第8章-群和半群ppt课件.ppt

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1、第第8 8章章 半群和群半群和群篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统8.1 8.1 半群和独异点半群和独异点半群和独异点的定义半群和独异点的定义子半群和子独异点子半群和子独异点半群同态和独异点同态半群同态和独异点同态篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统代数系统代数系统A=A=S S，*，若若*是满足结合律的二元运算，是满足结合律的二元运算，则则A A称为半群。称为半群。若若*同时满足交换律，则称为阿贝尔半群。同时满足交换律，则称为阿贝尔半群。存在幺元的

2、半群称为独异点，也称存在幺元的半群称为独异点，也称(含含)幺半群，单位幺半群，单位半群。半群。若若*同时满足交换律，则称为阿贝尔独异点。同时满足交换律，则称为阿贝尔独异点。8.1.1 8.1.1 半群和独异点的定义半群和独异点的定义篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例,是最典型的半群，只满足结合律是最典型的半群，只满足结合律*,是最典型的独异点，只满足结合律，有幺元是最典型的独异点，只满足结合律，有幺元是独异点，可交换独异点是独异点，可交换独异点S 是独异点，不满足交换律，部分元素有逆元是独异点，不满足交换律，部分元素

3、有逆元篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统*a ba a bb a bb)b)设设S=aS=a，bb，*定义如右表：定义如右表：即即a a，b b都是右零元都是右零元 x,y,zx,y,z S S x*y x*y S S 运算封闭运算封闭 x*x*（y*zy*z）=x*z=z=x*z=z （x*yx*y）*z=z*z=z 结合律成立结合律成立 S S，*是一半群，该半群称为二元素右零半群是一半群，该半群称为二元素右零半群 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型

4、的系统半群的性质半群的性质:1.1.独异点运算表中任何两行或两列均不相同独异点运算表中任何两行或两列均不相同证明：设独异点证明：设独异点的幺元为的幺元为e e，a,ba,b S S，若，若a a b b a*e a*e b*e,b*e,S,*S,*运算表中运算表中a,ba,b两行不同，两行不同，由由a,ba,b任意性，任意性，运算表中运算表中任两行不同任两行不同 e*a e*a e*b,e*b,S,*S,*运算表中运算表中a,ba,b两列不同，两列不同，由由a,ba,b任意性，任意性，运算表中运算表中任两列不同任两列不同篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛

5、的计时计分系统是一种得分类型的系统2.2.有限半群一定含有幂等元有限半群一定含有幂等元 证明：设证明：设S S，是半群，是半群,S,S是有限集，需证是有限集，需证 a a S S，有，有a aa=aa=a b b S S，因为运算封闭，因为运算封闭，b b2 2=b=bb b S,bS,b3 3,b,b4 4 S S S S有限有限 i i，j jNN+，ji ji 有有b bi i=b=bj j b bi i=b=bj j=b=bj-ij-ib bi i 令令p=jp=ji i b bi i=b=bj j=b=bp p*b*bi i 当当qi,bqi,bq q=b=bp pbbq q (1)

6、(1)又又p1 p1 k k NN+有有kpi kpi 由由(1)b(1)bkpkp=b=bp pb bkpkp=b=bp p(b(bp pb bkpkp)=b =bp p(b(bp p(b(bp pb bkpkp)=.=b)=.=bp pbbp p b bkpkp =b =bkpkpb bkpkp 令令a=ba=bkpkp S S 则则a aa=a aa=a a是幂等元是幂等元.k个个篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统8.1.2 8.1.2 子半群和子独异点子半群和子独异点 设设为半群，为半群，T T为为S S的非空子

7、集。若的非空子集。若T T关于关于*封闭，封闭，则称则称是是的子半群，记为的子半群，记为T TSS。设设为独异点，为独异点，T T为为S S的非空子集。若的非空子集。若T T关于关于*封闭，且封闭，且eT,eT,则称则称是是的子独异点，记的子独异点，记为为TSTS。例例 半群半群有子半群有子半群，独异点独异点有子独异点有子独异点篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n独异点独异点*,设设A A，则，则 是是的子独异点；的子独异点；n独异点独异点，设，设T=s|s|10,T=s|s|10,是是的子半群，但不是子独异点；的子半群

