同济六版高等数学第八章第三节.ppt

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1、一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面7.3 曲面及其方程上页下页铃结束返回首页四、二次曲面上页下页铃结束返回首页一、曲面方程的概念 在空间解析几何中 任何曲面都可以看作点的几何轨迹那么 方程F(x y z)0就叫做曲面S的方程 而曲面S就叫做方程F(x y z)0的图形 (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x y z)0 (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x y z)0v曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x y z)0有下述关系:下页上页下页铃结束返回首页 例1 建立球心在点M0(x0 y0 z0)、半径为R的球面的方程 解 设M(x y z)是球面上的任一点 那么|M

2、0M|R 或 (xx0)2(yy0)2(zz0)2R2 因为球面上的点的坐标一定满足上述方程 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程 所以上述方程就是所求的球面的方程下页上页下页铃结束返回首页 例2 设有点A(1 2 3)和B(2 1 4)求线段AB的垂直平分面的方程 由题意知道 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹 设M(x y z)为所求平面上的任一点 则有|AM|BM|等式两边平方 然后化简得 2x6y2z70 这就是所求的平面的方程下页 解 上页下页铃结束返回首页 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时 建立这曲面的方程 (2)已知坐标x、y和z间的一个方程时 研究这方程所表示的曲面

3、的形状 v研究曲面的两个基本问题 通过配方 原方程可以改写成 (x1)2(y2)2z25 一般地 三元二次方程 Ax2Ay2Az2DxEyFzG0的图形就是一个球面 首页 例3 方程x2y2z22x4y0表示怎样的曲面？解 上页下页铃结束返回首页二、旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面 这条定直线叫做旋转曲面的轴 下页例如例如:上页下页铃结束返回首页建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C:则有则有该点转到上页下页铃结束返回首页下页提问:曲线f(y z)0绕y轴旋转所成的旋转曲面

4、的方程是什么？上页下页铃结束返回首页 例4 试建立顶点在坐标原点O 旋转轴为z轴 半顶角为的圆锥面的方程 解 在坐标面yOz内 与z轴夹角为的直线的方程为zycot 或 z2a2(x2y2)这就是所求的圆锥面的方程 其中acot 下页 曲线f(y z)0绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为 上页下页铃结束返回首页绕 x 轴和 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程分别为 解 旋转双叶双曲面旋转单叶双曲面首页轴旋转一周 求所生成的旋转曲面的方程 例5 上页下页铃结束返回首页三、柱面 在空间直角坐标系中 过xOy面上的圆x2y2R2作平行于z轴的直线l 则直线l上的点都满足方程x2y2R2 这说明直线l

5、 一定在x2y2R2表示的曲面上 例6 方程x2y2R2表示怎样的曲面？因此这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l沿xOy面上的圆x2y2R2移动而形成的 这曲面叫做圆柱面 xOy面上的圆x2y2R2叫做它的准线 这平行于z轴的直线l叫做它的母线 下页 解 上页下页铃结束返回首页 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面 定曲线C叫做柱面的准线 动直线L叫做柱面的母线 v柱面 上面我们看到 不含z的方程x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面 它的母线平行于z轴 它的准线是xOy面上的圆x2y2R2 一般地 只含x、y而缺z的方程F(x y)0 在空间直角坐标系中表示母线平行于z

6、轴的柱面 其准线是xOy面上的曲线C:F(x y)0 下页上页下页铃结束返回首页 方程y22x表示母线平行于z轴的柱面 它的准线是xOy面上的抛物线y22x 该柱面叫做抛物柱面 方程xy0表示母线平行于z轴的柱面 其准线是xOy面的直线xy0 所以它是过z轴的平面 v柱面举例 下页上页下页铃结束返回首页 在空间直角坐标系中 方程G(x z)0和方程H(y z)0分别表示什么柱面？方程 xz0表示什么柱面？讨论 方程G(x z)0表示母线平行于y轴的柱面 方程H(y z)0表示母线平行于x轴的柱面 方程xz0表示母线平行于y轴的柱面 其准线是zOx面上的直线xz0 所以它是过y轴的平面 提示 首

7、页上页下页铃结束返回首页一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母线上页下页铃结束返回首页四、二次曲面下页三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法，伸缩法截痕法，伸缩法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为 0)上页下页铃结束返回首页 了解曲面的形状的方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截 考察其交线

8、的形状 然后加以综合 从而了解曲面的立体形状 这种方法叫做截痕法 v研究曲面的一种方法截痕法 上页下页铃结束返回首页v研究曲面的一种方法伸缩变形法 设S是一个曲面 其方程为F(x y z)0 S是将曲面S沿x轴方向伸缩倍所得的曲面 显然 若(x y z)S 则(x y z)S 这就是曲面S的方程为 因此 对于任意的(x y z)S 有 上页下页铃结束返回首页1.椭球面椭球面得旋转椭球面 得椭球面 椭球面的形成 上页下页铃结束返回首页(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆上页下页铃结束返回首页与的交线为椭圆：(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:为

9、正数)上页下页铃结束返回首页2.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面(p,q 同号)特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.得旋转抛物面得椭圆抛物面 伸缩 上页下页铃结束返回首页(2)双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q 同号)双曲抛物面与平面xt的截痕 l 为平面xt上的抛物线截痕 当 t 变化时 l 的形状不变 位置只作平移 而 l 的顶点的轨迹L为平面y0上的抛物线 上页下页铃结束返回首页3.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆椭圆.时,截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:双曲线:上页下页铃结束返回首页虚轴平行于x 轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

10、轴;相交直线:双曲线:上页下页铃结束返回首页(2)(2)双叶双曲面双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面图形图形上页下页铃结束返回首页4.椭圆锥面椭圆锥面截痕 当t0时 截痕为平面zt上的椭圆 当t0时 截痕为一点(0 0 0)椭圆锥面与平面zt的截痕:椭圆锥面的形成 上页下页铃结束返回首页内容小结内容小结1.空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如,曲线绕 z 轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.上页下页铃结束返回首页2.二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面:上页下页铃结束返回首页斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习思考与练习指出下列方程的图形:上页下页铃结束返回首页作业P31 7,9,10(1)