大量偶然事件整体所遵守的规律为统计规律，对个别或少量事件不成立对个别或少量事件不成立.宏观系统的热现象及其规宏观系统的热现象及其规律就是它所包含的大量分子热运动的统计规律性表现律就是它所包含的大量分子热运动的统计规律性表现.1 1 统计规律统计规律2 2 宏观量和微观量的关系宏观量和微观量的关系 宏观量是大量分子微观量的统计平均值，体现统宏观量是大量分子微观量

7、的统计平均值，体现统计规律计规律.实测值与统计平均值会存在一定偏差，称为实测值与统计平均值会存在一定偏差，称为涨落涨落.分子数越多，涨落越小分子数越多，涨落越小.对大量无规则的事件进行统计，其满足一定的规律性，对大量无规则的事件进行统计，其满足一定的规律性，事件的次数越多，规律性也越强，用事件的次数越多，规律性也越强，用“概率概率”来表示来表示.1）定义）定义:某一事件某一事件i发生的概率发生的概率Pi 3 概率概率 Ni-事件事件i发生的次数发生的次数N-各种事件在相同条件下发生的总次数各种事件在相同条件下发生的总次数2）概率的性质）概率的性质归一化条件归一化条件三三 理想气体的状态方程理想

8、气体的状态方程 实验表明，对质量为实验表明，对质量为m，摩尔质量为摩尔质量为M的理想气体的理想气体系统，在平衡态下遵从方程系统，在平衡态下遵从方程式中对质量一定的理想气体，式中对质量一定的理想气体，1）T一定，一定，PV=常量常量 玻意尔玻意尔-马略特定律马略特定律2）P一定，一定，V/T=常量常量 盖盖-吕萨克定律吕萨克定律3）V一定，一定，P/T=常量常量 查理定律查理定律设容器中气体分子数为设容器中气体分子数为N，1mol气体分子数气体分子数NA，气体气体的物质的量的物质的量 ，并引入玻耳兹曼常数并引入玻耳兹曼常数，则理想气体的状态方程又可表示为，则理想气体的状态方程又可表示为4-2 4

9、-2 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度预习要点预习要点1.1.理想气体的微观模型是怎样的理想气体的微观模型是怎样的?推导压强公式时推导压强公式时,哪些地方用到这一模型哪些地方用到这一模型?2.2.注意理想气体压强公式推导的条件、思路和方法注意理想气体压强公式推导的条件、思路和方法.推导中哪些地方用到了统计假设推导中哪些地方用到了统计假设?假设的内容是假设的内容是什么什么?3.3.理想气体压强和温度这两个宏观量与哪些微观量的理想气体压强和温度这两个宏观量与哪些微观量的统计平均值有关统计平均值有关?如何理解这两个宏观量的微观如何理解这两个宏观量的微观本质本质?4.4.为什么说理想气体的压强

10、和温度这两个概念仅具有为什么说理想气体的压强和温度这两个概念仅具有统计意义统计意义?一一 理想气体的微观模型理想气体的微观模型 1 1）分子可视为质点；）分子可视为质点；线度线度 间距间距 ;2 2）除碰撞瞬间）除碰撞瞬间,分子间及分子与器壁之间均无分子间及分子与器壁之间均无相互作用力；相互作用力；3 3）分子之间以及分子与器壁之间是完全弹性碰撞）分子之间以及分子与器壁之间是完全弹性碰撞.即理想气体分子像一个个极小的彼此间无相互作即理想气体分子像一个个极小的彼此间无相互作用的遵守经典力学的弹性质点用的遵守经典力学的弹性质点.二二 关于气体分子集体的统计假设关于气体分子集体的统计假设1 分子按位