8、，但不是子独异点；n独异点独异点，设，设nN=nm|m nN=nm|m N,N,是是的子独异点；的子独异点；n独异点独异点S，其中，其中S S上的单射集合，满射集合和上的单射集合，满射集合和双射集合都是双射集合都是S 的子独异点。的子独异点。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理 设设为可交换独异点，为可交换独异点，T T为为S S中所有幂等元的中所有幂等元的 集合，则集合，则是是的子独异点。的子独异点。证：证：(1)T(1)T对于对于*的封闭性的封闭性a,bT,a*a=a,b*b=b,a,bT,a*a=a,b*b=

9、b,又由于又由于*是可交换、可结合的，是可交换、可结合的，所以所以(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*a*b*b=a*b(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*a*b*b=a*b(a*b)(a*b)也是幂等元，也是幂等元，a*bT.a*bT.(2)eT.(2)eT.e*eT,eT.e*eT,eT.所以所以是是的子独异点。的子独异点。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统8.1.3 8.1.3 半群同态和独异点同态半群同态和独异点同态定义定义设设和和是半群，函数是半群，函数h:S1S2.h:S1S2.若若a

10、,bS1,a,bS1,有有h(a*b)=h(a)h(b),h(a*b)=h(a)h(b),则称则称h h为从为从到到S2,的半群同态。的半群同态。设设和和是独异点，函数是独异点，函数h:M1M2.h:M1M2.若若a,bM1,a,bM1,有有h(a*b)=h(a)h(b),h(a*b)=h(a)h(b),且且h(e1)=e2,h(e1)=e2,则称则称h h为为从从到到的独异点同态。的独异点同态。例例8.1.48.1.4篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设设=a,b,*,=a,b,上的函数上的函数h:*h:*定义如下：定

11、义如下：i)h()=;i)h()=;ii)h(as)=abh(s),h(bs)=bah(s)ii)h(as)=abh(s),h(bs)=bah(s)则则h h是是上的自同态。上的自同态。证：对证：对s s用归纳法证明用归纳法证明s,t*:h(st)=h(s)h(t)s,t*:h(st)=h(s)h(t)i)s=i)s=时时,h(t)=h(t)=h(t)=h()h(t),h(t)=h(t)=h(t)=h()h(t),ii)ii)假设假设s=xs=x时成立，即时成立，即h(xt)=h(x)h(t)h(xt)=h(x)h(t)则当则当s=axs=ax时，时，h(st)=h(axt)=abh(xt)h

12、(st)=h(axt)=abh(xt)=abh(x)h(t)=h(ax)h(t)=h(s)h(t)=abh(x)h(t)=h(ax)h(t)=h(s)h(t)当当s=bxs=bx时同理可证。时同理可证。s,t*:h(st)=h(s)h(t)s,t*:h(st)=h(s)h(t)又又h()=h()=，所以所以h h是是*上的自同态。上的自同态。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理 半群半群与与S 同态同态证：定义证：定义h:SSh:SSS S为：为：aS,h(a)=faS,h(a)=fa a,其中其中f fa a:S

13、S,:SS,xS,fxS,fa a(x)=a*x,(x)=a*x,则则h h是同态映射，因为：是同态映射，因为：a,bS,a,bS,cScSh(a*b)(c)=fh(a*b)(c)=fa*ba*b(c)=(a*b)*c=a*b*c(c)=(a*b)*c=a*b*c(h(a)(h(a)h(b)(c)=(fh(b)(c)=(fa a f fb b)(c)=f)(c)=fa a(f(fb b(c)=a*(b*c)=a*b*c(c)=a*(b*c)=a*b*c所以所以h(a*b)(c)=(h(a)h(a*b)(c)=(h(a)h(b)(c)h(b)(c)，即即h(a*b)=h(a)h(a*b)=h(a

14、)h(b).h(b).所以所以h h是同态映射，是同态映射，半群半群与与S 同态。同态。例例8.1.58.1.5篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理 （独异点表示定理）任意独异点都同构于某一变换独异点（独异点表示定理）任意独异点都同构于某一变换独异点设设S S为集合，为集合，S 的子独异点称为变换独异点。的子独异点称为变换独异点。任意独异点都同构于某一变换独异点。任意独异点都同构于某一变换独异点。证：设证：设是任一独异点。是任一独异点。(1)(1)作作h:SSh:SSS S,a f,a fa a,则由定理则由定理8

15、.1.28.1.2知，知，h h是半群同态。是半群同态。又因为又因为h(e)=fh(e)=fe e=1=1S S,所以所以h h是从是从到到S 的独异的独异点同态。点同态。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(2)(2)(同构同构)i)h i)h是单射是单射.a,bS,a,bS,若若h(a)=h(b)h(a)=h(b)，即，即f fa a=f=fb b,则则f fa a(e)=f(e)=fb b(e),a*e=b*e,(e),a*e=b*e,即即a=b.a=b.ii)h ii)h不一定是满射，其值域不一定是满射，其值域h(

16、S)h(S)S SS S 但，由定理但，由定理7.2.37.2.3，h(S),是是S 的子代数。的子代数。（h(S)h(S)对合成运算对合成运算 封闭）封闭）又又 1 1S S=h(e)=h(e)h(S),h(S),h(S),是是S 的子的子独异点。独异点。h:S S h:S SS S ，限制在，限制在h(S)h(S)上为满射。上为满射。所以，所以，同构于同构于 h(S),。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统8.2 8.2 群的定义及性质群的定义及性质群的定义群的定义群的判定群的判定群的性质群的性质元素的阶元素的阶篮球比

17、赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统8.2.1 8.2.1 群的定义群的定义代数系统代数系统G G，*，其中二元运算，其中二元运算*满足下列性质：满足下列性质：1)1)结合律，即结合律，即 a,b,ca,b,c G G，a*a*（b*c b*c）=（a*ba*b）*c*c2)2)存在幺元存在幺元e e，即，即 a a G G，e*a=a*e=ae*a=a*e=a3)G3)G中每个元素存在逆元中每个元素存在逆元 即即 a a G G，a a-1-1 G,G,使使a*aa*a-1-1=a=a-1-1*a=e*a=e则则G G，*称为

18、群。称为群。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 若若G G是有限集，称是有限集，称G G，*为有限群，为有限群，G G称为群的阶；称为群的阶；若若G G是无限集，称是无限集，称G G，*为无限群为无限群。有限群有限群篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统阿贝尔群阿贝尔群 若若*满足交换律，称满足交换律，称G G，*为阿贝尔群，或可交为阿贝尔群，或可交换群或加法群。换群或加法群。此时，此时，*符号可用符号可用+代替；代替；a a-1-1可写为可写为-a-

19、a；a a的的n n次幂次幂a an n可写为可写为na;na;幺元幺元e e可写为可写为0 0篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统不是群，除不是群，除0 0以外的元素无逆元以外的元素无逆元是阿贝尔群是阿贝尔群不是群，不是群，0 0没有逆元没有逆元不是群，不是群，0 0没有逆元没有逆元Q,*,1是阿贝尔群是阿贝尔群N,0是阿贝尔群，是阿贝尔群，篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统N,1不是群，不是群，0 0没有逆元没有逆元设设B(X,X)B(X,X)是

20、集合是集合X X上的双射函数集合，上的双射函数集合，则则 B(X,X),是一个群，但不是阿贝尔群是一个群，但不是阿贝尔群 对行列式非零的对行列式非零的n n阶方阵阶方阵M M，存在存在M M-1-1,M,M M M-1-1=M=M-1-1 M=1M=1n n篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统N N4 4=0,1,2,3,=0,1,2,3,模模4 4加法加法+4 4的运算表如下：的运算表如下：+4篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 N,0是阿贝尔群是

21、阿贝尔群N,0是阿贝尔群是阿贝尔群m+m+k kn n=m+n mod k=m+n mod k-m=k-m-m=k-m；m+m+k k(k-m)=(m+k-m)mod k=0(k-m)=(m+k-m)mod k=0计算机中的整数实际上就是计算机中的整数实际上就是N Nk k;-m-m的补码是的补码是k-mk-m，这样：这样：n-n-2 232m=(n-m)mod 232m=(n-m)mod 23232 =(n+(2 =(n+(23232-m)mod 2-m)mod 23232=n+=n+2 232(232(23232-m)-m)篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，