11、置的分布是均匀的，容器中单位体积内的分分子按位置的分布是均匀的，容器中单位体积内的分子数处处相等：子数处处相等：N 表示容器体积表示容器体积V内的分子总数，内的分子总数，n是分子数密度是分子数密度.2 分子速度在各方向分量的算术平均值相等分子速度在各方向分量的算术平均值相等.同样有同样有 由于分子沿由于分子沿x轴正向和轴正向和x轴负向的运动概率是相同的，轴负向的运动概率是相同的，因此，在因此，在x方向上分子的平均速度为方向上分子的平均速度为0。即即3 分子速度在各方向分量的方均值相等分子速度在各方向分量的方均值相等.同理，分子速度在同理，分子速度在y、z方向的方均值：方向的方均值：由于分子在由

12、于分子在x、y、z三个方向上没有哪个方向的运动三个方向上没有哪个方向的运动占优势，所以，分子的三个速度方均值相等占优势，所以，分子的三个速度方均值相等.由矢量合成法则，分子速度的方均值为：由矢量合成法则，分子速度的方均值为：各方向运动各方向运动概概率均等率均等三三 理想气体压强公式理想气体压强公式分子数密度分子数密度n：单位体积内单位体积内的分子数的分子数.1.跟踪第跟踪第i个分子，它在某一时刻的速度个分子，它在某一时刻的速度 在在x方向的分量方向的分量为为vix.设长方形容器的边长分别为设长方形容器的边长分别为x、y、z。体积为体积为V，其内有其内有N个分子，分子的质量为个分子，分子的质量为

13、m，视为弹性小球，速度为视为弹性小球，速度为 .2.分子以分子以 向向A1面碰撞，并以面碰撞，并以 弹回，分子受弹回，分子受A1面的面的冲量冲量由牛顿第三定律，由牛顿第三定律，A1面受到面受到分子的冲量为分子的冲量为3.分分子子与与A2面面发发生生碰碰撞撞后后，又又与与A1面面发发生生碰碰撞撞，相相继继两两次对次对A1面碰撞所用的时间：面碰撞所用的时间：单位时间内对单位时间内对A1面的碰撞次数为：面的碰撞次数为：4.单位时间单位时间一个分子一个分子对对A1面的冲量（即平均冲力）为：面的冲量（即平均冲力）为：5.容器内容器内N个分子个分子对器壁的平均冲力为：对器壁的平均冲力为：6.A1面受到的压

14、强为：面受到的压强为：体积体积V为：为：则压强则压强上下同乘上下同乘N 得得由由和和得压强公式得压强公式：定义分子定义分子平均平动动能平均平动动能：压强公式又可表示为：压强公式又可表示为：1.压强是大量分子对时间和面积的统计平均结果压强是大量分子对时间和面积的统计平均结果.压强具压强具有统计意义，即它对于大量气体分子才有明确的意义有统计意义，即它对于大量气体分子才有明确的意义.2.压强公式建立起宏观量压强压强公式建立起宏观量压强P与微观气体分子运动之与微观气体分子运动之间的关系间的关系.3.分子数密度越大，压强越大；分子数密度越大，压强越大；分子运动得越激烈，压强越大分子运动得越激烈，压强越大

15、.注意几点注意几点注意几点注意几点4.压强的物理压强的物理意义意义宏观可测量宏观可测量微观量的统计平均值微观量的统计平均值四四 理想气体的温度理想气体的温度理想气体压强公式理想气体压强公式理想气体状态方程理想气体状态方程理想气体分子平均平动动能只和理想气体分子平均平动动能只和温度温度有关，并且有关，并且与热力学温度成与热力学温度成正比正比.1 温度公式温度公式宏观可测量宏观可测量微观量的统计平均微观量的统计平均 玻尔兹曼恒玻尔兹曼恒量量是气体普适常量，是气体普适常量，在中在中 8.31 (Jmol-1K-1),2 温度的微观意义温度的微观意义 热力学温度是分子平均热力学温度是分子平均平动动能的