22、篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统8.2.2 8.2.2 群的判定群的判定定理定理1 1 设设为半群，若为半群，若(1)(1)有左单位元，即有左单位元，即 e el lG,G,aG,e aG,el l*a=a;*a=a;(2)(2)每个元素有左逆元，即每个元素有左逆元，即 aG,aG,a al lG,aG,al l*a=e*a=el l,则则是群。是群。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统证：证：i)i)先证先证 aG,a*a aG,a*al l=e=el l.aal lG,G,a aG,a*aG,a*al l=e

23、=el l.则则a*aa*al l=e=el l*(a*a*(a*al l)=(a*a)=(a*al l)*(a*a)*(a*al l)=a*(a =a*(al l*a)*a*a)*al l=a*e=a*el l*a*al l =a*a =a*al l=e=el lii)ii)再证再证e el l也是右单位元也是右单位元 aG,a*e aG,a*el l=a*(a=a*(al l*a)=(a*a*a)=(a*al l)*a=e)*a=el l*a=a*a=a所以所以e el l是单位元；是单位元；aG aG，a al l是是a a的逆元。的逆元。所以所以是群。是群。篮球比赛是根据运动队在规定的

24、比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理2 2 设设是半群，若是半群，若 a,ba,bGG，方程，方程a*x=b,y*a=ba*x=b,y*a=b在在G G中中都有解，则都有解，则是群。是群。证证：（利用定理（利用定理1 1）i)i)取取a aGG ，设，设e el l为为y*a=ay*a=a的一个解，的一个解，e el l*a=a;*a=a;b bG,G,设设c c为为a*x=ba*x=b的一个解，的一个解，a*c=b,a*c=b,则，则，e el l*b=e*b=el l*(a*c)=(e*(a*c)=(el l*a)*c=a*c=b,*a)

25、*c=a*c=b,所以，所以，e el l是左单位元。是左单位元。ii)ii)a aG,G,令令a al l为为y*a=ey*a=el l的一个解，的一个解，则则a al l*a=e*a=el l，则则a al l是是a a的左逆元。的左逆元。由定理由定理1,1,是群。是群。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理3 3 设设是有限半群，若是有限半群，若G G中消去律成立，则中消去律成立，则是群。是群。证：设证：设G=a1,a2,.,an.G=a1,a2,.,an.i)i)先证先证 a,ba,bGG，a*x=ba*x=

26、b在在G G中有解。中有解。作作G=a*a1,a*a2,.,a*an,G=a*a1,a*a2,.,a*an,则则GGG G i,j,i,j,若若aiajaiaj，则，则a*aia*aj(a*aia*aj(消去律的逆否消去律的逆否)，则则|G|=n,|G|=n,所以所以G=G,G=G,因为因为b bG,G,故故bGbG即存在即存在kN,1=k=nkN,1=k=n，使得，使得a*aa*ak k=b,=b,所以方程所以方程a*x=ba*x=b在在G G中有解。中有解。ii)ii)同理可证方程同理可证方程y*a=by*a=b在在G G中有解中有解.由定理由定理2 2，是群。是群。篮球比赛是根据运动队在

27、规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统有关半群和独异点的性质在群中全部成立有关半群和独异点的性质在群中全部成立阿贝尔群阿贝尔群半群半群独异点独异点群群8.2.3 8.2.3 群的性质群的性质篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统若群若群G G，*的幺元为的幺元为e,e,a a，b b G G，则则 a)a)（a a-1-1）-1-1=a=a；b)b)（a*ba*b）-1-1=b=b-1-1*a*a-1-1 证明：证明：a)a*aa)a*a-1-1=e a=e a是是a a-1-

28、1的左逆元的左逆元 a a-1-1*a=e a*a=e a是是a a-1-1的右逆元的右逆元 (a (a-1-1)-1-1=a=a b)(a*b)*(b b)(a*b)*(b-1-1*a*a-1-1)=a*(b*b)=a*(b*b-1-1)*a)*a-1-1=a*e*a=a*e*a-1-1=e=e b b-1-1*a*a-1-1是是a*ba*b的右逆元的右逆元 又又(b(b-1-1*a*a-1-1)*(a*b)=b)*(a*b)=b-1-1*(a*(a-1-1*a)*b*a)*be e b b-1-1*a*a-1-1是是a*ba*b的左逆元的左逆元 (a*b)(a*b)-1-1=b=b-1-1