16、量度平动动能的量度.温度温度反映了物体内部分子无规则运动的反映了物体内部分子无规则运动的激烈程度激烈程度.3 温度温度T的统计意义的统计意义4 在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等.其已为比林实验间接证实其已为比林实验间接证实.温度是对大量分子热运动的统计平均结果，对温度是对大量分子热运动的统计平均结果，对个别分子温度无意义个别分子温度无意义.由由4 方均根速率方均根速率例：求例：求273K时的氧气方均根速率的氧气方均根速率.解：解：4-3 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能预习要点预习要点1.什么是自由度什么是自由度?单

17、原子和刚性双原子分子的自由度各是多少单原子和刚性双原子分子的自由度各是多少?2.什么是能量均分定理什么是能量均分定理?为什么平衡态时物质分子的能量会按为什么平衡态时物质分子的能量会按自由度均分自由度均分?3.注意理想气体内能的概念、公式及其特点注意理想气体内能的概念、公式及其特点.一一 气体分子的自由度气体分子的自由度 1.自由度自由度：自由度是描写物体在空间位置所需的自由度是描写物体在空间位置所需的 独立坐标数独立坐标数.2.气体分子的自由度数目气体分子的自由度数目刚性气体分子的自由度刚性气体分子的自由度=平动自由度平动自由度+转动自由度转动自由度1）单原子分子气体单原子分子气体其模型可用一

18、个质点来代替其模型可用一个质点来代替.平动自由度平动自由度转动自由度转动自由度总自由度总自由度2）双原子分子气体双原子分子气体其模型可用看成一根刚性杆两端各其模型可用看成一根刚性杆两端各连一质点的模型来代替连一质点的模型来代替.平动自由度平动自由度转动自由度转动自由度总自由度总自由度3）多多原子分子气体原子分子气体其模型可用多个刚性质点来代替其模型可用多个刚性质点来代替.平动自由度平动自由度转动自由度转动自由度总自由度总自由度单单原子分子原子分子 3 0 3双双原子分子原子分子 3 2 5多多原子分子原子分子 3 3 6刚性刚性分子能量自由度分子能量自由度分子分子自由度自由度平动平动转动转动总

19、总二二 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理由由得得 由于气体分子频繁碰撞，在平衡态下，不可能有由于气体分子频繁碰撞，在平衡态下，不可能有哪种运动形式和在哪个自由度上运动占优，每个自由哪种运动形式和在哪个自由度上运动占优，每个自由度上应分配有和每个自由度平动动能相等的平均动能度上应分配有和每个自由度平动动能相等的平均动能.单原子分子单原子分子全为平均平动能全为平均平动能 双原子分子双原子分子平均平动能为平均平动能为 平均平动能为平均平动能为 多原子分子多原子分子平均转动能为平均转动能为 三三 理想气体的内能理想气体的内能一个分子的能量为一个分子的能量为1 mol气体分子的能量为气体分子的能

20、量为:1定定义义：气气体体内内部部所所有有分分子子的的动动能能和和分分子子间间的的相相互互作作用用势能势能的的总和总和称为气体的内能称为气体的内能.2 对于理想气体，分子之间无势能，因此理想气体的对于理想气体，分子之间无势能，因此理想气体的内能就是它的所有分子的动能之和内能就是它的所有分子的动能之和.m 千千克气体的能量为：克气体的能量为：理想气体的理想气体的内能内能只是只是温度的单值函数温度的单值函数，而且和，而且和热力学温度成热力学温度成正比，也是状态函数正比，也是状态函数.对于一定量的理想气体，当温度改变对于一定量的理想气体，当温度改变 时，内时，内能的改变量为能的改变量为 无论经由什么

21、过程，只要温度变化相同，一定量无论经由什么过程，只要温度变化相同，一定量理想气体的内能变化就相同理想气体的内能变化就相同.3单原子气体单原子气体 双原子气体双原子气体 多原子气体多原子气体 （A A）温度相同、压强相同温度相同、压强相同.（B B）温度、压强都不同温度、压强都不同.（C C）温度相同，氦气压强大于氮气压强温度相同，氦气压强大于氮气压强.（D D）温度相同，氦气压强小于氮气压强温度相同，氦气压强小于氮气压强.解解1 1 一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且都处于平衡状态，则：均平动动能相同，而且都处于平衡状态，则：讨讨 论论2