29、*a*a-1-1篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 若若G G，*是一个群，则是一个群，则 a a，b b G G a a）存在唯一的）存在唯一的x x，使得，使得a*x=ba*x=b b b）存在唯一的）存在唯一的y y，使得，使得y*a=b y*a=b 证：证：a a）存在性）存在性:令令x=ax=a-1-1*b*b，则，则a*(aa*(a-1-1*b)=a*a*b)=a*a-1-1*b=e*b=b*b=e*b=b 唯一性唯一性:若若a*x=ba*x=b，则，则a a-1-1*a*x=a*a*x=a-1-1*b x=

30、a*b x=a-1-1*b*b b b）同理可证。）同理可证。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统幺元是群中唯一的幂等元幺元是群中唯一的幂等元 证：若证：若x x是幂等元，是幂等元，则：则：x=e*x=x=e*x=（x x-1-1*x*x）*x x =x =x-1-1*（x*xx*x）=x=x-1-1*x=e*x=e 群中消去律成立群中消去律成立证：群中每个元素都可逆，证：群中每个元素都可逆，则每个元素都可约，则每个元素都可约，所以消去律成立。所以消去律成立。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此

31、，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 群中不可能有零元群中不可能有零元.证：证：若若|G|=1|G|=1，它的唯一元素视为幺元，它的唯一元素视为幺元 若若|G G|11，且，且G*有零元有零元，则则 x x G G，都有，都有x*x*=*x=*x=e e 无逆元，这与无逆元，这与G G是群矛盾是群矛盾.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统群群G G，*的运算表中的每一行的运算表中的每一行(列列)是是G G中元素的一个置换。中元素的一个置换。(定义：有限集合定义：有限集合S S到到S S的一个双射，称为的一个双射，称

32、为S S的一个置换的一个置换.).)篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统证：证：i)i)先证一个元素在运算表中每一行先证一个元素在运算表中每一行(列列)中不能出现两次中不能出现两次(单射单射)若若a*b1=a*b2=ka*b1=a*b2=k，且，且b1b1 b2b2，与可约性矛盾，与可约性矛盾 ii)ii)再证再证G G中任一元素在任一行（列）中均出现（满射）中任一元素在任一行（列）中均出现（满射）考察对应于考察对应于a a的那一行，的那一行，b b G G，则，则b=a*b=a*（a a-1-1*b*b）b b出现在出现

33、在a a那一行那一行.由由a,ba,b任意性任意性,得证得证iii)iii)因因G G，*中有幺元，中有幺元，任两行（列）均不相同（即各个置换均不相同）任两行（列）均不相同（即各个置换均不相同）证毕证毕 。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 有限群举例有限群举例 一一阶阶群群仅仅有有1 1个个 二二阶阶群群仅仅有有1 1个个 三三阶阶群群仅仅有有1 1个个 四阶群仅有四阶群仅有2 2个个*ee e*e ae e aa a e*e a be e a ba a b eb b e a*ea bceea bcaab cebbc

34、eacce ab*ea bceea bcaae cbbbc eaccb ae篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例 设设G G，*是一个群，则是一个群，则G G，*是阿贝尔群的充是阿贝尔群的充要条件是要条件是:a a，b b G G，有，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)证：充分性：证：充分性：若若 a a，b b G G，因为满足，因为满足(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)所以，所以，a a-1-1*(

35、a*b)*(a*b)*b*(a*b)*(a*b)*b-1-1=a=a-1-1*(a*a)*(b*b)*b*(a*a)*(b*b)*b-1-1 b*a=a*b b*a=a*b G G，*是阿贝尔群是阿贝尔群必要性：必要性：若若G G，*是阿贝尔群，则是阿贝尔群，则 a a，b b G G，a*b=b*aa*b=b*aa*a*（a*ba*b）*b=a*b=a*（b*ab*a）*a*a（a*aa*a）*（b*bb*b）=（a*ba*b）*（a*aa*a）篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统8.2.4 8.2.4 元素的阶元素的阶

36、元素元素a a的幂的定义的幂的定义 给给定定群群G,a a G,aG,a的的整整数数次次幂幂可可以以归归纳纳定定义义为为:a a0 0=e,=e,a an+1n+1=a=an n a,na,n N N a a-n-n=a=a-1-1 a a-1-1 a a-1-1=(a=(a-1-1)n n,n,n I I+对对m m用归纳法可证：用归纳法可证：a am m a an n=a=am+n m+n (m,n(m,n I),I),对对k k用归纳法可证：用归纳法可证：(a(am m)k k=a=amk mk (m,k(m,k I)I)篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，

37、篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统元素的阶的定义元素的阶的定义 设设是是一一个个群群,a,a G,G,若若存存在在正正整整数数n,n,使使a an n=e,=e,满满足足该等式的最小该等式的最小n n的称为元素的称为元素a a的阶。的阶。并称元素并称元素a a具有有限阶具有有限阶n,|a|=n.n,|a|=n.若不存在这样的正整数若不存在这样的正整数n,n,则称元素则称元素a a具有无限阶。具有无限阶。例例.群的幺元群的幺元e e的阶为的阶为1,1,且幺元是阶为且幺元是阶为1 1的唯一元素。的唯一元素。中除以中除以0 0外外,其余元素的阶为无限阶。其余元素的阶为无限阶。N ,|0|=1

38、,|1|=4,|2|=2,|3|=4.,|0|=1,|1|=4,|2|=2,|3|=4.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统关于元素阶的一些性质关于元素阶的一些性质若群若群,a,a G G具有有限阶具有有限阶n,n,则若则若a ak k=e,=e,当且仅当当且仅当k k是是n n的倍数的倍数.证明证明:若若k k是是n n的倍数的倍数,即即k=mn,mk=mn,m I I 则则a ak k=a=amnmn=(a=(an n)m m=e=em m=e=e 反之反之,若若a ak k=e,=e,设设k=mn+t,0tn,mk=

39、mn+t,0tn,m I I a at t=a=ak-mnk-mn=a=ak k*(a*(an n)-m-m=e*(e)=e*(e)-m-m=e=e 由定义知由定义知:n:n是使是使a an n=e=e的最小正整数的最小正整数 因因0tn0tn t=0t=0 k=mn.k=mn.证毕证毕篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统群中任一元素和它的逆元具有同样的阶群中任一元素和它的逆元具有同样的阶.证证:设设a a G G具有有限阶具有有限阶n,an,a-1-1具有有限阶具有有限阶m m (a (a-1-1)n n=a=a-1-1

40、 n n=(a=(an n)-1-1=e=e-1-1=e=e mnmn a am m=(a=(a-1-1)m m)-1-1=e=e-1-1=e=e nmnm m=n.m=n.若若a a具有无限阶，易证具有无限阶，易证a a-1-1也具有无限阶。也具有无限阶。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统在在有有限限群群中中,每每一一元元素素具具有有有有限限阶阶,且且阶阶数数至至多为多为|G|G|。证证:a a G,G,则则在在序序列列a,aa,a2 2,a,a3 3,a,a|G|+1|G|+1中中至至少少有有两两个个元元素素相同相同

41、,不妨设不妨设a ar r=a=as s(1sr|G|+1)(1sr|G|+1)则则 a a-r-r=a=a-s-s 则则 a ar-sr-s=a=ar r*a*a-s-s=a=ar r*a*a-r-r=e=e 所以，元素所以，元素a a的阶数至多为的阶数至多为 r-s|G|r-s|G|篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统n设设是群，是群，a a G,G,且且|a|=n|a|=n，则，则|a|ak k|=|=,(k,(k I I).).特别地，特别地，|a|a-1-1|=|a|.|=|a|.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛

42、时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统8.3 8.3 子群和群同态子群和群同态n子群子群n群同态群同态篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统8.3.1 8.3.1 子群子群设设是群，是群，H H是是G G的非空子集，若的非空子集，若也是群，则称也是群，则称 是是的子群，记为的子群，记为H HG.G.若若H H是是G G的真子集，则称的真子集，则称 是是的真子群，的真子群，记为记为HG.HG.对任意的群对任意的群，有子群，有子群和和.称为称为平凡子群平凡子群 。篮球比赛是根据运动队在规定的