22、理想气体体积为理想气体体积为 V，压强为压强为 p，温度为温度为 T.一个分子一个分子 的质量为的质量为 m，k 为玻耳兹曼常为玻耳兹曼常量，量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为：子数为：（A）（B）（C）（D）解解4-4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 *玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律预习要点预习要点1.1.麦克斯韦速率分布律中的麦克斯韦速率分布律中的麦克斯韦速率分布律中的麦克斯韦速率分布律中的 和和和和 的意义是什么的意义是什么的意义是什么的意义是什么?从从麦克斯韦速率分布曲线看出哪些内容？麦克斯韦速率分布曲线看出哪些内容？麦克斯韦速率

23、分布曲线看出哪些内容？麦克斯韦速率分布曲线看出哪些内容？2.什么是气体分子的最概然速率、平均速率及方均根什么是气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率速率?它们的计算公式是什么？它们的计算公式是什么？3.*3.玻尔兹曼能量分布律的基本结论是什么？玻尔兹曼能量分布律的基本结论是什么？玻尔兹曼能量分布律的基本结论是什么？玻尔兹曼能量分布律的基本结论是什么？如果我们将气体分子在平衡态下，所有可能的如果我们将气体分子在平衡态下，所有可能的运动速率运动速率(在经典物理中为在经典物理中为0)，按照从小到大的，按照从小到大的排列，分成一系列相等的排列，分成一系列相等的速率区间速率区间，例如从：，例如从：对

24、某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但对于大量分子，其速率的分布从整体上会出现但对于大量分子，其速率的分布从整体上会出现一些一些统计规律。统计规律。（iiii）如果我们考察的对象，不是如果我们考察的对象，不是个别的具体的个别的具体的分子，分子，而是而是大量分子的整体大量分子的整体，例如我们考察：在某一平衡态，例如我们考察：在某一平衡态下，分布在各个速率区间内的分子数下，分布在各个速率区间内的分子数，占总分子占总分子数数N N的百分比的百分比这时就会发现，它是存在确切的统计这时就会发现，它是存在确切的统计规律的，按照这个思路考虑下去，就可得到麦氏速率规律

25、的，按照这个思路考虑下去，就可得到麦氏速率分布律。分布律。（i）如果跟踪考察某些个别分子，在某一瞬间，到如果跟踪考察某些个别分子，在某一瞬间，到底在哪个速率区间内运动，那么，我们发现这种运动底在哪个速率区间内运动，那么，我们发现这种运动完全是偶然的，无规则的完全是偶然的，无规则的(即随机的），毫无意义的。即随机的），毫无意义的。麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦于于1859年在概率理论的基础上导出了气年在概率理论的基础上导出了气体速率分布规律，称为体速率分布规律，称为麦克斯韦速率分布律。麦克斯韦速率分布律。麦克斯韦速率分布律。麦克斯韦速率分布律。19201920年年年年施特恩施特恩施特恩施特恩从

26、实验上予以证实。从实验上予以证实。从实验上予以证实。从实验上予以证实。实验装置实验装置 2 2 测定气体分子速率分布的实验：测定气体分子速率分布的实验：施特恩实验装置施特恩实验装置施特恩实验装置施特恩实验装置金属蒸气金属蒸气狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵一一 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 1 1大量分子速度分布遵循的统计规律叫大量分子速度分布遵循的统计规律叫麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律，只考虑分子速率的分布的规律叫只考虑分子速率的分布的规律叫麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律.炉DD探测器探测器C分子速率分布图分子速率分布图:分子总数分子总数 :区区间的分子数间的分子数.表示速率在

27、表示速率在 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比 .这就是麦氏速率分布函数。这就是麦氏速率分布函数。3、麦克斯韦速率分布函数、麦克斯韦速率分布函数 将气体分子的所有可能的速率，按照从小到大分将气体分子的所有可能的速率，按照从小到大分隔成一系列相等的速率间隔，即隔成一系列相等的速率间隔，即v1v1+v,v2v2+v,然后考察分布在速率间隔然后考察分布在速率间隔v+v内的内的分子数分子数 N占总分子数的百分比占总分子数的百分比 N/N,为了进一步为了进一步消除速率间隔消除速率间隔 v的影响，将比值的影响，将比值 N/N除以除以 v,即得即得 N/N v 取极限，并令极限值为以取极限

28、，并令极限值为以f(v)表示，表示，其其是速率是速率v的确定函数。即的确定函数。即4 速率分布函数的物理意义速率分布函数的物理意义 表示速率在表示速率在 区间的分子数占总分子数的区间的分子数占总分子数的百分比百分比.表示在温度为表示在温度为 的平衡状态下，速率在的平衡状态下，速率在 附近附近单位速率单位速率区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比.麦氏麦氏分布函数分布函数5 5 麦克斯韦气体速率分布律麦克斯韦气体速率分布律6 6 麦克斯韦气体速率分布曲线麦克斯韦气体速率分布曲线T为气体的热力学温度，m是分子的质量，k是玻尔兹曼恒量一个分子在vvdv区间内的概率为 4）归一）归一化条

29、件化条件1）可取从可取从 的可能速率的可能速率2）具有中等速率的分子数占气）具有中等速率的分子数占气体分子总数的百分比很大，而体分子总数的百分比很大，而较大和较小速率的分子数占分较大和较小速率的分子数占分子总数的百分比较小；子总数的百分比较小；3）小面积）小面积 及面积及面积分分别别表表示示在在 和和 两两区区间间内内的的气气体体相相对对分子数，或分在速率取值分别在上述区间内的概率分子数，或分在速率取值分别在上述区间内的概率.即一个分子速率取任意数值的概率为即一个分子速率取任意数值的概率为100%.二二 三种统计速率三种统计速率1 最概然最概然速率速率 物理意义：物理意义：气体在一定温度下分布

30、在最概然速率气体在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速率间隔内的相对分子数最多附近单位速率间隔内的相对分子数最多.分子出现概率最大时对应的速率，即求分子出现概率最大时对应的速率，即求 的极大的极大值对应的速率值对应的速率.将函数将函数f(v)f(v)对对v v求导得求导得2、平均速率、平均速率将麦氏速率分布函数式代入得将麦氏速率分布函数式代入得3、方均根速率、方均根速率三种速率的比较三种速率的比较讨论讨论 温温度度升升高高时时,最最概概然然速速率率增增大大,分分布布曲曲线线向向速速率率大大的的方方向向移移动动；由由于于曲曲线线下下面面的的面面积积恒恒等等于于1,此此时时,分分布布曲曲线线的的

31、高高度度下降下降.温温度度相相同同，摩摩尔尔质质量量小小者者的的 大大，分分布布曲曲线线右右移，高度下降，变得平坦移，高度下降，变得平坦.1、温度与分子速率、温度与分子速率f(v)vm相同(设设它们的温度分别为它们的温度分别为 73K,273K,1273K)麦克斯韦分布曲线的性质麦克斯韦分布曲线的性质2 2、质量与分子速率、质量与分子速率f(v)vT相同,m3m2m1m1m2m3 前面讨论的分子速率分布未考虑分子速度方向，要找出分前面讨论的分子速率分布未考虑分子速度方向，要找出分子按速度的分布，就是要找出速度分量在子按速度的分布，就是要找出速度分量在vxvx+dvx，vyvy+dvy ，vzv