43、比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例 a)3n|na)I,+是是的子群的子群,I,I为整数集为整数集b)b)不是不是的子群的子群,N,N是自然数集是自然数集c)0,3,+c)是是N 的子群的子群篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统子群的性质子群的性质设设是群，是群，H HGG，则，则(1)H(1)H的单位元就是的单位元就是G G的单位元；的单位元；(2)(2)a a H H，a a在在H H中的逆元就是中的逆元就是a a在在G G中的逆元。中的逆元。篮球比赛是根据运动队在规定

44、的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统子群的判定子群的判定是群是群,H H是是G G的非空子集，则的非空子集，则 H HGG当且仅当当且仅当(1)(1)a,ba,b H H,有有a*b a*b H,H,(2)(2)a a H H,a,a-1-1 H.H.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统证证:必要性必要性(1)(1)由子群的封闭性可证；由子群的封闭性可证；(2)(2)a a H H，a a-1-1=a=aH H-1-1,a a-1-1 H.H.充分性充分性a)a)运算封闭运算封

45、闭 a,ba,b T T，由前提，由前提，a*ba*b T Tb)b)结合律继承成立结合律继承成立c)c)a a H H，a a-1-1 H,H,a*a a*a-1-1 H He e H Hd)d)a a H H，有，有a a-1-1 H H 是群是群,是是的子群的子群.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统是群是群,H,H是是G G的非空子集，则的非空子集，则 H HGG当且仅当当且仅当 a,ba,b H H,有有a*ba*b-1-1 H.H.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时

46、计分系统是一种得分类型的系统证：证：必要性必要性 H HGG，a,ba,b H H,b,b-1-1 H H，所以，所以a*ba*b-1-1 H.H.充分性充分性 因为因为 a,ba,b H H,a*b,a*b-1-1 H H，i)H i)H非空，有非空，有a a H,H,则则a a-1-1 H,H,所以所以e=a*ae=a*a-1-1 H.H.ii)ii)a a H H，a a-1-1=e*a=e*a-1-1 H.H.iii)iii)a,ba,b H H,b,b-1-1 H,H,所以所以a*(ba*(b-1-1)-1-1=a*b=a*b H,H,所以所以是群是群,H,HG.G.篮球比赛是根据运

47、动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设设G*是是群群,H,H G,HG,H是是有有限限集集,若若 a,ba,b T,T,有有a*ba*b H,H,则则是是的子群的子群证证:设设|H|=n|H|=n a a H,H,则则a,aa,a2 2=a*a,.=a*a,.，a an n,a,an+1n+1 H H 因为因为|H|=n|H|=n i,j,i,j,有有 a ai i=a=aj j,ji,ji a aj-ij-i=e,a*a=e,a*aj-i-1j-i-1=e=e a)a)若若j-i1 j-i1 则则a a的逆元为的逆元为a aj-i-1j

48、-i-1 H H b)b)若若j-j-i=1,i=1,则则a ai i =a=ai i*a,a,所所以以a a=e=e,a,a的的逆逆元元为为a a H,H,是是的子群的子群.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设设,是群是群的子群的子群,试证试证:是是的子群的子群.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统证证:i):i)a,ba,b HK,HK,则则a,ba,b H H 是是的子群的子群 a*b a*b H,H,a,b a,b K,K,是是的子群的子群

49、a*b a*b K a*bK a*b HKHK ii)ii)a a HK,HK,则则a a H aH a-1-1 H H a a K aK a-1-1 K aK a-1-1 HKHK 是是的子群的子群.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统8.3.2 8.3.2 群同态群同态设设和和是群，函数是群，函数h:GG,h:GG,若若 a,ba,b G,G,有有h(a*b)=h(a)*h(b),h(a*b)=h(a)*h(b),则称则称h h为从为从到到的群同态。若的群同态。若h h是双射，则称是双射，则称h h是群同构。是群同构。

50、设设和和是群，单位元分别是是群，单位元分别是e e和和e,e,作作h:GG,ae,h:GG,ae,则则 a,ba,b G G，有，有 h(a*b)=e=e*e=h(a)*h(b)h(a*b)=e=e*e=h(a)*h(b)h h为从为从到到的群同态的群同态,称为零同态。称为零同态。例例8.3.48.3.4篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统8.4 8.4 循环群循环群生成子群：生成子群：设设是群，是群，a a G G，令，令(a)=a(a)=ai i|i|i I I.易证易证(a)(a)G.(G.(证明封闭性，幺元，逆元证