32、z+dvz 区间的分子数占总分子数的百分比。区间的分子数占总分子数的百分比。麦克斯韦推导出了速度分布律麦克斯韦推导出了速度分布律 在速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的百分比，在速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的百分比，即称之为气体分子的速度分布函数，为即称之为气体分子的速度分布函数，为*三三 玻尔兹曼能量分布玻尔兹曼能量分布玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 麦氏速度分布律是在没有考虑外力场作用时的分麦氏速度分布律是在没有考虑外力场作用时的分布律，这时分子在空间的分布是均匀的，即气体分子布律，这时分子在空间的分布是均匀的，即气体分子的密度是均匀分布的的密度是均匀分布的(既稳恒又均匀）。既

33、稳恒又均匀）。如果考虑外力场的作用（例如重力场、电场、磁如果考虑外力场的作用（例如重力场、电场、磁场等），则在平衡态时，只是稳恒的而不再是均匀的。场等），则在平衡态时，只是稳恒的而不再是均匀的。这时分子的分布除了考虑这时分子的分布除了考虑速度区间（速度区间（dvxdvy dvz）外外，还要了解在空间各处的分布将怎样变化，即分子在还要了解在空间各处的分布将怎样变化，即分子在xx+dx，yy+dy，zz+dz区间内的分子数占总分区间内的分子数占总分子数的比率，即考虑子数的比率，即考虑位置区间（位置区间（dxdydz）。）。由麦氏速度分布函数由麦氏速度分布函数 即：在没有外力场时，分子按速度的分布只

34、与分子的动能即：在没有外力场时，分子按速度的分布只与分子的动能有关。有关。如果分子处于保守力场中，则应考虑在能量中还要如果分子处于保守力场中，则应考虑在能量中还要包含有势能，即包含有势能，即 由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分子数密度在空间的分布也将与位置有关。从某时分子数密度在空间的分布也将与位置有关。从某种意义上讲：种意义上讲：玻耳兹曼把麦氏速度分布推广玻耳兹曼把麦氏速度分布推广 由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分子数密度在空间的分布也将与位置有关。时分子数密度在空间的分布也将与位置

35、有关。称称玻耳兹曼因子玻耳兹曼因子 比例常数比例常数上式为玻耳兹曼分布上式为玻耳兹曼分布 1、体积元体积元dV=dxdydz内的总分子数内的总分子数因为在速率空间中有因为在速率空间中有所以，有所以，有 如令如令n0表示势能表示势能Ep=0处单位体积内具有各种速度的处单位体积内具有各种速度的分子总数，则在空间体积元分子总数，则在空间体积元dxdydz 内的内的分子数，为分子数，为即即 表示在空间某位置（具有表示在空间某位置（具有Ep）的体积元的体积元dVdxdydz 内的总分子数。内的总分子数。、分子数密度按势能分布的规律、分子数密度按势能分布的规律上式两边除以体积元上式两边除以体积元 dV=d

36、xdydz即，单位体积元内具有各种速度的分子数，随势能即，单位体积元内具有各种速度的分子数，随势能Ep的增加而呈指数衰减。的增加而呈指数衰减。（1）（2）1 已知分子数已知分子数 ，分子质量分子质量 ，分布函分布函数数 .求求（1）速率在速率在 间的分子间的分子数；数；（2）速率在速率在 间所有分子动能间所有分子动能之和之和.解解讨论讨论 3 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，曲线，从图上数据求出两气体最概然速率从图上数据求出两气体最概然速率.2 000解解例例6.2设有设有N个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为(1)作出速率分布曲线；(2)由N和 求a值；(3)求 ；(4)求N个粒子的平均速率 ；(5)求速率介于0 之间的粒子数；(6)求 区间内粒子的平均速率 .解(1)速率分布曲线如图6.11所示.图6.11(2)由分布函数必须满足归一化条件，即有 所以(3)由 的物理意义知 .(4)N个粒子的平均速率(5)0 内粒子数(6)内平均速率